Bei der Vorbereitung auf die Klausur in Mathematik müssen die Studierenden ihre Kenntnisse in Algebra und Geometrie systematisieren. Ich möchte alle bekannten Informationen kombinieren, zum Beispiel wie man die Fläche einer Pyramide berechnet. Außerdem ausgehend von den Grund- und Seitenflächen bis zur gesamten Oberfläche. Ist die Situation bei den Seitenflächen klar, da es sich um Dreiecke handelt, dann ist die Basis immer anders.
Wie finde ich die Fläche der Basis der Pyramide?
Es kann absolut jede Form haben: von einem beliebigen Dreieck bis zu einem n-Eck. Und diese Basis kann zusätzlich zu dem Unterschied in der Anzahl der Winkel eine reguläre Figur oder eine falsche sein. Bei den für Schüler interessanten USE-Aufgaben gibt es nur Aufgaben mit den richtigen Figuren an der Basis. Daher werden wir nur über sie sprechen.
Reguläres Dreieck
Das ist gleichseitig. Eine, bei der alle Seiten gleich sind und mit dem Buchstaben "a" gekennzeichnet sind. In diesem Fall wird die Fläche der Basis der Pyramide nach folgender Formel berechnet:
S=(a2√3) / 4.
Quadrat
Die Formel zur Berechnung der Fläche ist die einfachste,hier ist "a" wieder die Seite:
S=a2.
Beliebiges reguläres n-Eck
Die Seite eines Polygons hat die gleiche Bezeichnung. Für die Anzahl der Ecken wird der lateinische Buchstabe n verwendet.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Wie berechnet man Seiten- und Gesamtfläche?
Da die Basis eine regelmäßige Figur ist, sind alle Seiten der Pyramide gleich. Außerdem ist jedes von ihnen ein gleichschenkliges Dreieck, da die Seitenkanten gleich sind. Um dann die seitliche Fläche der Pyramide zu berechnen, benötigen Sie eine Formel, die aus der Summe identischer Monome besteht. Die Anzahl der Terme wird durch die Anzahl der Seiten der Basis bestimmt.
Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks errechnet sich nach der Formel, bei der das halbe Produkt der Grundfläche mit der Höhe multipliziert wird. Diese Höhe in der Pyramide wird Apothem genannt. Seine Bezeichnung ist "A". Die allgemeine Formel für die Seitenfläche lautet:
S=½ PA, wobei P der Umfang der Basis der Pyramide ist.
Es gibt Situationen, in denen die Seiten der Basis nicht bekannt sind, aber die Seitenkanten (c) und der flache Winkel an ihrem Scheitel (α) gegeben sind. Dann soll er mit dieser Formel die seitliche Fläche der Pyramide berechnen:
S=n/2in2 sin α.
Problem 1
Zustand. Finden Sie die Gesamtfläche der Pyramide, wenn ihre Basis ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seite von 4 cm ist und der Apothem √3 cm beträgt.
Entscheidung. SeineSie müssen mit der Berechnung des Umfangs der Basis beginnen. Da es sich um ein regelmäßiges Dreieck handelt, ist P \u003d 34 \u003d 12 cm Da das Apothem bekannt ist, können Sie sofort die Fläche der gesamten Seitenfläche berechnen: ½12√3=6 √3 cm 2.
Für ein Dreieck an der Basis ergibt sich folgender Flächenwert: (42√3) / 4=4√3 cm2.
Um die Gesamtfläche zu bestimmen, müssen Sie die beiden resultierenden Werte addieren: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Antwort. 10√3cm2.
Problem 2
Bedingung. Es gibt eine regelmäßige viereckige Pyramide. Die Seitenlänge der Basis beträgt 7 mm, die Seitenkante 16 mm. Sie müssen seine Oberfläche kennen.
Entscheidung. Da das Polyeder viereckig und regelmäßig ist, ist seine Grundfläche ein Quadrat. Nachdem Sie die Flächen der Grund- und Seitenflächen gelernt haben, können Sie die Fläche der Pyramide berechnen. Die Formel für das Quadrat ist oben angegeben. Und bei den Seitenflächen sind alle Seiten des Dreiecks bekannt. Daher können Sie die Formel von Heron verwenden, um ihre Flächen zu berechnen.
Die ersten Berechnungen sind einfach und führen zu dieser Zahl: 49 mm2. Für den zweiten Wert müssen Sie den Halbumfang berechnen: (7 + 162): 2=19,5 mm. Jetzt kannst du die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)2)=√2985,9375=54,644 mm 2. Es gibt nur vier solcher Dreiecke, also musst du sie bei der Berechnung der endgültigen Zahl mit 4 multiplizieren.
Es stellt sich heraus: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Antwort. Gewünschter Wert 267, 576mm2.
Problem 3
Bedingung. Für eine regelmäßige viereckige Pyramide müssen Sie die Fläche berechnen. Es kennt die Seite des Quadrats - 6 cm und die Höhe - 4 cm.
Entscheidung. Am einfachsten ist es, die Formel mit dem Produkt aus Umfang und Apothema zu verwenden. Der erste Wert ist leicht zu finden. Der zweite ist etwas schwieriger.
Wir müssen uns an den Satz des Pythagoras erinnern und ein rechtwinkliges Dreieck betrachten. Sie wird gebildet aus der Höhe der Pyramide und dem Apothem, der Hypotenuse. Das zweite Bein ist gleich der halben Seite des Quadrats, da die Höhe des Polyeders in seine Mitte fällt.
Der gesuchte Apothem (die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks) ist √(32 + 42)=5 (cm).
Jetzt können Sie den gesuchten Wert berechnen: ½(46)5+62=96 (siehe2).
Antwort. 96 cm2.
Problem 4
Zustand. Gegeben sei eine regelmäßige sechseckige Pyramide. Die Seiten seiner Basis sind 22 mm, die Seitenrippen sind 61 mm. Wie groß ist die Seitenfläche dieses Polyeders?
Entscheidung. Die Argumentation darin ist die gleiche wie in Problem Nr. 2 beschrieben. Nur gab es dort eine Pyramide mit einem Quadrat an der Basis, und jetzt ist es ein Sechseck.
Zuerst wird die Fläche der Grundfläche nach obiger Formel berechnet: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Nun musst du den halben Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks herausfinden, das ist die Seitenfläche. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm Es bleibt die Fläche von jedem solchen zu berechnenDreieck, multipliziere es dann mit sechs und addiere es zu dem, das sich als Basis herausstellte.
Berechnung nach Herons Formel: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Berechnungen, die die Seitenfläche ergeben: 6606=3960 cm2. Es bleibt, sie zu addieren, um die gesamte Oberfläche zu ermitteln: 5217, 47≈5217 cm2.
Antwort. Basis - 726√3cm2, Seitenfläche - 3960cm2, Gesamtfläche - 5217cm2.
