Vektor ist ein wichtiges geometrisches Objekt, mit dessen Hilfe viele Probleme in der Ebene und im Weltraum gelöst werden können. In diesem Artikel werden wir es definieren, seine Hauptmerkmale betrachten und auch zeigen, wie ein Vektor im Raum verwendet werden kann, um Ebenen zu definieren.
Was ist ein Vektor: zweidimensionaler Fall
Zunächst ist es notwendig, klar zu verstehen, von welchem Objekt wir sprechen. In der Geometrie wird ein gerichtetes Segment als Vektor bezeichnet. Wie jedes Segment ist es durch zwei Hauptelemente gekennzeichnet: den Start- und den Endpunkt. Die Koordinaten dieser Punkte bestimmen eindeutig alle Eigenschaften des Vektors.
Betrachten wir ein Beispiel eines Vektors auf einer Ebene. Dazu zeichnen wir zwei senkrecht zueinander stehende Achsen x und y. Markieren wir einen beliebigen Punkt P(x, y). Wenn wir diesen Punkt mit dem Ursprung (Punkt O) verbinden und dann die Richtung zu P angeben, erh alten wir den Vektor OP¯ (später im Artikel zeigt der Balken über dem Symbol an, dass wir einen Vektor betrachten). Die Vektorzeichnung auf der Ebene ist unten dargestellt.
Hier wird auch ein weiterer Vektor AB¯ gezeigt, und Sie können sehen, dass seine Eigenschaften genau die gleichen sind wie OP¯, aber er befindet sich in einem anderen Teil des Koordinatensystems. Durch Parallelübersetzung OP¯ erhält man unendlich viele Vektoren mit gleichen Eigenschaften.
Vektor im Raum
Alle realen Objekte, die uns umgeben, befinden sich im dreidimensionalen Raum. Die Untersuchung der geometrischen Eigenschaften dreidimensionaler Figuren befasst sich mit der Stereometrie, die mit dem Konzept dreidimensionaler Vektoren arbeitet. Sie unterscheiden sich von zweidimensionalen nur dadurch, dass zu ihrer Beschreibung eine zusätzliche Koordinate benötigt wird, die entlang der dritten senkrechten x- und y-Achse z gemessen wird.
Die folgende Abbildung zeigt einen Vektor im Raum. Die Koordinaten seines Endes entlang jeder Achse werden durch farbige Segmente angezeigt. Der Anfang des Vektors liegt im Schnittpunkt aller drei Koordinatenachsen, hat also die Koordinaten (0; 0; 0).
Da ein Vektor auf einer Ebene ein Spezialfall eines räumlich gerichteten Segments ist, betrachten wir in diesem Artikel nur einen dreidimensionalen Vektor.
Vektorkoordinaten basierend auf bekannten Koordinaten von Anfang und Ende
Angenommen, es gibt zwei Punkte P(x1; y1; z1) und Q(x2; y2; z2). So bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors PQ¯. Zunächst muss vereinbart werden, welcher der Punkte der Anfang und welcher das Ende des Vektors sein soll. In der Mathematik ist es üblich, das betreffende Objekt entlang seiner Richtung zu schreiben, also P ist der Anfang, Q- das Ende. Zweitens werden die Koordinaten des Vektors PQ¯ als Differenz zwischen den entsprechenden Koordinaten des Endes und des Anfangs berechnet, also:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Beachten Sie, dass durch Ändern der Richtung des Vektors seine Koordinaten das Vorzeichen wie folgt ändern:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Das bedeutet PQ¯=-QP¯.
Es ist wichtig, noch etwas zu verstehen. Es wurde oben gesagt, dass es in der Ebene unendlich viele Vektoren gibt, die gleich dem gegebenen sind. Diese Tatsache gilt auch für den räumlichen Fall. Tatsächlich haben wir bei der Berechnung der Koordinaten von PQ¯ im obigen Beispiel die Operation der Parallelverschiebung dieses Vektors so ausgeführt, dass sein Ursprung mit dem Ursprung zusammenfällt. Der Vektor PQ¯ kann als gerichtete Strecke vom Ursprung zum Punkt M((x2 - x1; y2 gezeichnet werden - y1; z2 - z1).
Vektoreigenschaften
Wie jedes Geometrieobjekt hat ein Vektor einige inhärente Eigenschaften, die zur Lösung von Problemen verwendet werden können. Lassen Sie uns sie kurz auflisten.
Vektormodul ist die Länge des gerichteten Segments. Wenn man die Koordinaten kennt, ist es einfach, sie zu berechnen. Für den Vektor PQ¯ im obigen Beispiel ist der Betrag:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektormodul anEbene wird nach einer ähnlichen Formel berechnet, nur ohne Beteiligung der dritten Koordinate.
Die Summe und Differenz von Vektoren erfolgt nach der Dreiecksregel. Die folgende Abbildung zeigt, wie diese Objekte addiert und subtrahiert werden.
Um den Summenvektor zu erh alten, addiere den Anfang des zweiten zum Ende des ersten Vektors. Der gewünschte Vektor beginnt am Anfang des ersten und endet am Ende des zweiten Vektors.
Die Differenz wird unter Berücksichtigung der Tatsache durchgeführt, dass der subtrahierte Vektor durch den entgegengesetzten ersetzt wird, und dann wird die oben beschriebene Additionsoperation durchgeführt.
Neben Addition und Subtraktion ist es wichtig, einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren zu können. Wenn die Zahl gleich k ist, dann wird ein Vektor erh alten, dessen Betrag sich k-mal von dem ursprünglichen unterscheidet und dessen Richtung entweder dieselbe (k>0) oder entgegengesetzt zu der ursprünglichen ist (k<0).
Die Operation der Multiplikation von Vektoren untereinander wird ebenfalls definiert. Wir werden dafür im Artikel einen eigenen Absatz herausheben.
Skalar- und Vektormultiplikation
Angenommen, es gibt zwei Vektoren u¯(x1; y1; z1) und v¯(x2; y2; z2). Vektor für Vektor kann auf zwei verschiedene Arten multipliziert werden:
- Skalar. In diesem Fall ist das Ergebnis eine Zahl.
- Vektor. Das Ergebnis ist ein neuer Vektor.
Das Skalarprodukt der Vektoren u¯ und v¯ wird wie folgt berechnet:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Wobei α der Winkel zwischen den gegebenen Vektoren ist.
Man kann zeigen, dass bei Kenntnis der Koordinaten u¯ und v¯ deren Skalarprodukt mit folgender Formel berechnet werden kann:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Das Skalarprodukt ist bequem zu verwenden, wenn ein Vektor in zwei senkrecht zueinander gerichtete Segmente zerlegt wird. Es wird auch verwendet, um die Parallelität oder Orthogonalität von Vektoren zu berechnen und den Winkel zwischen ihnen zu berechnen.
Das Kreuzprodukt von u¯ und v¯ ergibt einen neuen Vektor, der senkrecht zu den ursprünglichen steht und den Betrag hat:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Die Richtung des neuen Vektors nach unten oder oben wird durch die Regel der rechten Hand bestimmt (vier Finger der rechten Hand sind vom Ende des ersten Vektors zum Ende des zweiten gerichtet, und der Daumen ragt nach oben gibt die Richtung des neuen Vektors an). Die folgende Abbildung zeigt das Ergebnis des Kreuzprodukts für beliebige a¯ und b¯.
Das Kreuzprodukt wird verwendet, um die Flächen von Figuren zu berechnen, sowie um die Koordinaten eines Vektors zu bestimmen, der senkrecht zu einer gegebenen Ebene steht.
Vektoren und ihre Eigenschaften sind bequem zu verwenden, wenn die Gleichung einer Ebene definiert wird.
Normale und allgemeine Gleichung der Ebene
Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Ebene zu definieren. Eine davon ist die Ableitung der allgemeinen Ebenengleichung, die direkt aus der Kenntnis des Vektors senkrecht zu ihr und eines bekannten Punktes folgt, der zur Ebene gehört.
Angenommen, es gebe einen Vektor n¯ (A; B; C) und einen Punkt P (x0; y0; z 0). Welche Bedingung erfüllt alle Punkte Q(x; y; z) der Ebene? Diese Bedingung besteht in der Rechtwinkligkeit jedes Vektors PQ¯ zur Normalen n¯. Für zwei senkrechte Vektoren wird das Skalarprodukt Null (cos(90o)=0), schreibe dies:
(n¯PQ¯)=0 oder
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Wenn wir die Klammern öffnen, erh alten wir:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 oder
Ax + By + Cz +D=0 wobei D=-Ax0-By0-Cz0.
Diese Gleichung heißt allgemein für die Ebene. Wir sehen, dass die Koeffizienten vor x, y und z die Koordinaten des senkrechten Vektors n¯ sind. Es heißt Flugzeugführer.
Vektorparametrische Gleichung der Ebene
Die zweite Möglichkeit, eine Ebene zu definieren, besteht darin, zwei darin liegende Vektoren zu verwenden.
Angenommen, es gäbe Vektoren u¯(x1; y1; z1) und v¯(x2; y2; z2). Wie gesagt, jeder von ihnen im Raum kann durch eine unendliche Anzahl identischer gerichteter Segmente dargestellt werden, daher wird ein weiterer Punkt benötigt, um die Ebene eindeutig zu bestimmen. Dieser Punkt sei P(x0;y0; z0). Jeder Punkt Q(x; y; z) liegt in der gewünschten Ebene, wenn der Vektor PQ¯ als Kombination von u¯ und v¯ dargestellt werden kann. Das heißt, wir haben:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Wo α und β reelle Zahlen sind. Aus dieser Gleichheit folgt der Ausdruck:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Sie wird eine parametrische Vektorgleichung der Ebene in Bezug auf 2 Vektoren u¯ und v¯ genannt. Durch Einsetzen beliebiger Parameter α und β kann man alle Punkte (x; y; z) finden, die zu dieser Ebene gehören.
Aus dieser Gleichung erhält man leicht den allgemeinen Ausdruck für die Ebene. Dazu genügt es, den Richtungsvektor n¯ zu finden, der senkrecht auf die beiden Vektoren u¯ und v¯ steht, d. h. ihr Vektorprodukt anzuwenden ist.
Das Problem der Bestimmung der allgemeinen Ebenengleichung
Lassen Sie uns zeigen, wie Sie die obigen Formeln verwenden, um geometrische Probleme zu lösen. Angenommen, der Richtungsvektor der Ebene ist n¯(5; -3; 1). Sie sollten die Gleichung der Ebene finden, da Sie wissen, dass der Punkt P(2; 0; 0) dazu gehört.
Die allgemeine Gleichung wird geschrieben als:
Ax + By + Cz +D=0.
Da der Vektor senkrecht zur Ebene bekannt ist, nimmt die Gleichung die Form an:
5x - 3y + z +D=0.
Es bleibt noch der freie Term D zu finden. Wir berechnen ihn aus der Kenntnis der Koordinaten P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Die gesuchte Ebenengleichung hat also die Form:
5x - 3y + z -10=0.
Die folgende Abbildung zeigt, wie die resultierende Ebene aussieht.
Die angegebenen Koordinaten der Punkte entsprechen den Schnittpunkten der Ebene mit den x-, y- und z-Achsen.
Das Problem der Bestimmung der Ebene durch zwei Vektoren und einen Punkt
Nehmen wir nun an, dass die vorherige Ebene anders definiert ist. Man kennt zwei Vektoren u¯(-2; 0; 10) und v¯(-2; -10/3; 0) sowie den Punkt P(2; 0; 0). Wie schreibe ich die Ebenengleichung in vektorparametrischer Form? Unter Verwendung der betrachteten entsprechenden Formel erh alten wir:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Beachte, dass die Definitionen dieser Gleichung der Ebene, der Vektoren u¯ und v¯ absolut beliebig sein können, aber mit einer Bedingung: Sie dürfen nicht parallel sein. Sonst lässt sich die Ebene nicht eindeutig bestimmen, aber man findet eine Gleichung für einen Balken oder eine Menge von Ebenen.
