Wahrscheinlichkeitstheorie arbeitet mit Zufallsvariablen. Für Zufallsvariablen gibt es sogenannte Verteilungsgesetze. Ein solches Gesetz beschreibt seine Zufallsvariable mit absoluter Vollständigkeit. Bei der Arbeit mit realen Sätzen von Zufallsvariablen ist es jedoch oft sehr schwierig, das Gesetz ihrer Verteilung sofort festzulegen, und sie sind auf einen bestimmten Satz numerischer Merkmale beschränkt. Beispielsweise ist die Berechnung des Mittelwerts und der Varianz einer Zufallsvariablen oft sehr nützlich.
Warum wird es benötigt
Wenn die Essenz der mathematischen Erwartung nahe am Mittelwert der Größe liegt, dann sagt in diesem Fall die Streuung aus, wie die Werte unserer Größe um diese mathematische Erwartung gestreut sind. Wenn wir beispielsweise den IQ einer Personengruppe gemessen haben und die Messergebnisse untersuchen wollen (Stichprobe), zeigt die mathematische Erwartung den ungefähren Durchschnittswert des Intelligenzquotienten für diese Personengruppe und berechnen wir die Stichprobenvarianz, werden wir herausfinden, wie die Ergebnisse um die mathematische Erwartung herum gruppiert sind: ein Haufen in der Nähe (kleine Schwankung des IQ) oder gleichmäßiger über den gesamten Bereich vom minimalen bis zum maximalen Ergebnis (große Schwankung und irgendwo in der Mitte - mathematische Erwartung).
Um die Varianz zu berechnen, benötigen Sie ein neues Merkmal einer Zufallsvariablen - die Abweichung des Werts vom mathematischenwarten.
Abweichung
Um zu verstehen, wie die Varianz berechnet wird, müssen Sie zuerst die Abweichung verstehen. Seine Definition ist die Differenz zwischen dem Wert, den eine Zufallsvariable annimmt, und ihrer mathematischen Erwartung. Grob gesagt muss man sich, um zu verstehen, wie ein Wert „gestreut“ist, ansehen, wie seine Abweichung verteilt ist. Das heißt, wir ersetzen den Wert des Wertes durch den Wert seiner Abweichung von der Matte. Erwartungen und erkunden Sie das Vertriebsgesetz.
Das Verteilungsgesetz einer diskreten, also einer Zufallsvariablen, die einzelne Werte annimmt, wird in Form einer Tabelle geschrieben, wobei der Wert des Wertes mit der Wahrscheinlichkeit seines Auftretens korreliert. Dann wird im Abweichungsverteilungsgesetz die Zufallsvariable durch ihre Formel ersetzt, in der es einen Wert gibt (der seine Wahrscheinlichkeit beibeh alten hat) und seine eigene Matte. warten.
Eigenschaften des Verteilungsgesetzes der Abweichung einer Zufallsvariablen
Wir haben das Verteilungsgesetz für die Abweichung einer Zufallsvariablen aufgeschrieben. Daraus können wir bisher nur ein Merkmal wie den mathematischen Erwartungswert extrahieren. Der Einfachheit halber ist es besser, ein numerisches Beispiel zu nehmen.
Es gebe ein Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen: X - Wert, p - Wahrscheinlichkeit.
Wir berechnen mit der Formel den mathematischen Erwartungswert und gleich die Abweichung.
Zeichnen einer neuen Abweichungsverteilungstabelle.
Auch hier berechnen wir die Erwartung.
Es stellt sich als Null heraus. Es gibt nur ein Beispiel, aber es wird immer so sein: es ist nicht schwer, dies im allgemeinen Fall zu beweisen. Die Formel für die mathematische Erwartung der Abweichung lässt sich zerlegen in die Differenz zwischen der mathematischen Erwartung einer Zufallsvariablen und, so krumm es auch klingen mag, der mathematischen Erwartung der Matte. Erwartungen (jedoch Rekursion), die gleich sind, daher ist ihre Differenz null.
Das wird erwartet: Vorzeichenabweichungen können schließlich sowohl positiv als auch negativ sein, daher sollten sie im Durchschnitt Null ergeben.
Wie man die Varianz eines diskreten Falls berechnet. Mengen
Wenn Mat. Es ist sinnlos, die Abweichungserwartung zu berechnen, Sie müssen nach etwas anderem suchen. Sie können einfach die absoluten Werte der Abweichungen (Modulo) nehmen; aber bei Modulen ist alles nicht so einfach, also werden die Abweichungen quadriert und dann ihr mathematischer Erwartungswert berechnet. Eigentlich ist das gemeint, wenn sie davon sprechen, wie man die Varianz berechnet.
Das heißt, wir nehmen die Abweichungen, quadrieren sie und erstellen eine Tabelle der quadrierten Abweichungen und Wahrscheinlichkeiten, die Zufallsvariablen entsprechen. Das ist ein neues Vertriebsgesetz. Um den mathematischen Erwartungswert zu berechnen, müssen Sie die Produkte aus dem Quadrat der Abweichung und der Wahrscheinlichkeit addieren.
Einfache Formel
Der Artikel begann jedoch damit, dass das Verteilungsgesetz der anfänglichen Zufallsvariablen oft unbekannt ist. Also muss etwas Leichteres her. Tatsächlich gibt es eine andere Formel, mit der Sie die Stichprobenvarianz nur mit der Matte berechnen können. Warten:
Dispersion - der Unterschied zwischen der Matte. Erwartungswert des Quadrats einer Zufallsvariablen und umgekehrt das Quadrat ihrer Matte. warten.
Dafür gibt es einen Beweis, aber es macht keinen Sinn, ihn hier vorzustellen, da er keinen praktischen Wert hat (und wir nur die Varianz berechnen müssen).
Wie berechnet man die Varianz einer Zufallsvariablen in Variationsreihen
In der realen Statistik ist es unmöglich, alle Zufallsvariablen abzubilden (weil es grob gesagt in der Regel unendlich viele gibt). Was also in die Studie einfließt, ist die sogenannte repräsentative Stichprobe aus einer allgemeinen Allgemeinbevölkerung. Und da die numerischen Merkmale einer beliebigen Zufallsvariablen aus einer solchen Grundgesamtheit aus der Stichprobe berechnet werden, heißen sie Stichprobe: Stichprobenmittelwert bzw. Stichprobenvarianz. Sie können es wie gewohnt berechnen (durch die quadrierten Abweichungen).
Eine solche Streuung wird jedoch als voreingenommen bezeichnet. Die unverzerrte Varianzformel sieht etwas anders aus. Es ist normalerweise erforderlich, es zu berechnen.
Kleiner Zusatz
Eine weitere numerische Eigenschaft ist mit der Streuung verbunden. Es dient auch dazu, auszuwerten, wie die Zufallsvariable um ihre Matte streut. Erwartungen. Es gibt keinen großen Unterschied bei der Berechnung der Varianz und der Standardabweichung: Letztere ist die Quadratwurzel der ersteren.
