Die Fähigkeit, das Volumen räumlicher Figuren zu berechnen, ist wichtig, um eine Reihe praktischer Probleme in der Geometrie zu lösen. Eine der häufigsten Formen ist die Pyramide. In diesem Artikel betrachten wir die Formeln für das Volumen der Pyramide, sowohl vollständig als auch abgeschnitten.
Pyramide als dreidimensionale Figur
Jeder kennt die ägyptischen Pyramiden, also hat er eine gute Vorstellung davon, über welche Figur gesprochen wird. Ägyptische Steinbauten sind jedoch nur ein Sonderfall einer riesigen Klasse von Pyramiden.
Das betrachtete geometrische Objekt ist im allgemeinen eine polygonale Grundfläche, deren jeder Scheitelpunkt mit einem Punkt im Raum verbunden ist, der nicht zur Grundebene gehört. Diese Definition führt zu einer Figur, die aus einem n-Eck und n Dreiecken besteht.
Jede Pyramide besteht aus n+1 Flächen, 2n Kanten und n+1 Ecken. Da die betrachtete Figur ein perfektes Polyeder ist, gehorchen die Zahlen der markierten Elemente der Euler-Gleichung:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Das Polygon an der Basis gibt den Namen der Pyramide an,zum Beispiel dreieckig, fünfeckig und so weiter. Auf dem Foto unten ist eine Reihe von Pyramiden mit unterschiedlichen Basen zu sehen.
Der Punkt, an dem n Dreiecke der Figur verbunden sind, heißt Spitze der Pyramide. Wenn eine Senkrechte von ihr zur Basis abgesenkt wird und sie im geometrischen Zentrum schneidet, wird eine solche Figur als gerade Linie bezeichnet. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, liegt eine schiefe Pyramide vor.
Eine gerade Figur, deren Basis ein gleichseitiges (gleichwinkliges) n-Eck bildet, heißt regelmäßig.
Pyramidenvolumenformel
Um das Volumen der Pyramide zu berechnen, verwenden wir die Integralrechnung. Dazu teilen wir die Figur durch Sekantenebenen parallel zur Basis in unendlich viele dünne Schichten. Die folgende Abbildung zeigt eine viereckige Pyramide mit der Höhe h und der Seitenlänge L, in der eine dünne Schnittschicht mit einem Viereck markiert ist.
Die Fläche jeder solchen Schicht kann mit folgender Formel berechnet werden:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Hier ist A0 die Fläche der Basis, z ist der Wert der vertikalen Koordinate. Es ist ersichtlich, dass für z=0 die Formel den Wert A0.
ergibt
Um die Formel für das Volumen einer Pyramide zu erh alten, musst du das Integral über die gesamte Höhe der Figur berechnen, also:
V=∫h0(A(z)dz).
Durch Einsetzen der Abhängigkeit A(z) und Berechnung der Stammfunktion erh alten wir den Ausdruck:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Wir haben die Formel für das Volumen der Pyramide. Um den Wert von V zu ermitteln, reicht es aus, die Höhe der Figur mit der Fläche der Basis zu multiplizieren und das Ergebnis dann durch drei zu teilen.
Beachten Sie, dass der resultierende Ausdruck für die Berechnung des Volumens einer Pyramide beliebigen Typs gültig ist. Das heißt, es kann geneigt sein und seine Basis kann ein beliebiges n-Eck sein.
Die richtige Pyramide und ihr Volumen
Die im obigen Absatz erh altene allgemeine Volumenformel lässt sich im Falle einer Pyramide mit richtiger Grundfläche verfeinern. Die Fläche einer solchen Basis berechnet sich nach folgender Formel:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Hier ist L die Seitenlänge eines regelmäßigen Polygons mit n Ecken. Das Symbol pi ist die Zahl pi.
Indem wir den Ausdruck für A0 in die allgemeine Formel einsetzen, erh alten wir das Volumen einer regulären Pyramide:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Zum Beispiel führt diese Formel für eine dreieckige Pyramide zu folgendem Ausdruck:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Für eine regelmäßige viereckige Pyramide lautet die Volumenformel:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Um das Volumen regelmäßiger Pyramiden zu bestimmen, muss man die Seite ihrer Grundfläche und die Höhe der Figur kennen.
Pyramidenstumpf
Angenommen, wir haben genommeneine beliebige Pyramide und schneide einen Teil ihrer Seitenfläche ab, die die Spitze enthält. Die verbleibende Figur wird als Pyramidenstumpf bezeichnet. Es besteht bereits aus zwei n-Eckbasen und n Trapezoiden, die diese verbinden. Wenn die Schnittebene parallel zur Basis der Figur war, wird ein Pyramidenstumpf mit parallelen ähnlichen Basen gebildet. Das heißt, die Längen der Seiten einer von ihnen können erh alten werden, indem die Längen der anderen mit einem Koeffizienten k multipliziert werden.
Das obige Bild zeigt eine abgeschnittene regelmäßige sechseckige Pyramide. Es ist zu erkennen, dass seine obere Basis ebenso wie die untere von einem regelmäßigen Sechseck gebildet wird.
Die Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfes, die mit einer Integralrechnung ähnlich der angegebenen abgeleitet werden kann, lautet:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Wobei A0 und A1 die Bereiche der unteren (großen) bzw. oberen (kleinen) Basen sind. Die Variable h ist die Höhe des Pyramidenstumpfes.
Das Volumen der Cheopspyramide
Es ist interessant, das Problem der Bestimmung des Volumens zu lösen, das die größte ägyptische Pyramide im Inneren enthält.
Im Jahr 1984 legten die britischen Ägyptologen Mark Lehner und Jon Goodman die genauen Abmessungen der Cheops-Pyramide fest. Seine ursprüngliche Höhe betrug 146,50 Meter (derzeit etwa 137 Meter). Die durchschnittliche Länge jeder der vier Seiten der Struktur betrug 230,363 Meter. Die Basis der Pyramide ist mit hoher Genauigkeit quadratisch.
Nutzen wir die gegebenen Zahlen, um das Volumen dieses Steinriesen zu bestimmen. Da die Pyramide ein regelmäßiges Viereck ist, gilt für sie die Formel:
V4=1/3L2h.
Ersetzen Sie die Zahlen, wir erh alten:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Das Volumen der Cheops-Pyramide beträgt fast 2,6 Millionen m³3. Zum Vergleich stellen wir fest, dass das olympische Schwimmbecken ein Volumen von 2,5 Tausend m3 hat. Das heißt, um die gesamte Cheops-Pyramide zu füllen, werden mehr als 1000 dieser Pools benötigt!
