Um eine allgemeine Vorstellung davon zu bekommen, was ein Kreis ist, schau dir einen Ring oder Reifen an. Du kannst auch ein rundes Glas und eine Tasse nehmen, sie verkehrt herum auf ein Blatt Papier legen und mit einem Bleistift umkreisen. Bei mehrfacher Vergrößerung wird die resultierende Linie dick und nicht ganz gleichmäßig, und ihre Ränder werden verschwommen. Der Kreis als geometrische Figur hat keine Eigenschaft wie Dicke.
Umfang: Definition und wichtigste Beschreibungsmittel
Ein Kreis ist eine geschlossene Kurve, die aus einer Reihe von Punkten besteht, die sich in derselben Ebene befinden und vom Mittelpunkt des Kreises gleich weit entfernt sind. In diesem Fall liegt der Mittelpunkt in derselben Ebene. In der Regel wird es durch den Buchstaben O gekennzeichnet.
Der Abstand von einem beliebigen Punkt des Kreises zum Mittelpunkt wird als Radius bezeichnet und mit dem Buchstaben R bezeichnet.
Wenn Sie zwei beliebige Punkte des Kreises verbinden, wird das resultierende Segment als Akkord bezeichnet. Die durch den Mittelpunkt des Kreises verlaufende Sehne ist der Durchmesser, der mit dem Buchstaben D bezeichnet wird. Der Durchmesser teilt den Kreis in zwei gleiche Bögen und ist doppelt so lang wie der Radius. Also D=2R, oder R=D/2.
Eigenschaften von Akkorden
- Ziehst du eine Sehne durch zwei beliebige Punkte des Kreises und zeichnest dann einen Radius oder Durchmesser senkrecht dazu, dann teilt dieses Segment sowohl die Sehne als auch den von ihr abgeschnittenen Bogen in zwei gleiche Teile. Umgekehrt gilt auch: Teilt der Radius (Durchmesser) die Sehne in zwei Hälften, dann steht er senkrecht dazu.
- Wenn zwei parallele Akkorde innerhalb desselben Kreises gezeichnet werden, dann sind die von ihnen abgeschnittenen und eingeschlossenen Bögen gleich.
- Zeichnen wir zwei Akkorde PR und QS, die sich innerhalb eines Kreises bei Punkt T schneiden. Das Produkt der Segmente eines Akkords ist immer gleich dem Produkt der Segmente des anderen Akkords, dh PT x TR=QT x TS.
Umfang: allgemeines Konzept und grundlegende Formeln
Eine der grundlegenden Eigenschaften dieser geometrischen Figur ist der Umfang. Die Formel wird aus Werten wie Radius, Durchmesser und der Konstanten "π" abgeleitet, die die Konstanz des Verhältnisses des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser widerspiegelt.
Somit ist L=πD oder L=2πR, wobei L der Umfang, D der Durchmesser und R der Radius ist.
Die Formel für den Kreisumfang kann als Ausgangsformel zur Bestimmung des Radius oder Durchmessers für einen gegebenen Umfang angesehen werden: D=L/π, R=L/2π.
Was ist ein Kreis: grundlegende Postulate
1. Eine Gerade und ein Kreis können wie folgt auf einer Ebene liegen:
- haben keine Gemeinsamkeiten;
- haben einen gemeinsamen Punkt, während die Linie Tangente genannt wird: wenn Sie einen Radius durch den Mittelpunkt und den Punkt ziehenberühren, wird es senkrecht zur Tangente sein;
- haben zwei gemeinsame Punkte, während die Gerade Sekante genannt wird.
2. Durch drei beliebige in einer Ebene liegende Punkte kann höchstens ein Kreis gezogen werden.
3. Zwei Kreise können sich nur an einem Punkt berühren, der sich auf der Strecke befindet, die die Mittelpunkte dieser Kreise verbindet.
4. Bei jeder Drehung um den Mittelpunkt verwandelt sich der Kreis in sich selbst.
5. Was ist ein Kreis in Bezug auf Symmetrie?
- gleiche Linienkrümmung an jedem Punkt;
- Zentralsymmetrie um Punkt O;
- Spiegelsymmetrie um den Durchmesser.
6. Wenn Sie zwei beliebige einbeschriebene Winkel basierend auf demselben Kreisbogen konstruieren, sind sie gleich. Der Winkel bezogen auf einen Bogen gleich dem halben Umfang des Kreises, also abgeschnitten durch einen Sehnendurchmesser, beträgt immer 90°.
7. Vergleicht man geschlossene Kurven gleicher Länge, so stellt sich heraus, dass der Kreis den Flächenabschnitt der größten Fläche begrenzt.
Kreis in ein Dreieck eingeschrieben und darum herum beschrieben
Eine Vorstellung davon, was ein Kreis ist, wird ohne eine Beschreibung der Beziehung zwischen dieser geometrischen Figur und Dreiecken unvollständig sein.
- Wenn man einen Kreis konstruiert, der einem Dreieck einbeschrieben ist, fällt sein Mittelpunkt immer mit dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks zusammen.
- Der Mittelpunkt des umschriebenen Dreiecks liegt am Schnittpunktmittlere Senkrechte zu jeder Seite des Dreiecks.
- Beschreibt man einen Kreis um ein rechtwinkliges Dreieck, dann liegt dessen Mittelpunkt in der Mitte der Hypotenuse, d.h. letztere ist der Durchmesser.
- Die Mittelpunkte des einbeschriebenen und des umschriebenen Kreises liegen am selben Punkt, wenn die Basis für die Konstruktion ein gleichseitiges Dreieck ist.
Grundaussagen zu Kreis und Viereck
- Ein konvexes Viereck kann nur dann umschrieben werden, wenn die Summe seiner gegenüberliegenden Innenwinkel 180° beträgt.
- Man kann einen Kreis konstruieren, der einem konvexen Viereck einbeschrieben ist, wenn die Summe der Längen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich ist.
- Es ist möglich, einen Kreis um ein Parallelogramm zu beschreiben, wenn seine Winkel richtig sind.
- Du kannst einem Parallelogramm einen Kreis einschreiben, wenn alle seine Seiten gleich sind, es also eine Raute ist.
- Es ist nur möglich, einen Kreis durch die Winkel eines Trapezes zu konstruieren, wenn es gleichschenklig ist. In diesem Fall befindet sich der Mittelpunkt des Umkreises im Schnittpunkt der Symmetrieachse des Vierecks und der zur Seite gezogenen Mittelsenkrechten.
