In der Algebra gibt es ein Konzept von zwei Arten von Gleichheiten - Identitäten und Gleichungen. Identitäten sind solche Gleichheiten, die für beliebige Werte der darin enth altenen Buchstaben machbar sind. Gleichungen sind auch Gleichheiten, aber sie sind nur für bestimmte Werte der darin enth altenen Buchstaben zulässig.
Briefe sind meist ungleich in der Aufgabenstellung. Dies bedeutet, dass einige von ihnen beliebige zulässige Werte annehmen können, die als Koeffizienten (oder Parameter) bezeichnet werden, während andere – sie werden als Unbekannte bezeichnet – Werte annehmen, die im Lösungsprozess gefunden werden müssen. Unbekannte Größen werden in Gleichungen in der Regel mit Buchstaben bezeichnet, den letzten im lateinischen Alphabet (x.y.z usw.), oder mit den gleichen Buchstaben, aber mit Index (x1, x 2 usw.), und die bekannten Koeffizienten werden durch die Anfangsbuchstaben desselben Alphabets angegeben.
Anhand der Anzahl der Unbekannten werden Gleichungen mit einer, zwei und mehreren Unbekannten unterschieden. Daher werden alle Werte der Unbekannten, für die die zu lösende Gleichung zu einer Identität wird, als Lösungen der Gleichungen bezeichnet. Eine Gleichung kann als gelöst betrachtet werden, wenn alle ihre Lösungen gefunden sind oder bewiesen ist, dass sie keine hat. Die Aufgabe "Gleichung lösen" ist in der Praxis üblich und bedeutet, dass Sie die Wurzel der Gleichung finden müssen.
Definition: die Wurzeln einer Gleichung sind diejenigen Werte der Unbekannten aus dem Bereich der zulässigen Werte, bei denen die zu lösende Gleichung eine Identität wird.
Der Algorithmus zum Lösen absolut aller Gleichungen ist derselbe, und seine Bedeutung besteht darin, diesen Ausdruck durch mathematische Transformationen auf eine einfachere Form zu bringen. Gleichungen mit denselben Wurzeln werden in der Algebra als äquivalent bezeichnet.
Das einfachste Beispiel: 7x-49=0, die Wurzel der Gleichung x=7;x-7=0, ebenso die Wurzel x=7, daher sind die Gleichungen äquivalent. (In besonderen Fällen können äquivalente Gleichungen überhaupt keine Wurzeln haben.)
Wenn die Wurzel einer Gleichung auch die Wurzel einer anderen, einfacheren Gleichung ist, die man durch Umformung aus der ursprünglichen erhält, so nennt man letztere Folgerung aus der vorherigen Gleichung.
Wenn eine der beiden Gleichungen eine Folge der anderen ist, dann werden sie als äquivalent betrachtet. Sie werden auch als gleichwertig bezeichnet. Das obige Beispiel veranschaulicht dies.
Selbst die einfachsten Gleichungen zu lösen ist in der Praxis oft schwierig. Als Ergebnis der Lösung können Sie eine Wurzel der Gleichung erh alten, zwei oder mehr, sogar eine unendliche Zahl - dies hängt von der Art der Gleichungen ab. Es gibt auch solche, die keine Wurzeln haben, sie werden unentscheidbar genannt.
Beispiele:
1) 15x -20=10; x=2. Dies ist die einzige Wurzel der Gleichung.
2) 7x - y=0. Die Gleichung hat unendlich viele Wurzeln, da jede Variable unzählige haben kannAnzahl der Werte.
3) x2=- 16. Eine Zahl mit der zweiten Potenz ergibt immer ein positives Ergebnis, daher ist es unmöglich, die Wurzel der Gleichung zu finden. Dies ist eine der oben erwähnten unlösbaren Gleichungen.
Die Richtigkeit der Lösung wird überprüft, indem die gefundenen Wurzeln anstelle von Buchstaben eingesetzt und das resultierende Beispiel gelöst werden. Wenn die Identität gilt, ist die Lösung richtig.
