Definition und Größe der Graham-Zahl

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-15 17:22

Bei dem Wort "unendlich" hat jeder Mensch seine eigenen Assoziationen. Viele zeichnen in ihrer Fantasie das Meer, das hinter dem Horizont verschwindet, während andere das Bild eines endlosen Sternenhimmels vor Augen haben. Mathematiker, die es gewohnt sind, mit Zahlen zu operieren, stellen sich die Unendlichkeit ganz anders vor. Seit vielen Jahrhunderten versuchen sie, die größte der physikalischen Größen zu finden, die zum Messen benötigt werden. Eine davon ist die Graham-Zahl. Wie viele Nullen darin stecken und wofür es verwendet wird, verrät dieser Artikel.

Unendlich große Zahl

In der Mathematik ist dies der Name einer solchen Variablen x , wenn man für eine gegebene positive Zahl M eine natürliche Zahl N angeben kann, so dass für alle Zahlen n größer als N gilt die Ungleichung |x _{| > M. Allerdings kann z. B. die ganze Zahl Z nicht als unendlich groß angesehen werden, da sie immer kleiner als (Z + 1) ist.}

Ein paar Worte zu "Riesen"

Die größten Zahlen mit physikalischer Bedeutung sind:

• 1080. Diese Zahl, die allgemein als Quinquavigintillion bezeichnet wird, wird verwendet, um die ungefähre Anzahl von Quarks und Leptonen (den kleinsten Teilchen) im Universum anzugeben.
• 1 Google. Eine solche Zahl im Dezimalsystem wird als Einheit mit 100 Nullen geschrieben. Nach einigen mathematischen Modellen sollten vom Zeitpunkt des Urknalls bis zur Explosion des massereichsten Schwarzen Lochs 1 bis 1,5 googol Jahre vergehen, nach denen unser Universum in die letzte Phase seiner Existenz übergehen wird, d.h. wir können nehmen Sie an, dass diese Zahl eine bestimmte physikalische Bedeutung hat.
• 8, 5 x 10¹⁸⁵. Die Plancksche Konstante ist 1,616199 x 10^-35 m, d.h. in Dezimalschreibweise sieht es aus wie 0,00000000000000000000000000000616199 m. Es gibt ungefähr 1 Googol-Planck-Länge in einem Zoll. Es wird geschätzt, dass etwa 8,5 x 10^{185 Planck-Längen in unser gesamtes Universum passen.}
• 2^{77 232 917} – 1. Dies ist die größte bekannte Primzahl. Wenn seine binäre Notation eine ziemlich kompakte Form hat, werden für die Darstellung in Dezimalform nicht weniger als 13 Millionen Zeichen benötigt. Es wurde 2017 im Rahmen eines Projekts zur Suche nach Mersenne-Zahlen gefunden. Wenn Enthusiasten weiter in diese Richtung arbeiten, werden sie beim derzeitigen Entwicklungsstand der Computertechnologie in naher Zukunft wahrscheinlich keine Mersenne-Zahl finden, die eine Größenordnung größer als 2^{77 232 917 ist- 1, obwohl solcheder glückliche Gewinner erhält 150.000 US-Dollar.}
• Hugoplex. Hier nehmen wir einfach 1 und fügen danach Nullen in Höhe von 1 Googol hinzu. Sie können diese Zahl als 10^10^100 schreiben. Es ist unmöglich, es in Dezimalform darzustellen, denn wenn der gesamte Raum des Universums mit Zetteln gefüllt ist, auf denen jeweils 0 mit einer Schriftgröße von „Wort“von 10 geschrieben würde, dann in diesem Fall nur die Hälfte davon alle 0 nach 1 würden für die Googolplex-Nummer. erh alten
• 10^10^10^10^10^1.1. Dies ist eine Zahl, die angibt, nach wie vielen Jahren nach dem Poincaré-Theorem unser Universum aufgrund zufälliger Quantenfluktuationen in einen Zustand zurückkehrt, der dem heutigen nahe kommt.

Wie es zu Grahams Zahlen kam

1977 veröffentlichte der bekannte Popularisierer der Wissenschaft, Martin Gardner, einen Artikel im Scientific American über Grahams Beweis eines der Probleme von Ramses Theorie. Darin bezeichnete er die vom Wissenschaftler festgelegte Grenze als die größte Zahl, die jemals in ernsthaften mathematischen Überlegungen verwendet wurde.

Wer ist Ronald Lewis Graham

Der Wissenschaftler, jetzt in seinen 80ern, wurde in Kalifornien geboren. 1962 promovierte er in Mathematik an der University of Berkeley. Er arbeitete 37 Jahre bei Bell Labs und wechselte später zu AT&T Labs. Der Wissenschaftler hat aktiv mit einem der größten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, Pal Erdős, zusammengearbeitet und ist Träger vieler renommierter Preise. Grahams wissenschaftliche Bibliographie enthält mehr als 320 wissenschaftliche Arbeiten.

Mitte der 70er Jahre interessierte sich der Wissenschaftler für die Problematik der TheorieRamsey. In seinem Beweis wurde die obere Schranke der Lösung bestimmt, die eine sehr große Zahl ist, die später nach Ronald Graham benannt wurde.

Hypercube-Problem

Um die Essenz der Graham-Zahl zu verstehen, müssen Sie zuerst verstehen, wie sie erh alten wurde.

Der Wissenschaftler und sein Kollege Bruce Rothschild lösten das folgende Problem:

Es gibt einen n-dimensionalen Hyperwürfel. Alle Knotenpaare werden so verbunden, dass ein vollständiger Graph mit 2Knoten entsteht. Jede seiner Kanten ist entweder blau oder rot gefärbt. Es war erforderlich, die minimale Anzahl von Ecken zu finden, die ein Hyperwürfel haben sollte, damit jede dieser Färbungen einen vollständigen monochromatischen Teilgraphen mit 4 Ecken enthält, die in derselben Ebene liegen.

Entscheidung

Graham und Rothschild haben bewiesen, dass das Problem eine Lösung N' hat, die die Bedingung 6 ⩽ N' ⩽N erfüllt, wobei N eine wohldefinierte, sehr große Zahl ist.

Die untere Grenze für N wurde später von anderen Wissenschaftlern verfeinert, die bewiesen, dass N größer oder gleich 13 sein muss. So wurde der Ausdruck für die kleinste Anzahl von Ecken eines Hyperwürfels, der die oben dargestellten Bedingungen erfüllt 13 ⩽ N'⩽ N.

Knuths Pfeilnotation

Bevor Sie die Graham-Zahl definieren, sollten Sie sich mit der Methode ihrer symbolischen Darstellung vertraut machen, da hierfür weder die dezimale noch die binäre Schreibweise unbedingt geeignet ist.

Derzeit wird die Pfeilnotation von Knuth verwendet, um diese Größe darzustellen. Laut ihr:

ab=a "Pfeil nach oben" b.

Für die Operation der mehrfachen Potenzierung wurde der Eintrag eingeführt:

a "Pfeil nach oben" "Pfeil nach oben" b=ab="ein Turm bestehend aus a in der Menge von b Stücken."

Und für die Pentation, also die symbolische Bezeichnung der wiederholten Potenzierung des vorherigen Operators, hat Knuth bereits 3 Pfeile verwendet.

Wenn wir diese Schreibweise für die Graham-Zahl verwenden, haben wir ineinander verschachtelte "Pfeil"-Folgen in einer Menge von 64 Stück.

Skala

Ihre berühmte Zahl, die die Vorstellungskraft anregt und die Grenzen des menschlichen Bewusstseins erweitert, indem sie es über die Grenzen des Universums hinausführt, erhielten Graham und seine Kollegen als obere Grenze für die Zahl N im Beweis des Hyperwürfels oben dargestelltes Problem. Es ist für einen gewöhnlichen Menschen äußerst schwierig, sich vorzustellen, wie groß sein Maßstab ist.

Die Frage nach der Anzahl der Zeichen, oder wie es manchmal fälschlicherweise gesagt wird, Nullen in Grahams Zahl, interessiert fast jeden, der zum ersten Mal von diesem Wert hört.

Es genügt zu sagen, dass wir es mit einer schnell wachsenden Sequenz zu tun haben, die aus 64 Mitgliedern besteht. Schon sein erster Begriff ist unvorstellbar, da er aus n "Türmen" besteht, bestehend aus 3-to. Bereits sein „unteres Stockwerk“von 3 Dreierzimmern entspricht 7.625.597.484.987, d. h. es übersteigt 7 Milliarden, das heißt etwa das 64. Stockwerk (kein Mitglied!). Daher ist es derzeit unmöglich, genau zu sagen, was die Graham-Zahl ist, da es nicht ausreicht, sie zu berechnen.die kombinierte Leistung aller Computer, die heute auf der Erde existieren.

Aufzeichnung kaputt?

Im Prozess des Beweises von Kruskals Theorem wurde Grahams Zahl „vom Sockel geworfen“. Der Wissenschaftler schlug folgendes Problem vor:

Es gibt eine unendliche Folge endlicher Bäume. Kruskal hat bewiesen, dass es immer einen Abschnitt eines Graphen gibt, der sowohl Teil eines größeren Graphen als auch dessen exakte Kopie ist. Diese Aussage lässt keine Zweifel aufkommen, da es offensichtlich ist, dass es immer eine exakt sich wiederholende Kombination im Unendlichen geben wird

Später hat Harvey Friedman dieses Problem etwas eingegrenzt, indem er nur solche azyklischen Graphen (Bäume) betrachtete, die für einen bestimmten Graphen mit Koeffizient i höchstens (i + k) Ecken haben. Er beschloss, herauszufinden, wie viele azyklische Graphen es sein sollte, damit es mit dieser Methode ihrer Aufgabe immer möglich wäre, einen Teilbaum zu finden, der in einen anderen Baum eingebettet wäre.

Als Ergebnis der Forschung zu diesem Thema wurde festgestellt, dass N in Abhängigkeit von k mit enormer Geschwindigkeit wächst. Insbesondere wenn k=1, dann ist N=3. Bei k=2 erreicht N jedoch bereits 11. Das Interessanteste beginnt, wenn k=3 ist. In diesem Fall "hebt" N schnell ab und erreicht einen Wert von ist um ein Vielfaches größer als die Graham-Zahl. Um sich vorzustellen, wie groß es ist, genügt es, die von Ronald Graham berechnete Zahl in Form von G64 (3) aufzuschreiben. Dann liegt der Friedman-Kruskal-Wert (rev. FinKraskal(3)) in der Größenordnung von G(G(187196)). Mit anderen Worten, man erhält einen Megawert, der unendlich größer isteine unvorstellbar große Graham-Zahl. Gleichzeitig wird sogar es gigantisch oft kleiner als unendlich sein. Es ist sinnvoll, über dieses Konzept ausführlicher zu sprechen.

Unendlich

Nun, da wir erklärt haben, was die Graham-Zahl an den Fingern ist, sollten wir die Bedeutung verstehen, die in dieses philosophische Konzept investiert wurde und wird. Schließlich können „unendlich“und „eine unendlich große Zahl“in einem bestimmten Zusammenhang als identisch betrachtet werden.

Der größte Beitrag zum Studium dieser Frage wurde von Aristoteles geleistet. Der große Denker der Antike teilte die Unendlichkeit in potentiell und tatsächlich ein. Mit letzterem meinte er die Realität der Existenz unendlicher Dinge.

Laut Aristoteles sind die Ideenquellen zu diesem grundlegenden Konzept:

• Zeit;
• Wertetrennung;
• das Konzept der Grenze und die Existenz von etwas dahinter;
• die Unerschöpflichkeit der schöpferischen Natur;
• Denken ohne Grenzen.

In der modernen Interpretation der Unendlichkeit kann man kein quantitatives Maß angeben, also kann die Suche nach der größten Zahl ewig weitergehen.

Schlussfolgerung

Können die Metapher „Blick ins Unendliche“und Grahams Zahl in gewisser Weise als synonym angesehen werden? Eher ja und nein. Beides ist selbst mit der stärksten Vorstellungskraft nicht vorstellbar. Wie bereits erwähnt, kann es jedoch nicht als "das meiste, das meiste" betrachtet werden. Eine andere Sache ist, dass sich Werte, die größer als die Graham-Zahl sind, derzeit nicht etabliert habenkörperlicher Sinn.

Außerdem hat es nicht die Eigenschaften einer unendlichen Zahl, wie etwa:

• ∞ + 1=∞;
• es gibt unendlich viele gerade und ungerade Zahlen;
• ∞ - 1=∞;
• die Anzahl der ungeraden Zahlen ist genau die Hälfte aller Zahlen;
• ∞ + ∞=∞;
• ∞/2=∞.

Um zusammenzufassen: Grahams Zahl ist laut Guinness-Buch der Rekorde die größte Zahl in der Praxis mathematischer Beweise. Es gibt jedoch Zahlen, die diesen Wert um ein Vielfaches übersteigen.

Höchstwahrscheinlich werden in Zukunft noch größere "Giganten" benötigt, insbesondere wenn ein Mensch über unser Sonnensystem hinausgeht oder etwas erfindet, was auf der gegenwärtigen Ebene unseres Bewusstseins unvorstellbar ist.