Ideale Flüssigkeit und Gleichungen, die ihre Bewegung beschreiben

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Die Abteilung der Physik, die sich mit den Eigenschaften der Bewegung flüssiger Medien befasst, heißt Hydrodynamik. Einer der wichtigsten mathematischen Ausdrücke der Hydrodynamik ist die Bernoulli-Gleichung für eine ideale Flüssigkeit. Der Artikel widmet sich diesem Thema.

Was ist eine ideale Flüssigkeit?

Viele Menschen wissen, dass ein flüssiger Stoff ein solcher Aggregatzustand der Materie ist, der sein Volumen unter konstanten äußeren Bedingungen beibehält, aber bei der geringsten Einwirkung darauf seine Form ändert. Ein ideales Fluid ist ein flüssiger Stoff, der keine Viskosität hat und inkompressibel ist. Dies sind die beiden Haupteigenschaften, die es von echten Flüssigkeiten unterscheiden.

Beachten Sie, dass fast alle realen Flüssigkeiten als inkompressibel angesehen werden können, da eine kleine Volumenänderung einen enormen äußeren Druck erfordert. Wenn Sie beispielsweise einen Druck von 5 Atmosphären (500 kPa) erzeugen, erhöht Wasser seine Dichte nur um 0,024 %. Was die Frage der Viskosität anbelangt, so kann sie für eine Reihe praktischer Probleme vernachlässigt werden, wenn Wasser als Arbeitsflüssigkeit betrachtet wird. Der Vollständigkeit halber vermerken wir dasDie dynamische Viskosität von Wasser bei 20 ^oC beträgt 0,001 Pas², was im Vergleich zu diesem Wert für Honig (>2000) mager ist.

Es ist wichtig, die Begriffe ideales Fluid und ideales Gas nicht zu verwechseln, da letzteres leicht komprimierbar ist.

Kontinuitätsgleichung

In der Hydrodynamik beginnt die Betrachtung der Bewegung einer idealen Flüssigkeit aus der Untersuchung der Kontinuitätsgleichung ihrer Strömung. Um das Wesentliche des Problems zu verstehen, muss die Bewegung der Flüssigkeit durch das Rohr berücksichtigt werden. Stellen Sie sich vor, das Rohr hat am Eingang eine Querschnittsfläche A₁ und am Ausgang A₂.

Nehmen wir nun an, dass die Flüssigkeit am Anfang des Rohres mit der Geschwindigkeit v₁ strömt, das heißt in der Zeit t durch den Abschnitt A_{1Durchflussmenge V}1_=A1_v1_{t. Da die Flüssigkeit ideal, also inkompressibel ist, muss zur Zeit t genau die gleiche Wassermenge aus dem Rohrende austreten, wir erh alten: V}2_=A2 _v2_{t. Aus der Gleichheit der Volumina V}1 _{und V}2 _{folgt die Gleichung für die Kontinuität der Strömung eines idealen Fluids:}

A₁v₁=A₂v₂.

Aus der resultierenden Gleichung folgt, dass wenn A₁>A₂, dann v₁ sollte kleiner als v₂ sein. Mit anderen Worten, indem wir den Querschnitt des Rohrs verringern, erhöhen wir dadurch die Geschwindigkeit des Fluidstroms, der es verlässt. Offensichtlich wurde dieser Effekt von jeder Person in ihrem Leben beobachtet, die mindestens einmal Blumenbeete mit einem Schlauch gegossen oder bewässert hatGarten, also bedecken Sie das Loch des Schlauchs mit Ihrem Finger, Sie können beobachten, wie der Wasserstrahl, der daraus spritzt, stärker wird.

Kontinuitätsgleichung für ein verzweigtes Rohr

Es ist interessant, den Fall der Bewegung einer idealen Flüssigkeit durch ein Rohr zu betrachten, das nicht einen, sondern zwei oder mehr Ausgänge hat, also verzweigt ist. Zum Beispiel ist die Querschnittsfläche eines Rohres am Eingang A₁ und verzweigt sich zum Ausgang hin in zwei Rohre mit den Abschnitten A₂und A_{3. Bestimmen wir die Durchflussmengen v}2 _{und v}3_{, wenn bekannt ist, dass Wasser mit der Geschwindigkeit v} in den Zulauf eintritt 1.

Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung erh alten wir den Ausdruck: A₁v₁=A₂ v ₂ + A₃v₃. Um diese Gleichung für unbekannte Geschwindigkeiten zu lösen, müssen Sie verstehen, dass sich die Strömung am Auslass, in welchem Rohr auch immer, mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt, dh v₂=v3_{. Diese Tatsache kann intuitiv verstanden werden. Wenn das Auslassrohr durch eine Trennwand in zwei Teile geteilt wird, ändert sich die Durchflussrate nicht. Angesichts dieser Tatsache erh alten wir die Lösung: v}2_=v3 _=A1_v1/(A₂ + A₃).

Bernoulli-Gleichung für eine ideale Flüssigkeit

Daniil Bernoulli, ein Schweizer Physiker und Mathematiker niederländischer Herkunft, präsentierte in seiner Arbeit "Hydrodynamik" (1734) eine Gleichung für eine ideale Flüssigkeit, die ihre Bewegung beschreibt. Es wird in der folgenden Form geschrieben:

P+ ρv²/2 + ρgh=const.

Dieser Ausdruck spiegelt den Energieerh altungssatz im Falle einer Flüssigkeitsströmung wider. Der erste Term (P) ist also der entlang des Flüssigkeitsverdrängungsvektors gerichtete Druck, der die Arbeit der Strömung beschreibt, der zweite Term (ρv²/2) ist die Kinetik Energie der flüssigen Substanz, und der dritte Term (ρgh) ist ihre potentielle Energie.

Erinnere dich daran, dass diese Gleichung für eine ideale Flüssigkeit gilt. In Wirklichkeit gibt es immer Reibung einer flüssigen Substanz an den Wänden des Rohrs und innerhalb seines Volumens, daher wird ein zusätzlicher Term in die obige Bernoulli-Gleichung eingeführt, der diese Energieverluste beschreibt.

Verwendung der Bernoulli-Gleichung

Es ist interessant, einige Erfindungen zu zitieren, die Ableitungen von der Bernoulli-Gleichung verwenden:

• Schornstein und Abzugshauben. Aus der Gleichung folgt, dass je größer die Bewegungsgeschwindigkeit einer flüssigen Substanz ist, desto geringer ist ihr Druck. Die Geschwindigkeit der Luftbewegung an der Spitze des Schornsteins ist größer als an seiner Basis, sodass der Rauchstrom aufgrund des Druckunterschieds immer nach oben tendiert.
• Wasserleitungen. Die Gleichung hilft zu verstehen, wie sich der Wasserdruck im Rohr ändert, wenn dessen Durchmesser geändert wird.
• Flugzeuge und Formel 1. Der Winkel der Flügel eines Flugzeugs und eines F1-Flügels sorgt für einen Unterschied im Luftdruck über und unter dem Flügel, der Auftrieb bzw. Abwärtskraft erzeugt.

Arten des Flüssigkeitsflusses

Bernoullis Gleichung ist es nichtberücksichtigt den Fluidbewegungsmodus, der von zwei Arten sein kann: laminar und turbulent. Die laminare Strömung ist durch eine ruhige Strömung gekennzeichnet, bei der sich Fluidschichten auf relativ glatten Bahnen bewegen und sich nicht miteinander vermischen. Die turbulente Art der Flüssigkeitsbewegung ist durch die chaotische Bewegung jedes Moleküls gekennzeichnet, aus dem die Strömung besteht. Ein Merkmal des turbulenten Regimes ist das Vorhandensein von Wirbeln.

In welche Richtung die Flüssigkeit fließen wird, hängt von einer Reihe von Faktoren ab (Merkmale des Systems, z Bewegung). Der Übergang zwischen den betrachteten Bewegungsarten wird durch Reynolds-Zahlen beschrieben.

Ein markantes Beispiel für laminare Strömung ist die langsame Bewegung von Blut durch glatte Blutgefäße. Ein Beispiel für eine turbulente Strömung ist ein starker Wasserdruck aus einem Wasserhahn.