In dem Artikel, auf den Sie aufmerksam gemacht wurden, bieten wir Beispiele für mathematische Modelle. Darüber hinaus werden wir uns mit den Phasen der Modellerstellung befassen und einige der Aufgaben analysieren, die mit der mathematischen Modellierung verbunden sind.
Eine weitere unserer Fragen betrifft mathematische Modelle in der Wirtschaft, Beispiele, deren Definition wir etwas später betrachten werden. Wir schlagen vor, unser Gespräch mit dem eigentlichen Begriff „Modell“zu beginnen, kurz deren Klassifizierung zu betrachten und zu unseren Hauptfragen überzugehen.
Das Konzept des "Modells"
Wir hören oft das Wort "Model". Was ist es? Dieser Begriff hat viele Definitionen, hier sind nur drei davon:
- ein spezifisches Objekt, das geschaffen wurde, um Informationen zu empfangen und zu speichern, die einige Eigenschaften oder Merkmale usw. des Originals dieses Objekts widerspiegeln (dieses spezifische Objekt kann in verschiedenen Formen ausgedrückt werden: mental, Beschreibung durch Zeichen, und so weiter);
- Modell bedeutet auch die Darstellung einer bestimmten Situation, des Lebens oderFührungskraft;
- Modell kann als reduzierte Kopie eines beliebigen Objekts dienen (sie werden für detailliertere Studien und Analysen erstellt, da das Modell die Struktur und die Beziehungen widerspiegelt).
Basierend auf allem, was zuvor gesagt wurde, können wir eine kleine Schlussfolgerung ziehen: Das Modell ermöglicht es Ihnen, ein komplexes System oder Objekt im Detail zu untersuchen.
Alle Modelle können nach mehreren Kriterien klassifiziert werden:
- nach Einsatzbereich (Bildung, Experiment, Wissenschaft und Technik, Gaming, Simulation);
- durch Dynamik (statisch und dynamisch);
- nach Wissenszweig (physikalisch, chemisch, geographisch, historisch, soziologisch, wirtschaftlich, mathematisch);
- als Präsentationsform (Material und Information).
Informationsmodelle wiederum werden in Gebärden und Verben unterteilt. Und ikonisch - auf Computer und Nicht-Computer. Kommen wir nun zu einer detaillierten Betrachtung von Beispielen eines mathematischen Modells.
Mathematisches Modell
Wie Sie vielleicht vermuten, spiegelt ein mathematisches Modell einige Merkmale eines Objekts oder Phänomens mit speziellen mathematischen Symbolen wider. Mathematik wird benötigt, um die Muster der umgebenden Welt in ihrer eigenen spezifischen Sprache zu modellieren.
Die Methode der mathematischen Modellierung entstand vor ziemlich langer Zeit, vor Tausenden von Jahren, zusammen mit dem Aufkommen dieser Wissenschaft. Den Anstoß zur Entwicklung dieser Modellierungsmethode gab jedoch das Aufkommen von Computern (elektronischen Rechnern).
Jetzt kommen wir zur Klassifizierung. Es kann auch nach einigen Zeichen durchgeführt werden. Sie sindsind in der folgenden Tabelle dargestellt.
| Klassifizierung nach Wissenschaftszweigen | Anwendung mathematischer Modelle in Physik, Soziologie, Chemie usw. |
| Nach dem im Modellierungsprozess verwendeten mathematischen Apparat | Modelle basierend auf Differentialgleichungen, diskreten algebraischen Transformationen und dergleichen |
| Durch die Modellierung von Zielen | Nach diesem Prinzip gibt es Beschreibungs-, Optimierungs-, Mehrkriterien-, Spiel- und Simulationsmodelle |
Wir schlagen vor, innezuh alten und uns die letzte Klassifizierung genauer anzusehen, da sie die allgemeinen Muster der Modellierung und die Ziele der erstellten Modelle widerspiegelt.
Beschreibende Modelle
In diesem Kapitel schlagen wir vor, näher auf deskriptive mathematische Modelle einzugehen. Um alles sehr deutlich zu machen, wird ein Beispiel gegeben.
Zunächst einmal kann man diese Ansicht beschreibend nennen. Dies liegt daran, dass wir nur Berechnungen und Prognosen anstellen, aber den Ausgang der Veranst altung in keiner Weise beeinflussen können.
Ein markantes Beispiel für ein beschreibendes mathematisches Modell ist die Berechnung der Flugbahn, Geschwindigkeit und Entfernung eines Kometen von der Erde, der in die Weiten unseres Sonnensystems eingedrungen ist. Dieses Modell ist beschreibend, da alle erh altenen Ergebnisse uns nur vor einer Art von Gefahr warnen können. Beeinflussen Sie den Ausgang der Veranst altung leider nichtDürfen. Aufgrund der erh altenen Berechnungen ist es jedoch möglich, alle Maßnahmen zu ergreifen, um das Leben auf der Erde zu retten.
Optimierungsmodelle
Jetzt werden wir ein wenig über wirtschaftliche und mathematische Modelle sprechen, Beispiele dafür können verschiedene Situationen sein. In diesem Fall sprechen wir von Modellen, die helfen, unter bestimmten Bedingungen die richtige Antwort zu finden. Sie müssen einige Parameter haben. Betrachten Sie zur Verdeutlichung ein Beispiel aus dem landwirtschaftlichen Teil.
Wir haben einen Getreidespeicher, aber das Getreide verdirbt sehr schnell. In diesem Fall müssen wir das richtige Temperaturregime wählen und den Lagerungsprozess optimieren.
So können wir das Konzept des "Optimierungsmodells" definieren. Im mathematischen Sinne ist dies ein Gleichungssystem (sowohl linear als auch nicht), dessen Lösung hilft, die optimale Lösung in einer bestimmten wirtschaftlichen Situation zu finden. Wir haben ein Beispiel für ein mathematisches Modell (Optimierung) betrachtet, aber ich möchte hinzufügen: Diese Art gehört zur Klasse der Extremprobleme, sie helfen, das Funktionieren des Wirtschaftssystems zu beschreiben.
Beachten Sie noch eine Nuance: Modelle können unterschiedlicher Natur sein (siehe Tabelle unten).
| deterministisch | In diesem Fall hängt das Ergebnis von den Eingabedaten ab |
| stochastisch | Beschreibung zufälliger Prozesse. In diesem Fall bleibt das Ergebnis undefiniert |
Modelle mit mehreren Kriterien
Jetzt laden wir Sie ein, ein wenig darüber zu sprechenMathematisches Modell der Mehrzieloptimierung. Zuvor haben wir ein Beispiel für ein mathematisches Modell zur Optimierung eines Prozesses nach einem beliebigen Kriterium gegeben, aber was ist, wenn es viele davon gibt?
Ein markantes Beispiel für eine multikriterielle Aufgabe ist die Organisation einer artgerechten, gesunden und gleichzeitig sparsamen Ernährung für große Personengruppen. Solche Aufgaben finden sich oft in der Armee, in Schulkantinen, Sommerlagern, Krankenhäusern und so weiter.
Welche Kriterien werden uns bei dieser Aufgabe gegeben?
- Essen sollte gesund sein.
- Die Ausgaben für Lebensmittel sollten auf ein Minimum beschränkt werden.
Wie Sie sehen können, stimmen diese Ziele überhaupt nicht überein. Das bedeutet, dass bei der Lösung eines Problems nach der optimalen Lösung gesucht werden muss, ein Gleichgewicht zwischen zwei Kriterien.
Spielmodelle
Apropos Spielmodelle, es ist notwendig, das Konzept der "Spieltheorie" zu verstehen. Einfach ausgedrückt spiegeln diese Modelle mathematische Modelle realer Konflikte wider. Seien Sie sich nur bewusst, dass das mathematische Modell des Spiels im Gegensatz zu einem echten Konflikt seine eigenen spezifischen Regeln hat.
Jetzt wird es ein Minimum an Informationen aus der Spieltheorie geben, die Ihnen helfen zu verstehen, was ein Spielmodell ist. Und so gibt es im Modell notwendigerweise Parteien (zwei oder mehr), die normalerweise Spieler genannt werden.
Alle Modelle haben einige Eigenschaften.
| Themen | Anzahl Spieler |
| Strategie | Optionen für mögliche Aktionen |
| Zahlung | Ausgang des Konflikts (Sieg oder Niederlage). |
Das Spielmodell kann gepaart oder mehrfach sein. Wenn wir zwei Themen haben, ist der Konflikt gepaart, wenn mehr - mehrfach. Es kann auch ein antagonistisches Spiel unterschieden werden, es wird auch als Nullsummenspiel bezeichnet. Dies ist ein Modell, bei dem der Gewinn eines Teilnehmers gleich dem Verlust des anderen ist.
Simulationsmodelle
In diesem Abschnitt widmen wir uns mathematischen Simulationsmodellen. Beispiele für Aufgaben sind:
- Modell der Dynamik der Anzahl von Mikroorganismen;
- Modell der Bewegung von Molekülen und so weiter.
In diesem Fall sprechen wir von Modellen, die möglichst nahe an realen Prozessen liegen. Im Großen und Ganzen ahmen sie jede Manifestation in der Natur nach. Im ersten Fall können wir beispielsweise die Dynamik der Anzahl von Ameisen in einer Kolonie modellieren. In diesem Fall können Sie das Schicksal jedes Einzelnen beobachten. In diesem Fall wird selten die mathematische Beschreibung verwendet, häufiger gibt es schriftliche Bedingungen:
- nach fünf Tagen legt das Weibchen Eier;
- 20 Tage später stirbt die Ameise und so weiter.
Daher werden Simulationsmodelle verwendet, um ein großes System zu beschreiben. Mathematischer Abschluss ist die Verarbeitung der erh altenen statistischen Daten.
Anforderungen
Sehr wichtigBeachten Sie, dass für diese Art von Modell einige Anforderungen gelten, darunter die in der folgenden Tabelle aufgeführten.
| Vielseitigkeit | Diese Eigenschaft ermöglicht Ihnen, dasselbe Modell zu verwenden, wenn Sie Gruppen von Objekten desselben Typs beschreiben. Es ist wichtig zu beachten, dass universelle mathematische Modelle völlig unabhängig von der physikalischen Natur des zu untersuchenden Objekts sind |
| Angemessenheit | Hier ist es wichtig zu verstehen, dass diese Eigenschaft es Ihnen ermöglicht, reale Prozesse so genau wie möglich zu reproduzieren. Bei Betriebsproblemen ist diese Eigenschaft der mathematischen Modellierung sehr wichtig. Ein Beispiel für ein Modell ist der Prozess der Optimierung der Nutzung eines Gassystems. In diesem Fall werden berechnete und tatsächliche Indikatoren verglichen, wodurch die Korrektheit des erstellten Modells überprüft wird |
| Genauigkeit | Diese Anforderung impliziert die Übereinstimmung der Werte, die wir bei der Berechnung des mathematischen Modells erh alten, und der Eingabeparameter unseres realen Objekts |
| Wirtschaft | Die Kosteneffektivitätsanforderung für jedes mathematische Modell ist durch Implementierungskosten gekennzeichnet. Wenn die Arbeit mit dem Modell manuell durchgeführt wird, muss berechnet werden, wie viel Zeit erforderlich ist, um ein Problem mit diesem mathematischen Modell zu lösen. Wenn wir über computergestütztes Design sprechen, werden die Indikatoren für die Kosten für Zeit und Computerspeicher berechnet |
StufenModellierung
Insgesamt ist es üblich, in der mathematischen Modellierung vier Stufen zu unterscheiden.
- Formuliere die Gesetze, die die Teile des Modells verbinden.
- Erforschung mathematischer Probleme.
- Koinzidenz von praktischen und theoretischen Ergebnissen klären.
- Analyse und Modernisierung des Modells.
Wirtschaftliches und mathematisches Modell
In diesem Abschnitt werden wir kurz auf die Problematik ökonomischer und mathematischer Modelle eingehen. Beispiele für Aufgaben sind:
- Bildung eines Produktionsprogramms für die Herstellung von Fleischprodukten, um den maximalen Gewinn der Produktion zu gewährleisten;
- maximiere den Gewinn der Organisation, indem du die optimale Anzahl von Tischen und Stühlen berechnest, die in einer Möbelfabrik hergestellt werden sollen, und so weiter.
Das ökonomisch-mathematische Modell zeigt eine ökonomische Abstraktion, die durch mathematische Begriffe und Zeichen ausgedrückt wird.
Mathematisches Computermodell
Beispiele für ein mathematisches Computermodell sind:
- Probleme der Hydraulik anhand von Flussdiagrammen, Diagrammen, Tabellen usw.;
- Probleme mit fester Mechanik und so weiter.
Computermodell ist ein Bild eines Objekts oder Systems, dargestellt als:
- Tabellen;
- Flussdiagramme;
- Diagramme;
- Grafiken usw.
Zugleich spiegelt dieses Modell den Aufbau und die Zusammenhänge des Systems wider.
Aufbau eines ökonomisch-mathematischen Modells
Wir haben bereits darüber gesprochen, was wirtschaftlich istmathematisches Modell. Ein Beispiel zum Lösen des Problems wird jetzt betrachtet. Wir müssen das Produktionsprogramm analysieren, um die Reserve für steigende Gewinne bei einer Sortimentsverschiebung zu identifizieren.
Wir werden das Problem nicht vollständig betrachten, sondern nur ein ökonomisches und mathematisches Modell erstellen. Das Kriterium unserer Aufgabe ist die Gewinnmaximierung. Dann hat die Funktion die Form: Ë=ð1х1+ð2х2… zum Maximum strebend. In diesem Modell ist p der Gewinn pro Einheit, x die Anzahl der produzierten Einheiten. Außerdem müssen auf der Grundlage des konstruierten Modells Berechnungen durchgeführt und zusammengefasst werden.
Ein Beispiel für den Aufbau eines einfachen mathematischen Modells
Aufgabe. Der Fischer kehrte mit folgendem Fang zurück:
- 8 Fische - Bewohner der nördlichen Meere;
- 20% des Fangs - die Bewohner der südlichen Meere;
- im örtlichen Fluss wurde kein einziger Fisch gefunden.
Wie viele Fische hat er im Laden gekauft?
Also, ein Beispiel für die Konstruktion eines mathematischen Modells dieses Problems ist wie folgt. Wir bezeichnen die Gesamtzahl der Fische als x. Gemäß der Bedingung ist 0,2x die Anzahl der Fische, die in südlichen Breiten leben. Jetzt kombinieren wir alle verfügbaren Informationen und erh alten das mathematische Modell des Problems: x=0, 2x+8. Wir lösen die Gleichung und erh alten die Antwort auf die Hauptfrage: Er hat 10 Fische im Laden gekauft.
