Parallelität von Ebenen ist ein Konzept, das erstmals vor über zweitausend Jahren in der euklidischen Geometrie auftauchte.
Hauptmerkmale der klassischen Geometrie
Die Geburt dieser wissenschaftlichen Disziplin ist mit dem berühmten Werk des antiken griechischen Denkers Euklid verbunden, der im 3. Jahrhundert v. Chr. die Broschüre "Anfänge" verfasste. Unterteilt in dreizehn Bücher, waren die Elemente die höchste Errungenschaft aller antiken Mathematik und stellten die grundlegenden Postulate dar, die mit den Eigenschaften ebener Figuren verbunden sind.
Die klassische Bedingung für die Parallelität von Ebenen wurde wie folgt formuliert: Zwei Ebenen können als parallel bezeichnet werden, wenn sie keine gemeinsamen Punkte miteinander haben. Dies war das fünfte Postulat der euklidischen Arbeit.
Eigenschaften paralleler Ebenen
In der euklidischen Geometrie gibt es normalerweise fünf davon:
Die erste Eigenschaft (beschreibt die Parallelität von Ebenen und ihre Einzigartigkeit). Durch einen Punkt, der außerhalb einer bestimmten gegebenen Ebene liegt, können wir genau eine Ebene parallel dazu zeichnen
- Zweite Eigenschaft (auch Eigenschaft der drei Parallelen genannt). Wenn zwei Flugzeuge sindparallel zum dritten, sie sind auch parallel zueinander.
Die dritte Eigenschaft (mit anderen Worten heißt sie die Eigenschaft einer geraden Linie, die die Parallelität der Ebenen schneidet). Wenn eine einzelne gerade Linie eine dieser parallelen Ebenen schneidet, dann schneidet sie auch die andere
Vierte Eigenschaft (Eigenschaft von geraden Linien, die auf zueinander parallelen Ebenen geschnitten sind). Wenn sich zwei parallele Ebenen mit einer dritten (unter beliebigem Winkel) schneiden, sind ihre Schnittlinien ebenfalls parallel
Fünfte Eigenschaft (eine Eigenschaft, die Segmente verschiedener paralleler Linien beschreibt, die zwischen zueinander parallelen Ebenen eingeschlossen sind). Die Segmente dieser parallelen Linien, die zwischen zwei parallelen Ebenen eingeschlossen sind, sind notwendigerweise gleich
Parallelität von Ebenen in nichteuklidischen Geometrien
Solche Ansätze sind insbesondere die Geometrie von Lobachevsky und Riemann. Wenn Euklids Geometrie auf ebenen Flächen verwirklicht wurde, dann verwirklichte sich Lobatschewskis Geometrie in negativ gekrümmten Räumen (einfach gekrümmt), und bei Riemann findet sie ihre Verwirklichung in positiv gekrümmten Räumen (also Kugeln). Es gibt eine weit verbreitete stereotype Meinung, dass sich Lobatschewskis parallele Ebenen (und auch Linien) schneiden.
Das ist aber nicht korrekt. Tatsächlich war die Geburt der hyperbolischen Geometrie mit dem Beweis von Euklids fünftem Postulat und der Veränderung verbundenAnsichten darüber, aber die Definition paralleler Ebenen und Linien impliziert, dass sie sich weder bei Lobatschewski noch bei Riemann schneiden können, egal in welchen Räumen sie realisiert werden. Und die Änderung in Ansichten und Formulierungen war wie folgt. Das Postulat, dass durch einen Punkt, der nicht auf einer bestimmten Ebene liegt, nur eine parallele Ebene gezogen werden kann, wurde durch eine andere Formulierung ersetzt: durch einen Punkt, der nicht auf einer bestimmten bestimmten Ebene liegt, mindestens zwei Linien, die darin liegen dieselbe Ebene wie die gegebene und schneide sie nicht.
