Ein wichtiges geometrisches Objekt, das im flachen Raum untersucht wird, ist eine gerade Linie. Im dreidimensionalen Raum gibt es neben der Geraden auch eine Ebene. Beide Objekte werden bequem über Richtungsvektoren definiert. Was ist das, wie werden diese Vektoren verwendet, um die Gleichungen einer Geraden und einer Ebene zu bestimmen? Diese und andere Fragen werden im Artikel behandelt.
Durchwahl und wie man sie definiert
Jeder Schüler hat eine gute Vorstellung davon, über welches geometrische Objekt er spricht. Aus mathematischer Sicht ist eine Gerade eine Menge von Punkten, die bei ihrer beliebigen paarweisen Verbindung zu einer Menge paralleler Vektoren führen. Diese Definition einer Linie wird verwendet, um eine Gleichung dafür sowohl in zwei als auch in drei Dimensionen zu schreiben.
Zur Beschreibung des betrachteten eindimensionalen Objekts werden verschiedene Arten von Gleichungen verwendet, die in der folgenden Liste aufgeführt sind:
- Gesamtansicht;
- parametrisch;
- Vektor;
- kanonisch oder symmetrisch;
- in Segmenten.
Jede dieser Arten hat einige Vorteile gegenüber den anderen. Beispielsweise ist eine Gleichung in Segmenten bequem zu verwenden, wenn das Verh alten einer geraden Linie relativ zu den Koordinatenachsen untersucht wird. Eine allgemeine Gleichung ist praktisch, wenn eine Richtung senkrecht zu einer bestimmten geraden Linie gefunden und deren Winkel berechnet wird Schnittpunkt mit der x-Achse (für einen flachen Fall).
Da sich das Thema dieses Artikels auf den Richtungsvektor einer Geraden bezieht, betrachten wir im Folgenden nur die Gleichung, in der dieser Vektor fundamental und explizit enth alten ist, also einen Vektorausdruck.
Gerade durch einen Vektor angeben
Angenommen, wir haben einen Vektor v¯ mit bekannten Koordinaten (a; b; c). Da es drei Koordinaten gibt, ist der Vektor im Raum gegeben. Wie kann man es in einem rechtwinkligen Koordinatensystem darstellen? Das geht ganz einfach: Auf jeder der drei Achsen wird ein Segment aufgetragen, dessen Länge gleich der entsprechenden Koordinate des Vektors ist. Der Schnittpunkt der drei Senkrechten, die zu den xy-, yz- und xz-Ebenen wiederhergestellt wurden, ist das Ende des Vektors. Sein Anfang ist der Punkt (0; 0; 0).
Dennoch ist die gegebene Position des Vektors nicht die einzige. In ähnlicher Weise kann man v¯ zeichnen, indem man seinen Ursprung an einem beliebigen Punkt im Raum platziert. Diese Argumente besagen, dass es unmöglich ist, eine bestimmte Linie mithilfe eines Vektors festzulegen. Es definiert eine Familie von unendlich vielen parallelen Linien.
JetztFixieren Sie einen Punkt P(x0; y0; z0) des Raums. Und wir stellen die Bedingung: Durch P muss eine Gerade gehen. In diesem Fall muss der Vektor v¯ auch diesen Punkt enth alten. Die letzte Tatsache bedeutet, dass eine einzige Linie mit P und v¯ definiert werden kann. Es wird als folgende Gleichung geschrieben:
Q=P + λ × v¯
Hier ist Q ein beliebiger Punkt der Linie. Dieser Punkt kann durch Wahl des geeigneten Parameters λ erh alten werden. Die geschriebene Gleichung heißt Vektorgleichung und v¯ heißt Richtungsvektor der Geraden. Indem wir es so anordnen, dass es durch P geht, und seine Länge mit dem Parameter λ ändern, erh alten wir jeden Punkt von Q als gerade Linie.
In Koordinatenform wird die Gleichung wie folgt geschrieben:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Und in expliziter (parametrischer) Form können Sie schreiben:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Wenn wir die dritte Koordinate in den obigen Ausdrücken ausschließen, erh alten wir die Vektorgleichungen der Geraden in der Ebene.
Für welche Aufgaben ist es sinnvoll, den Richtungsvektor zu kennen ?
In der Regel handelt es sich dabei um Aufgaben zur Bestimmung der Parallelität und Rechtwinkligkeit von Linien. Außerdem wird der direkte Vektor, der die Richtung bestimmt, verwendet, wenn der Abstand zwischen geraden Linien und einem Punkt und einer geraden Linie berechnet wird, um das Verh alten einer geraden Linie relativ zu einer Ebene zu beschreiben.
ZweiLinien sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren parallel sind. Dementsprechend wird die Rechtwinkligkeit von Linien durch die Rechtwinkligkeit ihrer Vektoren bewiesen. Bei dieser Art von Problemen reicht es aus, das Skalarprodukt der betrachteten Vektoren zu berechnen, um die Antwort zu erh alten.
Bei Aufgaben zur Berechnung der Abstände zwischen Linien und Punkten wird der Richtungsvektor explizit in die entsprechende Formel aufgenommen. Schreiben wir es auf:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Here P1P2¯ - gebaut auf den Punkten P1 und P 2 gerichtetes Segment. Der Punkt P2 ist beliebig und liegt auf der Linie mit dem Vektor v¯, während der Punkt P1 derjenige ist, zu dem die Entfernung erfolgen soll bestimmt werden. Es kann entweder unabhängig sein oder zu einer anderen Linie oder Ebene gehören.
Beachte, dass es sinnvoll ist, den Abstand zwischen Linien nur dann zu berechnen, wenn sie parallel sind oder sich schneiden. Wenn sie sich schneiden, ist d null.
Die obige Formel für d gilt auch für die Berechnung des Abstandes zwischen einer Ebene und einer dazu parallelen Geraden, nur dass in diesem Fall P1 zur Ebene gehören sollte.
Lassen Sie uns mehrere Probleme lösen, um besser zu zeigen, wie man den betrachteten Vektor verwendet.
Vektorgleichungsproblem
Es ist bekannt, dass eine Gerade durch folgende Gleichung beschrieben wird:
y=3 × x - 4
Du solltest den passenden Ausdruck hineinschreibenVektorform.
Das ist eine typische Geradengleichung, die jedem Schulkind bekannt ist, in allgemeiner Form geschrieben. Lassen Sie uns zeigen, wie man es in Vektorform umschreibt.
Der Ausdruck kann dargestellt werden als:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Es ist ersichtlich, dass Sie beim Öffnen die ursprüngliche Gleichheit erh alten. Jetzt teilen wir seine rechte Seite in zwei Vektoren, sodass nur einer von ihnen x enthält, wir haben:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Es bleibt, x aus Klammern zu nehmen, es mit einem griechischen Symbol zu bezeichnen und die Vektoren der rechten Seite zu vertauschen:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Wir haben die Vektorform des ursprünglichen Ausdrucks. Richtungsvektorkoordinaten der Geraden sind (1; 3).
Die Aufgabe, die relative Position von Linien zu bestimmen
Zwei Zeilen sind im Leerzeichen angegeben:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Sind sie parallel, kreuzend oder schneidend?
Nicht-Null-Vektoren (-1; 3; 1) und (1; 2; 0) sind Hilfslinien für diese Linien. Lassen Sie uns diese Gleichungen in Parameterform ausdrücken und die Koordinaten der ersten in die zweite einsetzen. Wir erh alten:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Setze den gefundenen Parameter λ in die beiden obigen Gleichungen ein, wir erh alten:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parameter γ kann nicht gleichzeitig zwei verschiedene Werte annehmen. Dies bedeutet, dass die Linien keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben, dh sie schneiden sich. Sie sind nicht parallel, da Nicht-Null-Vektoren nicht parallel zueinander sind (für ihre Parallelität muss es eine Zahl geben, die durch Multiplikation mit einem Vektor zu den Koordinaten des zweiten führen würde).
Mathematische Beschreibung des Flugzeugs
Um eine Ebene im Raum zu platzieren, geben wir eine allgemeine Gleichung an:
A × x + B × y + C × z + D=0
Hier stehen lateinische Großbuchstaben für bestimmte Zahlen. Die ersten drei definieren die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene. Wird sie mit n¯ bezeichnet, dann:
n¯=(A; B; C)
Dieser Vektor steht senkrecht auf der Ebene, daher wird er Hilfslinie genannt. Seine Kenntnis sowie die bekannten Koordinaten eines beliebigen zur Ebene gehörenden Punktes bestimmen letztere eindeutig.
Wenn der Punkt P(x1; y1; z1) gehört Ebene, dann wird der Achsenabschnitt D wie folgt berechnet:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Lösen wir ein paar Probleme mit der allgemeinen Gleichung für die Ebene.
Aufgabe fürFinden des Normalenvektors der Ebene
Die Ebene ist wie folgt definiert:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Wie finde ich einen Richtungsvektor für sie?
Aus obiger Theorie folgt, dass die Koordinaten des Normalenvektors n¯ die Koeffizienten vor den Variablen sind. Um n¯ zu finden, sollte die Gleichung in dieser Hinsicht in allgemeiner Form geschrieben werden. Wir haben:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Dann ist der Normalenvektor der Ebene:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Das Problem der Aufstellung der Ebenengleichung
Die Koordinaten von drei Punkten sind gegeben:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Wie wird die Gleichung der Ebene aussehen, die all diese Punkte enthält.
Durch drei Punkte, die nicht zur selben Linie gehören, kann nur eine Ebene gezeichnet werden. Um seine Gleichung zu finden, berechnen wir zuerst den Richtungsvektor der Ebene n¯. Dazu gehen wir wie folgt vor: Wir finden zwei beliebige Vektoren, die zur Ebene gehören, und berechnen ihr Vektorprodukt. Es ergibt einen Vektor, der senkrecht zu dieser Ebene steht, also n¯. Wir haben:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Nimm den Punkt M1zum ZeichnenEbene Ausdrücke. Wir erh alten:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Wir haben einen allgemeinen Typausdruck für eine Ebene im Raum erh alten, indem wir zunächst einen Richtungsvektor dafür definiert haben.
Die Kreuzprodukteigenschaft sollte bei der Lösung von Aufgaben mit Ebenen beachtet werden, da sie es erlaubt, auf einfache Weise die Koordinaten eines Normalenvektors zu bestimmen.
