Damit sich der Leser leichter vorstellen kann, was ein Hyperboloid ist - ein dreidimensionales Objekt -, müssen Sie sich zunächst die gleichnamige gekrümmte Hyperbel ansehen, die in einen zweidimensionalen Raum passt.
Eine Hyperbel hat zwei Achsen: die reelle, die in dieser Abbildung mit der Abszissenachse zusammenfällt, und die imaginäre, mit der y-Achse. Wenn Sie beginnen, die Gleichung einer Hyperbel gedanklich um ihre imaginäre Achse zu drehen, dann ist die von der Kurve "gesehene" Oberfläche ein einschaliges Hyperboloid.
Wenn wir jedoch beginnen, die Hyperbel auf diese Weise um ihre reelle Achse zu drehen, dann bildet jede der beiden "Hälften" der Kurve eine eigene separate Fläche, und zusammen wird sie eine Zwei- eingezogenes Hyperboloid.
Erh alten durch Drehen der entsprechenden ebenen Kurve, werden sie jeweils Rotationshyperboloide genannt. Sie haben Parameter in allen Richtungen senkrecht zur Rotationsachse,Zugehörigkeit zur gedrehten Kurve. Im Allgemeinen ist dies nicht der Fall.
Hyperboloidgleichung
Im Allgemeinen kann eine Fläche durch die folgenden Gleichungen in kartesischen Koordinaten (x, y, z) definiert werden:
Bei einem Rotationshyperboloid drückt sich seine Symmetrie um die Drehachse in der Gleichheit der Koeffizienten a=b aus.
Hyperboloid-Eigenschaften
Er hat einen Trick. Wir wissen, dass Kurven auf einer Ebene Brennpunkte haben – im Fall einer Hyperbel zum Beispiel ist das Modul der Abstandsdifferenz von einem beliebigen Punkt auf einer Hyperbel zu einem Brennpunkt und dem zweiten per Definition tatsächlich ein Brennpunkt Punkte.
Beim Übergang in den dreidimensionalen Raum ändert sich die Definition praktisch nicht: Brennpunkte sind wieder zwei Punkte, und der Abstandsunterschied von ihnen zu einem beliebigen Punkt, der zur hyperboloiden Oberfläche gehört, ist konstant. Wie Sie sehen können, erschien nur die dritte Koordinate aus den Änderungen für alle möglichen Punkte, da sie jetzt im Raum festgelegt sind. Im Allgemeinen ist das Definieren eines Fokus gleichbedeutend mit dem Identifizieren des Typs einer Kurve oder Fläche: Indem wir darüber sprechen, wie die Punkte der Fläche relativ zu den Fokussen angeordnet sind, beantworten wir tatsächlich die Frage, was ein Hyperboloid ist und wie es aussieht.
Es sei daran erinnert, dass eine Hyperbel Asymptoten hat - gerade Linien, zu denen ihre Zweige ins Unendliche tendieren. Wenn man bei der Konstruktion eines Rotationshyperboloids die Asymptoten zusammen mit der Hyperbel gedanklich dreht, erhält man zusätzlich zum Hyperboloid auch einen Kegel, der als Asymptotik bezeichnet wird. Der asymptotische Kegel istfür ein- und zweischalige Hyperboloide.
Ein weiteres wichtiges Merkmal, das nur ein einschaliges Hyperboloid hat, sind geradlinige Generatoren. Wie der Name schon sagt, sind dies Linien, und sie liegen vollständig auf einer bestimmten Oberfläche. Zwei geradlinige Generatoren verlaufen durch jeden Punkt eines einschaligen Hyperboloids. Sie gehören jeweils zu zwei Linienfamilien, die durch folgende Gleichungssysteme beschrieben werden:
Daher kann ein einschaliges Hyperboloid vollständig aus einer unendlichen Anzahl gerader Linien zweier Familien bestehen, und jede Linie der einen schneidet sich mit allen Linien der anderen. Oberflächen, die solchen Eigenschaften entsprechen, werden liniert genannt; Sie können durch Drehung einer geraden Linie konstruiert werden. Als eindeutige Bezeichnung dessen, was ein Hyperboloid ist, kann auch die Definition durch die gegenseitige Anordnung von Linien (geradlinige Generatoren) im Raum dienen.
Interessante Eigenschaften eines Hyperboloids
Kurven zweiter Ordnung und ihre entsprechenden Rotationsflächen haben jeweils interessante optische Eigenschaften, die mit Fokussen verbunden sind. Im Falle eines Hyperboloids wird dies wie folgt formuliert: Wenn ein Strahl von einem Fokus abgefeuert wird, dann wird er, nachdem er von der nächsten "Wand" reflektiert wurde, eine solche Richtung nehmen, als ob er aus dem zweiten Fokus käme.
Hyperboloide im Leben
Höchstwahrscheinlich begannen die meisten Leser ihre Bekanntschaft mit analytischer Geometrie und Flächen zweiter Ordnung aus einem Science-Fiction-Roman von Alexei Tolstoi"Hyperboloid-Ingenieur Garin". Der Autor selbst wusste jedoch entweder nicht genau, was ein Hyperboloid ist, oder er opferte die Genauigkeit zugunsten der Kunstfertigkeit: Die beschriebene Erfindung ist in Bezug auf die physikalischen Eigenschaften eher ein Paraboloid, das alle Strahlen in einem Fokus sammelt (während das optische Eigenschaften des Hyperboloids sind mit der Streuung von Strahlen verbunden).
Die sogenannten hyperboloiden Strukturen sind in der Architektur sehr beliebt: Das sind Strukturen, die die Form eines einschaligen Hyperboloids oder eines hyperbolischen Paraboloids haben. Tatsache ist, dass nur diese Rotationsflächen zweiter Ordnung geradlinige Generatoren haben: Eine gekrümmte Struktur kann also nur aus geraden Balken gebaut werden. Die Vorteile solcher Strukturen liegen in der Fähigkeit, schweren Lasten, beispielsweise durch Wind, standzuh alten: Die hyperbolische Form wird beim Bau hoher Strukturen, beispielsweise Fernsehtürme, verwendet.
