Die Ableitung des Kosinus findet man analog zur Ableitung des Sinus, Grundlage des Beweises ist die Definition des Grenzwertes der Funktion. Sie können eine andere Methode verwenden, indem Sie die trigonometrischen Reduktionsformeln für den Kosinus und den Sinus von Winkeln verwenden. Drücken Sie eine Funktion durch eine andere aus – Cosinus durch Sinus, und differenzieren Sie den Sinus mit einem komplexen Argument.
Betrachte das erste Beispiel zur Ableitung der Formel (Cos(x))'
Gib dem Argument x der Funktion y=Cos(x) ein vernachlässigbar kleines Inkrement Δx. Mit einem neuen Wert des Arguments х+Δх erh alten wir einen neuen Wert der Funktion Cos(х+Δх). Dann ist das Funktionsinkrement Δy gleich Cos(х+Δx)-Cos(x).
Das Verhältnis des Funktionsinkrements zu Δх ist: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Führen wir identische Transformationen im Zähler des resultierenden Bruchs durch. Erinnern Sie sich an die Formel für die Differenz der Kosinuswinkel, das Ergebnis ist das Produkt -2Sin (Δx / 2) mal Sin (x + Δx / 2). Wir finden die Grenze des Quotienten lim dieses Produkts auf Δx, wenn Δx gegen Null geht. Es ist bekannt, dass die erste(man nennt es wunderbar) die Grenze lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) ist gleich 1, und die Grenze -Sin(x+Δx/2) ist gleich -Sin(x) als Δx gegen Null geht. Schreibe das Ergebnis auf: Die Ableitung von (Cos(x))' ist gleich - Sin(x).
Einige Leute bevorzugen den zweiten Weg, dieselbe Formel abzuleiten
Aus dem Ablauf der Trigonometrie ist bekannt: Cos(x) ist gleich Sin(0, 5 ∏-x), ebenso ist Sin(x) gleich Cos(0, 5 ∏-x). Dann differenzieren wir eine komplexe Funktion - den Sinus des zusätzlichen Winkels (anstelle des Kosinus x).
Wir erh alten das Produkt Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', weil Die Ableitung des Sinus x ist gleich dem Kosinus X. Wir wenden uns der zweiten Formel Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) zu, um Cosinus durch Sinus zu ersetzen, wobei wir berücksichtigen, dass (0,5 ∏-x)'=-1. Jetzt erh alten wir -Sin(x). Also ist die Ableitung des Kosinus gefunden, y'=-Sin(x) für die Funktion y=Cos(x).
Quadrat-Cosinus-Ableitung
Ein häufig verwendetes Beispiel, bei dem die Kosinusableitung verwendet wird. Die Funktion y=Cos2(x) ist schwierig. Wir finden zuerst das Differential der Potenzfunktion mit Exponent 2, es wird 2·Cos(x) sein, dann multiplizieren wir es mit der Ableitung (Cos(x))', die gleich -Sin(x) ist. Wir erh alten y'=-2 Cos(x) Sin(x). Wenn wir die Formel Sin(2x), den Sinus eines Doppelwinkels, anwenden, erh alten wir die endgültige vereinfachteAntwort y'=-Sin(2x)
Hyperbolische Funktionen
Sie werden im Studium vieler technischer Disziplinen verwendet: In der Mathematik beispielsweise erleichtern sie die Berechnung von Integralen, die Lösung von Differentialgleichungen. Sie werden in Form von trigonometrischen Funktionen mit Imaginärwert ausgedrücktArgument, also der hyperbolische Kosinus ch(x)=Cos(i x), wobei i die imaginäre Einheit ist, der hyperbolische Sinus sh(x)=Sin(i x).
Die Ableitung des hyperbolischen Kosinus lässt sich ganz einfach berechnen.
Betrachte die Funktion y=(ex+e-x) /2, dies und ist der hyperbolische Kosinus ch(x). Wir verwenden die Regel zum Finden der Ableitung der Summe zweier Ausdrücke, die Regel zum Entfernen des konstanten Faktors (Const) aus dem Vorzeichen der Ableitung. Der zweite Term 0,5 e-x ist eine komplexe Funktion (ihre Ableitung ist -0,5 e-x), 0,5 eх - der erste Begriff. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' kann geschrieben werden anders ausgedrückt: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, weil die Ableitung (e - x)' ist gleich -1 mal e-x. Das Ergebnis ist eine Differenz, und dies ist der hyperbolische Sinus sh(x).Ausgabe: (ch(x))'=sh(x).
Sehen wir uns ein Beispiel an, wie es geht berechne die Ableitung der Funktion y=ch(x
3+1).Nach der hyperbolischen Kosinus-Differenzierungsregel mit komplexem Argument y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', wobei (x3+1)'=3 x 2+0. Antwort: Die Ableitung dieser Funktion ist 3 x
2sh(x3+1).
Tabellarische Ableitungen der betrachteten Funktionen y=ch(x) und y=Cos(x)
Bei der Lösung von Beispielen ist es nicht nötig, sie jedes Mal nach dem vorgeschlagenen Schema zu differenzieren, es reicht aus, die Inferenz zu verwenden.
Beispiel. Differenziere die Funktion y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Leicht zu berechnen (Tabellendaten verwenden), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
