Ozhegov's Explanatory Dictionary besagt, dass ein Fünfeck eine geometrische Figur ist, die von fünf sich schneidenden geraden Linien begrenzt wird, die fünf Innenwinkel bilden, sowie jedes Objekt mit ähnlicher Form. Wenn ein bestimmtes Vieleck dieselben Seiten und Winkel hat, wird es als regelmäßiges (Fünfeck) bezeichnet.
Was ist interessant an einem regelmäßigen Fünfeck?
In dieser Form wurde das bekannte Gebäude des US-Verteidigungsministeriums gebaut. Von den voluminösen regelmäßigen Polyedern hat nur das Dodekaeder fünfeckige Flächen. Und in der Natur fehlen Kristalle völlig, deren Flächen einem regelmäßigen Fünfeck ähneln würden. Außerdem ist diese Figur ein Polygon mit einer minimalen Anzahl von Ecken, die nicht zum Kacheln einer Fläche verwendet werden können. Nur ein Fünfeck hat gleich viele Diagonalen wie seine Seiten. Stimme zu, es ist interessant!
Grundlegende Eigenschaften und Formeln
Verwendung der Formeln fürein beliebiges regelmäßiges Vieleck, können Sie alle notwendigen Parameter bestimmen, die das Fünfeck hat.
- Mittelwinkel α=360 / n=360/5=72°.
- Innenwinkel β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. Die Summe der Innenwinkel beträgt demnach 540°.
- Das Verhältnis der Diagonale zur Seite ist (1+√5) /2, also der "goldene Schnitt" (ungefähr 1, 618).
- Die Seitenlänge eines regelmäßigen Fünfecks kann mit einer von drei Formeln berechnet werden, je nachdem, welcher Parameter bereits bekannt ist:
- wird ein Kreis umschrieben und sein Radius R bekannt, dann ist a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- für den Fall, dass einem regelmäßigen Fünfeck ein Kreis mit Radius r eingeschrieben ist, gilt a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
- es kommt vor, dass statt Radien der Wert der Diagonale D bekannt ist, dann wird die Seite wie folgt bestimmt: a ≈ D/1, 618.
- Der Flächeninh alt eines regelmäßigen Fünfecks wird wiederum abhängig davon bestimmt, welche Parameter wir kennen:
- befindet sich ein eingeschriebener oder umschriebener Kreis, dann wird eine von zwei Formeln verwendet:
S=(nar)/2=2, 5ar oder S=(nR2sin α)/2 ≈ 2, 3776R2;
die Fläche kann auch bestimmt werden, indem man nur die Seitenlänge a kennt:
S=(5a2tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a2.
Reguläres Fünfeck: Konstruktion
Diese geometrische Figur kann auf verschiedene Arten gebaut werden. Schreiben Sie es beispielsweise in einen Kreis mit einem bestimmten Radius ein oder bauen Sie es auf der Grundlage einer bestimmten Seitenfläche. Der Handlungsablauf wurde um 300 v. Chr. in Euklids Elementen beschrieben. Auf jeden Fall brauchen wir einen Zirkel und ein Lineal. Betrachten Sie die Konstruktionsmethode anhand eines gegebenen Kreises.
1. Wähle einen beliebigen Radius und zeichne einen Kreis, dessen Mittelpunkt mit einem O markiert ist.
2. Wählen Sie auf der Kreislinie einen Punkt aus, der als einer der Eckpunkte unseres Fünfecks dienen soll. Sei dies Punkt A. Verbinde die Punkte O und A mit einer geraden Linie.
3. Zeichnen Sie eine Linie durch den Punkt O senkrecht zur Linie OA. Bezeichne den Schnittpunkt dieser Linie mit der Kreislinie als Punkt B.
4. Bauen Sie in der Mitte der Strecke zwischen den Punkten O und B Punkt C.
5. Zeichnen Sie nun einen Kreis, dessen Mittelpunkt bei Punkt C liegt und der durch Punkt A verläuft. Der Schnittpunkt mit der Linie OB (er wird innerhalb des allerersten Kreises liegen) ist Punkt D.
6. Konstruiere einen Kreis, der durch D geht und dessen Mittelpunkt in A liegt. Die Schnittpunkte mit dem ursprünglichen Kreis müssen mit den Punkten E und F markiert werden.
7. Konstruieren Sie nun einen Kreis, dessen Mittelpunkt in E liegt. Sie müssen dies so tun, dass er durch A verläuft. Sein anderer Schnittpunkt des ursprünglichen Kreises muss durch den Punkt G angezeigt werden.
8. Zeichnen Sie zum Schluss einen Kreis durch A mit Mittelpunkt F. Markieren Sie einen weiteren Schnittpunkt des ursprünglichen Kreises mit Punkt H.
9. Jetzt linksverbinde einfach die Eckpunkte A, E, G, H, F. Unser reguläres Fünfeck ist fertig!
