In der Physik muss man oft Probleme lösen, um das Gleichgewicht in komplexen Systemen zu berechnen, die viele wirkende Kräfte, Hebel und Drehachsen haben. In diesem Fall ist es am einfachsten, das Konzept des Kraftmoments zu verwenden. Dieser Artikel enthält alle notwendigen Formeln mit ausführlichen Erläuterungen, die zur Lösung von Problemen der genannten Art verwendet werden sollten.
Worüber werden wir sprechen?
Viele Leute haben wahrscheinlich bemerkt, dass wenn man mit irgendeiner Kraft auf ein an einem bestimmten Punkt fixiertes Objekt einwirkt, es sich zu drehen beginnt. Ein markantes Beispiel ist die Tür zum Haus oder zum Zimmer. Wenn Sie es am Griff fassen und drücken (Kraft anwenden), beginnt es sich zu öffnen (scharniere drehen). Dieser Vorgang ist im Alltag eine Manifestation der Wirkung einer physikalischen Größe, die Kraftmoment genannt wird.
Aus dem beschriebenen Beispiel mit der Tür folgt, dass der betreffende Wert die Rotationsfähigkeit der Kraft angibt, was ihre physikalische Bedeutung ist. Auch dieser Wertheißt Torsionsmoment.
Bestimmung des Kraftmoments
Bevor wir die betrachtete Menge definieren, machen wir uns ein einfaches Bild.
Die Abbildung zeigt also einen Hebel (blau), der auf der Achse (grün) befestigt ist. Dieser Hebel hat die Länge d und an seinem Ende wirkt eine Kraft F. Was passiert in diesem Fall mit dem System? Richtig, der Hebel beginnt sich von oben betrachtet gegen den Uhrzeigersinn zu drehen (beachten Sie, dass er sich im Uhrzeigersinn dreht, wenn Sie Ihre Vorstellungskraft ein wenig erweitern und sich vorstellen, dass der Blick von unten auf den Hebel gerichtet ist).
Der Befestigungspunkt der Achse sei O und der Kraftangriffspunkt - P. Dann können wir den folgenden mathematischen Ausdruck schreiben:
OP¯ F¯=M¯FO.
Wo OP¯ der Vektor ist, der von der Achse zum Ende des Hebels zeigt, wird er auch Krafthebel genannt, F¯ist die vektoriell auf Punkt P ausgeübte Kraft, und M¯FO ist das Kraftmoment um Punkt O (Achse). Diese Formel ist die mathematische Definition der betreffenden physikalischen Größe.
Momentrichtung und Regel der rechten Hand
Der obige Ausdruck ist ein Kreuzprodukt. Wie Sie wissen, ist ihr Ergebnis ebenfalls ein Vektor, der senkrecht zu der Ebene steht, die durch die entsprechenden Multiplikatorvektoren verläuft. Diese Bedingung wird durch zwei Richtungen des Wertes M¯FO (nach unten und nach oben) erfüllt.
EinzigartigZur Bestimmung sollte man die sogenannte Rechte-Hand-Regel anwenden. Es kann so formuliert werden: Wenn Sie vier Finger Ihrer rechten Hand zu einem Halbbogen biegen und diesen Halbbogen so lenken, dass er entlang des ersten Vektors (dem ersten Faktor in der Formel) verläuft und bis zum Ende von geht der zweite, dann zeigt der nach oben ragende Daumen die Richtung des Torsionsmoments an. Beachten Sie auch, dass Sie vor der Anwendung dieser Regel die multiplizierten Vektoren so einstellen müssen, dass sie vom selben Punkt ausgehen (ihr Ursprung muss übereinstimmen).
Im Falle der Abbildung im vorigen Absatz können wir durch Anwendung der Rechte-Hand-Regel sagen, dass das Kraftmoment relativ zur Achse nach oben gerichtet ist, also zu uns hin.
Neben der markierten Richtungsbestimmung des Vektors M¯FO gibt es noch zwei weitere. Hier sind sie:
- Das Torsionsmoment wird so gelenkt, dass, wenn Sie den Drehhebel vom Ende seines Vektors aus betrachten, dieser sich gegen die Uhr bewegt. Es ist allgemein anerkannt, diese Richtung des Augenblicks bei der Lösung verschiedener Arten von Problemen als positiv zu betrachten.
- Wenn Sie den Bohrer im Uhrzeigersinn drehen, wird das Drehmoment auf die Bewegung (Vertiefung) des Bohrers gerichtet.
Alle obigen Definitionen sind gleichwertig, sodass jeder die für ihn passende auswählen kann.
Also wurde festgestellt, dass die Richtung des Kraftmoments parallel zur Achse ist, um die sich der entsprechende Hebel dreht.
Winkelkraft
Betrachten Sie das Bild unten.
Auch hier sehen wir einen an einem Punkt fixierten Hebel der Länge L (angedeutet durch einen Pfeil). Auf ihn wirkt eine Kraft F, die jedoch in einem bestimmten Winkel Φ (phi) zum horizontalen Hebel gerichtet ist. Die Richtung des Moments M¯FO ist in diesem Fall dieselbe wie in der vorherigen Abbildung (auf uns). Um den Absolutwert oder Modul dieser Größe zu berechnen, müssen Sie die Kreuzprodukteigenschaft verwenden. Ihm zufolge können Sie für das betrachtete Beispiel den Ausdruck schreiben: MFO=LFsin(180 o -Φ) oder wir schreiben unter Verwendung der Sinus-Eigenschaft um:
MFO=LFsin(Φ).
Die Abbildung zeigt auch ein fertiges rechtwinkliges Dreieck, dessen Seiten der Hebel selbst (Hypotenuse), die Wirkungslinie der Kraft (Bein) und die Seite der Länge d (das zweite Bein) sind. Da sin(Φ)=d/L ist, nimmt diese Formel die Form an: MFO=dF. Es ist ersichtlich, dass der Abstand d der Abstand vom Ansatzpunkt des Hebels zur Wirkungslinie der Kraft ist, d. h. der Hebel der Kraft.
Die beiden in diesem Absatz betrachteten Formeln, die sich direkt aus der Definition des Torsionsmoments ergeben, sind nützlich, um praktische Probleme zu lösen.
Drehmomenteinheiten
Anhand der Definition lässt sich feststellen, dass der Wert MFO in Newton pro Meter (Nm) zu messen ist. Tatsächlich wird es in Form dieser Einheiten in SI verwendet.
Beachte, dass Nm eine Arbeitseinheit ist, die wie Energie in Joule ausgedrückt wird. Joule wird jedoch nicht für den Begriff des Kraftmoments verwendet, da dieser Wert genau die Möglichkeit der Umsetzung des letzteren widerspiegelt. Allerdings besteht ein Zusammenhang mit der Arbeitseinheit: Wird der Hebel durch die Kraft F vollständig um seinen Drehpunkt O gedreht, so ist die verrichtete Arbeit gleich A=MF O 2pi (2pi ist der Winkel im Bogenmaß, der 360o entspricht). In diesem Fall kann die Einheit des Drehmoments MFO in Joule pro Radiant (J/rad.) ausgedrückt werden. Letzteres wird zusammen mit Hm auch im SI-System verwendet.
Satz von Varignon
Ende des 17. Jahrhunderts formulierte der französische Mathematiker Pierre Varignon, der das Gleichgewicht von Systemen mit Hebeln untersuchte, erstmals den Satz, der heute seinen Nachnamen trägt. Es wird wie folgt formuliert: Das Gesamtmoment mehrerer Kräfte ist gleich dem Moment der resultierenden einen Kraft, die an einem bestimmten Punkt relativ zur gleichen Drehachse angreift. Mathematisch lässt es sich wie folgt schreiben:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Dieser Satz eignet sich zur Berechnung der Torsionsmomente in Systemen mit mehreren wirkenden Kräften.
Als nächstes geben wir ein Beispiel für die Verwendung der obigen Formeln, um Probleme in der Physik zu lösen.
Schraubenschlüsselproblem
Einer vonEin eindrucksvolles Beispiel für die Bedeutung der Berücksichtigung des Kraftmoments ist das Lösen der Muttern mit einem Schraubenschlüssel. Um die Mutter zu lösen, müssen Sie ein gewisses Drehmoment aufbringen. Es muss berechnet werden, wie viel Kraft am Punkt A aufgebracht werden muss, um mit dem Abschrauben der Mutter zu beginnen, wenn diese Kraft am Punkt B 300 N beträgt (siehe Abbildung unten).
Aus der obigen Abbildung folgen zwei wichtige Dinge: Erstens ist die Entfernung OB doppelt so groß wie die von OA; zweitens sind die Kräfte FA und FBsenkrecht auf den entsprechenden Hebel gerichtet, wobei die Rotationsachse mit dem Mittelpunkt der Mutter zusammenfällt (Punkt O).
Das Drehmoment für diesen Fall lässt sich in Skalarform wie folgt schreiben: M=OBFB=OAFA. Da OB/OA=2 gilt, gilt diese Gleichheit nur, wenn FA 2 mal größer ist als FB. Aus der Problemstellung ergibt sich FA=2300=600 N. D. h. je länger die Klappe, desto leichter lässt sich die Mutter lösen.
Problem mit zwei Kugeln unterschiedlicher Masse
Die folgende Abbildung zeigt ein System, das sich im Gleichgewicht befindet. Es ist notwendig, die Position des Drehpunkts zu finden, wenn die Länge des Bretts 3 Meter beträgt.
Da das System im Gleichgewicht ist, ist die Summe der Momente aller Kräfte gleich Null. Auf das Brett wirken drei Kräfte (die Gewichte der beiden Kugeln und die Reaktionskraft der Stütze). Da die Stützkraft kein Drehmoment erzeugt (die Länge des Hebels ist Null), entstehen durch das Gewicht der Kugeln nur zwei Momente.
Der Gleichgewichtspunkt sei im Abstand x vonRand mit einem 100 kg schweren Ball. Dann können wir die Gleichheit schreiben: M1-M2=0. Da das Gewicht des Körpers durch die Formel mg bestimmt wird, dann haben wir: m 1gx - m2g(3-x)=0. Wir reduzieren g und ersetzen die Daten, wir erh alten: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m oder 14,3 cm.
Damit das System im Gleichgewicht ist, muss also ein Referenzpunkt in einem Abstand von 14,3 cm vom Rand festgelegt werden, an dem eine Kugel mit einer Masse von 100 kg liegen wird.
