Dreieck, Viereck, Sechseck - diese Figuren kennt fast jeder. Aber nicht jeder weiß, was ein regelmäßiges Vieleck ist. Aber das sind alles die gleichen geometrischen Formen. Ein regelmäßiges Polygon ist eines, das gleiche Winkel und Seiten hat. Es gibt viele solcher Figuren, aber sie haben alle die gleichen Eigenschaften und es gelten die gleichen Formeln.
Eigenschaften regelmäßiger Polygone
Jedes regelmäßige Vieleck, sei es ein Quadrat oder ein Achteck, kann einem Kreis einbeschrieben werden. Diese Grundeigenschaft wird oft bei der Konstruktion einer Figur verwendet. Außerdem kann einem Polygon auch ein Kreis einbeschrieben werden. In diesem Fall entspricht die Anzahl der Kontaktpunkte der Anzahl seiner Seiten. Es ist wichtig, dass ein Kreis, der in ein regelmäßiges Polygon eingeschrieben ist, einen gemeinsamen Mittelpunkt mit ihm hat. Diese geometrischen Figuren unterliegen den gleichen Sätzen. Jede Seiteeines regelmäßigen n-Ecks hängt vom Radius R des ihn umschreibenden Kreises ab und lässt sich daher mit folgender Formel berechnen: a=2R ∙ sin180°. Durch den Radius des Kreises findest du nicht nur die Seiten, sondern auch den Umfang des Vielecks.
Wie man die Anzahl der Seiten eines regelmäßigen Polygons ermittelt
Jedes regelmäßige n-Eck besteht aus einer bestimmten Anzahl gleicher Segmente, die verbunden eine geschlossene Linie bilden. In diesem Fall haben alle Ecken der gebildeten Figur denselben Wert. Polygone werden in einfache und komplexe unterteilt. Die erste Gruppe umfasst ein Dreieck und ein Quadrat. Komplexe Polygone haben mehr Seiten. Dazu gehören auch sternförmige Figuren. Bei komplexen regelmäßigen Polygonen werden die Seiten gefunden, indem man sie in einen Kreis einschreibt. Geben wir einen Beweis. Zeichne ein regelmäßiges Polygon mit einer beliebigen Seitenzahl n. Beschreiben Sie einen Kreis darum. Geben Sie den Radius R an. Stellen Sie sich nun vor, dass ein n-Eck gegeben ist. Wenn die Punkte seiner Winkel auf einem Kreis liegen und einander gleich sind, dann können die Seiten durch die Formel gefunden werden: a=2R ∙ sinα: 2.
Ermittlung der Seitenzahl eines einbeschriebenen regelmäßigen Dreiecks
Ein gleichseitiges Dreieck ist ein regelmäßiges Vieleck. Für sie gelten die gleichen Formeln wie für das Quadrat und das n-Eck. Ein Dreieck gilt als korrekt, wenn es gleich lange Seiten hat. In diesem Fall betragen die Winkel 60⁰. Konstruiere ein Dreieck mit gegebener Seitenlänge a. Wenn man seinen Median und seine Höhe kennt,Sie können den Wert seiner Seiten finden. Dazu verwenden wir die Methode zum Finden durch die Formel a \u003d x: cosα, wobei x der Median oder die Höhe ist. Da alle Seiten des Dreiecks gleich sind, erh alten wir a=b=c. Dann gilt die folgende Aussage a=b=c=x: cosα. In ähnlicher Weise können Sie den Wert der Seiten in einem gleichschenkligen Dreieck finden, aber x ist die angegebene Höhe. Gleichzeitig sollte es streng auf die Basis der Figur projiziert werden. Wenn wir also die Höhe x kennen, finden wir die Seite a eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Formel a \u003d b \u003d x: cosα. Nachdem Sie den Wert von a gefunden haben, können Sie die Länge der Basis c berechnen. Wenden wir den Satz des Pythagoras an. Wir suchen den Wert der halben Basis c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Dann ist c=2xtanα. Hier ist eine einfache Möglichkeit, die Anzahl der Seiten eines beliebigen einbeschriebenen Polygons zu ermitteln.
Berechnen Sie die Seiten eines Quadrats, das einem Kreis einbeschrieben ist
Wie jedes andere beschriftete regelmäßige Polygon hat ein Quadrat gleiche Seiten und Winkel. Für sie gelten die gleichen Formeln wie für das Dreieck. Du kannst die Seiten eines Quadrats mit dem Wert der Diagonalen berechnen. Betrachten wir diese Methode genauer. Es ist bekannt, dass die Diagonale den Winkel halbiert. Anfangs war sein Wert 90 Grad. Somit werden nach der Teilung zwei rechtwinklige Dreiecke gebildet. Ihre Basiswinkel betragen 45 Grad. Dementsprechend ist jede Seite des Quadrats gleich, das heißt: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, wobei e die Diagonale des Quadrats oder die Basis von ist das nach der Teilung gebildete rechtwinklige Dreieck. Es ist nicht der einzige Wegdie seiten eines quadrats finden. Schreiben wir diese Figur in einen Kreis. Wenn wir den Radius dieses Kreises R kennen, finden wir die Seite des Quadrats. Wir berechnen es wie folgt: a4=R√2. Die Radien regelmäßiger Polygone werden nach der Formel R=a: 2tg (360o: 2n) berechnet, wobei a die Seitenlänge ist.
Wie berechnet man den Umfang eines n-Ecks
Der Umfang eines n-Ecks ist die Summe aller seiner Seiten. Es ist einfach, es zu berechnen. Dazu müssen Sie die Werte aller Seiten kennen. Für einige Arten von Polygonen gibt es spezielle Formeln. Sie ermöglichen es Ihnen, den Umfang viel schneller zu finden. Es ist bekannt, dass jedes regelmäßige Polygon gleiche Seiten hat. Um seinen Umfang zu berechnen, reicht es daher aus, mindestens einen von ihnen zu kennen. Die Formel hängt von der Anzahl der Seiten der Figur ab. Im Allgemeinen sieht es so aus: P \u003d an, wobei a der Wert der Seite und n die Anzahl der Winkel ist. Um beispielsweise den Umfang eines regelmäßigen Achtecks mit einer Seite von 3 cm zu ermitteln, müssen Sie ihn mit 8 multiplizieren, dh P=3 ∙ 8=24 cm Für ein Sechseck mit einer Seite von 5 cm berechnen wir wie folgt: P=5 ∙ 6=30 cm. Und so für jedes Polygon.
Ermittlung des Umfangs eines Parallelogramms, eines Quadrats und einer Raute
Je nachdem, wie viele Seiten ein regelmäßiges Polygon hat, wird sein Umfang berechnet. Dies erleichtert die Aufgabe erheblich. Im Gegensatz zu anderen Figuren ist es in diesem Fall tatsächlich nicht notwendig, alle Seiten zu suchen, nur eine reicht aus. Nach dem gleichen Prinzip finden wir den Umfang beiVierecke, also ein Quadrat und eine Raute. Trotz der Tatsache, dass es sich um unterschiedliche Figuren handelt, ist die Formel für sie dieselbe: P=4a, wobei a die Seite ist. Nehmen wir ein Beispiel. Wenn die Seite einer Raute oder eines Quadrats 6 cm beträgt, finden wir den Umfang wie folgt: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Ein Parallelogramm hat nur gegenüberliegende Seiten. Daher wird sein Umfang mit einer anderen Methode ermittelt. Wir müssen also die Länge a und die Breite b der Figur kennen. Dann wenden wir die Formel P=(a + c) ∙ 2 an. Ein Parallelogramm, in dem alle Seiten und Winkel zwischen ihnen gleich sind, heißt Rhombus.
Umfang eines gleichseitigen und rechtwinkligen Dreiecks ermitteln
Der Umfang eines regelmäßigen gleichseitigen Dreiecks kann durch die Formel P=3a ermittelt werden, wobei a die Seitenlänge ist. Wenn es unbekannt ist, kann es über den Median gefunden werden. In einem rechtwinkligen Dreieck sind nur zwei Seiten gleich. Die Grundlage kann durch den Satz des Pythagoras gefunden werden. Nachdem die Werte aller drei Seiten bekannt geworden sind, berechnen wir den Umfang. Es kann durch Anwendung der Formel P \u003d a + b + c gefunden werden, wobei a und b gleiche Seiten sind und c die Basis ist. Denken Sie daran, dass in einem gleichschenkligen Dreieck a \u003d b \u003d a, also a + b \u003d 2a, dann P \u003d 2a + c. Zum Beispiel ist die Seite eines gleichschenkligen Dreiecks 4 cm lang, finden Sie seine Basis und seinen Umfang. Den Wert der Hypotenuse berechnen wir mit dem Satz des Pythagoras c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Jetzt berechnen wir den Umfang Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
So finden Sie die Ecken eines regelmäßigen Vielecks
Regelmäßiges Vieleckkommt in unserem Leben jeden Tag vor, zum Beispiel ein gewöhnliches Quadrat, Dreieck, Achteck. Es scheint, dass es nichts einfacheres gibt, als diese Figur selbst zu bauen. Aber das ist nur auf den ersten Blick. Um ein beliebiges n-Eck zu konstruieren, müssen Sie den Wert seiner Winkel kennen. Aber wie findet man sie? Schon Wissenschaftler der Antike versuchten, regelmäßige Polygone zu bauen. Sie vermuteten, sie in Kreise einzupassen. Und dann wurden die notwendigen Punkte darauf markiert, die durch gerade Linien verbunden waren. Für einfache Figuren ist das Konstruktionsproblem gelöst. Formeln und Theoreme wurden erh alten. Zum Beispiel beschäftigte sich Euklid in seinem berühmten Werk "The Beginning" mit der Lösung von Problemen für 3-, 4-, 5-, 6- und 15-Ecke. Er fand Wege, sie zu konstruieren und Winkel zu finden. Mal sehen, wie man das für ein 15-Gon macht. Zuerst müssen Sie die Summe seiner Innenwinkel berechnen. Es ist notwendig, die Formel S=180⁰(n-2) zu verwenden. Wir erh alten also ein 15-Eck, was bedeutet, dass die Zahl n 15 ist. Wir setzen die Daten, die wir kennen, in die Formel ein und erh alten S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Wir haben die Summe aller Innenwinkel eines 15-Ecks gefunden. Jetzt müssen wir den Wert von jedem von ihnen erh alten. Es gibt insgesamt 15 Winkel, wir berechnen 2340⁰: 15=156⁰. Dies bedeutet, dass jeder Innenwinkel 156⁰ beträgt. Mit Lineal und Zirkel können Sie jetzt ein regelmäßiges 15-Eck bauen. Aber was ist mit komplexeren n-Gonen? Seit Jahrhunderten haben Wissenschaftler darum gekämpft, dieses Problem zu lösen. Es wurde erst im 18. Jahrhundert von Carl Friedrich Gauß gefunden. Er konnte ein 65537-Eck bauen. Seitdem gilt das Problem offiziell als vollständig gelöst.
Berechnung der Winkel von n-Eckenim Bogenmaß
Natürlich gibt es mehrere Möglichkeiten, die Ecken von Polygonen zu finden. Meistens werden sie in Grad berechnet. Sie können sie aber auch im Bogenmaß ausdrücken. Wie kann man es machen? Es ist wie folgt vorzugehen. Zuerst ermitteln wir die Anzahl der Seiten eines regelmäßigen Polygons, dann subtrahieren wir davon 2. So erh alten wir den Wert: n - 2. Multiplizieren Sie die gefundene Differenz mit der Zahl n („pi“=3, 14). Jetzt bleibt nur noch, das resultierende Produkt durch die Anzahl der Winkel im n-Eck zu teilen. Betrachten Sie diese Berechnungen am Beispiel des gleichen Fünfzehnkants. Die Zahl n ist also 15. Wenden Sie die Formel S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72 an. ist nicht die einzige Möglichkeit, Winkel im Bogenmaß zu berechnen. Die Größe des Winkels in Grad kannst du einfach durch die Zahl 57,3 teilen. So viele Grad entsprechen schließlich einem Bogenmaß.
Winkelwerte in Grad berechnen
Neben Grad und Bogenmaß kannst du versuchen, den Wert der Winkel eines regelmäßigen Polygons in Grad zu finden. Dies geschieht auf folgende Weise. Subtrahiere 2 von der Gesamtzahl der Winkel, dividiere die resultierende Differenz durch die Anzahl der Seiten eines regelmäßigen Vielecks. Wir multiplizieren das gefundene Ergebnis mit 200. Übrigens wird eine solche Maßeinheit für Winkel wie Hagelkörner praktisch nicht verwendet.
Berechnung der Außenwinkel von n-Ecken
Für jedes regelmäßige Vieleck außer dem inneren kannst du auch den äußeren Winkel berechnen. Sein Wert wird auf die gleiche Weise wie bei anderen Zahlen ermittelt. Um also den Außenwinkel eines regelmäßigen Polygons zu finden, brauchen Siekennen die Bedeutung des Inneren. Außerdem wissen wir, dass die Summe dieser beiden Winkel immer 180 Grad beträgt. Deshalb rechnen wir wie folgt: 180⁰ minus Wert des Innenwinkels. Wir finden den Unterschied. Es ist gleich dem Wert des angrenzenden Winkels. Zum Beispiel hat die innere Ecke eines Quadrats 90 Grad, also ist der äußere Winkel 180⁰ - 90⁰=90⁰. Wie wir sehen können, ist es nicht schwer, es zu finden. Der Außenwinkel kann Werte von +180⁰ bis -180⁰ annehmen.
