Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide: Formeln und Beispiele für Probleme

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

Typische geometrische Probleme in der Ebene und im dreidimensionalen Raum sind die Probleme der Flächenbestimmung verschiedener Formen. In diesem Artikel stellen wir die Formel für die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide vor.

Was ist eine Pyramide?

Lassen Sie uns eine strikte geometrische Definition einer Pyramide geben. Angenommen, es gibt ein Polygon mit n Seiten und n Ecken. Wir wählen einen beliebigen Punkt im Raum, der nicht in der Ebene des angegebenen n-Ecks liegt, und verbinden ihn mit jedem Eckpunkt des Polygons. Wir erh alten eine Figur mit einem gewissen Volumen, die als n-gonale Pyramide bezeichnet wird. Lassen Sie uns zum Beispiel in der Abbildung unten zeigen, wie eine fünfeckige Pyramide aussieht.

Zwei wichtige Elemente jeder Pyramide sind ihre Basis (n-gon) und ihre Spitze. Diese Elemente sind durch n Dreiecke miteinander verbunden, die im Allgemeinen nicht gleich sind. Senkrecht abgefallenvon oben nach unten wird die Höhe der Figur genannt. Wenn es die Basis im geometrischen Zentrum schneidet (fällt mit dem Massenschwerpunkt des Polygons zusammen), wird eine solche Pyramide als gerade Linie bezeichnet. Wenn zusätzlich zu dieser Bedingung die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist, dann heißt die gesamte Pyramide regelmäßig. Die folgende Abbildung zeigt, wie regelmäßige Pyramiden mit dreieckiger, viereckiger, fünfeckiger und sechseckiger Grundfläche aussehen.

Pyramidenoberfläche

Bevor wir uns der Frage nach dem Flächeninh alt der Seitenfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide zuwenden, sollten wir uns mit dem Begriff der Oberfläche selbst befassen.

Wie oben erwähnt und in den Abbildungen gezeigt, besteht jede Pyramide aus einer Reihe von Flächen oder Seiten. Eine Seite ist die Basis und n Seiten sind Dreiecke. Die Oberfläche der ganzen Figur ist die Summe der Flächeninh alte jeder ihrer Seiten.

Es ist bequem, die Oberfläche am Beispiel einer sich entf altenden Figur zu studieren. Ein Scan für eine regelmäßige viereckige Pyramide ist in den folgenden Abbildungen dargestellt.

Wir sehen, dass seine Oberfläche gleich der Summe von vier Flächen gleicher gleichschenkliger Dreiecke und der Fläche eines Quadrats ist.

Die Gesamtfläche aller Dreiecke, die die Seiten der Figur bilden, wird als Fläche der Seitenfläche bezeichnet. Als nächstes zeigen wir, wie man sie für eine regelmäßige viereckige Pyramide berechnet.

Die Fläche der Seitenfläche einer viereckigen regelmäßigen Pyramide

Zur Berechnung der SeitenflächeOberfläche der angegebenen Figur wenden wir uns wieder dem obigen Scan zu. Angenommen, wir kennen die Seite der quadratischen Grundfläche. Lassen Sie es uns mit dem Symbol a bezeichnen. Es ist ersichtlich, dass jedes der vier identischen Dreiecke eine Basis der Länge a hat. Um ihre Gesamtfläche zu berechnen, müssen Sie diesen Wert für ein Dreieck kennen. Aus dem Geometriekurs ist bekannt, dass der Flächeninh alt eines Dreiecks S_{t gleich dem Produkt aus Grundseite und Höhe ist, das man halbieren sollte. Das heißt:}

S_t=1/2h_ba.

Wobei h_b die Höhe eines zur Basis a gezeichneten gleichschenkligen Dreiecks ist. Für eine Pyramide ist diese Höhe das Apothem. Nun bleibt noch, den resultierenden Ausdruck mit 4 zu multiplizieren, um die Fläche S_{b der Seitenfläche für die betreffende Pyramide zu erh alten:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Diese Formel enthält zwei Parameter: das Apothem und die Seite der Basis. Wenn letzteres in den meisten Problemstellungen bekannt ist, dann muss ersteres unter Kenntnis anderer Größen berechnet werden. Hier sind die Formeln zur Berechnung von Apotema h_{b für zwei Fälle:}

• wenn die Länge der Seitenrippe bekannt ist;
• wenn die Höhe der Pyramide bekannt ist.

Bezeichnen wir die Länge der Seitenkante (der Seite eines gleichschenkligen Dreiecks) mit dem Symbol L, dann wird das Apotema h_{b durch die Formel: bestimmt}

h_b=√(L² - a^2/4).

Dieser Ausdruck ist das Ergebnis der Anwendung des Satzes des Pythagoras für das Seitenflächendreieck.

Falls bekanntdie Höhe h der Pyramide, dann lässt sich das Apotema h_{b wie folgt berechnen:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Diesen Ausdruck zu bekommen ist auch nicht schwierig, wenn wir innerhalb der Pyramide ein rechtwinkliges Dreieck betrachten, das aus den Schenkeln h und a/2 und der Hypotenuse h_{b. gebildet wird}

Lassen Sie uns zeigen, wie man diese Formeln anwendet, indem wir zwei interessante Probleme lösen.

Problem mit bekannter Oberfläche

Es ist bekannt, dass die Seitenfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide 108 cm beträgt². Es ist notwendig, den Wert der Länge seines Apothems h_{b zu berechnen, wenn die Höhe der Pyramide 7 cm beträgt.}

Schreiben wir die Formel für die Fläche S_{bder Seitenfläche durch die Höhe. Wir haben:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Hier haben wir einfach die entsprechende Apotema-Formel in den Ausdruck für S_{b eingesetzt. Lass uns beide Seiten der Gleichung quadrieren:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Um den Wert von a zu finden, ändern wir die Variablen:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Wir ersetzen nun die bekannten Werte und lösen die quadratische Gleichung:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Wir haben nur die positive Wurzel dieser Gleichung ausgeschrieben. Dann sind die Seiten der Basis der Pyramide:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Um die Länge des Apotemas zu ermitteln,Verwenden Sie einfach die Formel:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 siehe}

Seitenfläche der Cheops-Pyramide

Bestimme den Wert der Seitenfläche der größten ägyptischen Pyramide. Es ist bekannt, dass an seiner Basis ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 230,363 Metern liegt. Die Höhe des Bauwerks betrug ursprünglich 146,5 Meter. Setzen Sie diese Zahlen in die entsprechende Formel für S_{b ein, wir erh alten:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Der gefundene Wert ist etwas größer als die Fläche von 17 Fußballfeldern.