In der Physik erfolgt die Betrachtung von Problemen mit rotierenden Körpern oder Systemen, die sich im Gleichgewicht befinden, mit dem Begriff des "Kraftmoments". In diesem Artikel wird die Formel für das Kraftmoment sowie seine Verwendung zur Lösung dieser Art von Problem betrachtet.
Kraftmoment in der Physik
Wie in der Einleitung erwähnt, konzentriert sich dieser Artikel auf Systeme, die sich entweder um eine Achse oder um einen Punkt drehen können. Betrachten Sie ein Beispiel für ein solches Modell, das in der folgenden Abbildung dargestellt ist.
Wir sehen, dass der graue Hebel auf der Rotationsachse fixiert ist. Am Ende des Hebels befindet sich ein schwarzer Würfel mit einer gewissen Masse, auf den eine Kraft wirkt (roter Pfeil). Es ist intuitiv klar, dass das Ergebnis dieser Kraft die Drehung des Hebels um die Achse gegen den Uhrzeigersinn sein wird.
Das Kraftmoment ist eine Größe in der Physik, die gleich dem Vektorprodukt des Radius ist, der die Rotationsachse und den Angriffspunkt der Kraft (grüner Vektor in der Abbildung) verbindet, und der äußeren Kraft selbst. Das heißt, die Formel für das Kraftmoment um die Achse ist geschriebenwie folgt:
M¯=r¯F¯
Das Ergebnis dieses Produkts ist der Vektor M¯. Seine Richtung wird basierend auf der Kenntnis von Multiplikatorvektoren bestimmt, dh r¯ und F¯. Gemäß der Definition eines Kreuzprodukts muss M¯ senkrecht auf der Ebene stehen, die von den Vektoren r¯ und F¯ gebildet wird, und gemäß der Rechte-Hand-Regel gerichtet sein (wenn vier Finger der rechten Hand entlang der ersten Multiplikation gelegt werden Vektor gegen Ende der Sekunde, dann zeigt der Daumen an, wohin der gewünschte Vektor gerichtet ist). In der Abbildung sehen Sie, wohin der Vektor M¯ gerichtet ist (blauer Pfeil).
Skalare Notation M¯
In der Abbildung im vorigen Absatz wirkt die Kraft (roter Pfeil) in einem Winkel von 90° auf den Hebelo. Im Allgemeinen kann es in absolut jedem Winkel aufgetragen werden. Betrachten Sie das Bild unten.
Hier sehen wir, dass die Kraft F bereits unter einem bestimmten Winkel Φ auf den Hebel L wirkt. Für dieses System hat die Formel für das Kraftmoment relativ zu einem Punkt (dargestellt durch einen Pfeil) in Skalarform die Form:
M=LFsin(Φ)
Aus dem Ausdruck folgt, dass das Moment der Kraft M um so größer ist, je näher die Wirkungsrichtung der Kraft F am Winkel 90o zu L liegt. Wirkt umgekehrt F entlang L, so ist sin(0)=0 und die Kraft erzeugt kein Moment (M=0).
Wenn man das Kraftmoment in Skalarform betrachtet, wird oft der Begriff „Krafthebel“verwendet. Dieser Wert ist der Abstand zwischen der Achse (PunktDrehung) und dem Vektor F. Wenn wir diese Definition auf die obige Abbildung anwenden, können wir sagen, dass d=Lsin(Φ) der Hebel der Kraft ist (die Gleichheit folgt aus der Definition der trigonometrischen Funktion "Sinus"). Durch den Krafthebel lässt sich die Formel für das Moment M wie folgt umschreiben:
M=dF
Physikalische Bedeutung von M
Die betrachtete physikalische Größe bestimmt die Fähigkeit der äußeren Kraft F, eine Rotationswirkung auf das System auszuüben. Um den Körper in Rotationsbewegung zu versetzen, muss man ihm einen Moment mitteilen M.
Ein Paradebeispiel für diesen Vorgang ist das Öffnen oder Schließen einer Zimmertür. Die Person hält den Griff, strengt sich an und dreht die Tür in den Angeln. Jeder kann es tun. Wenn Sie versuchen, die Tür zu öffnen, indem Sie in der Nähe der Scharniere darauf einwirken, müssen Sie große Anstrengungen unternehmen, um sie zu bewegen.
Ein anderes Beispiel ist das Lösen einer Mutter mit einem Schraubenschlüssel. Je kürzer dieser Schlüssel ist, desto schwieriger ist es, die Aufgabe zu erledigen.
Die angegebenen Merkmale werden durch die Formel des Kraftmoments über der Schulter demonstriert, die im vorherigen Absatz angegeben wurde. Wenn M als konstanter Wert angesehen wird, dann muss je kleiner d, desto größer F angewendet werden, um ein gegebenes Kraftmoment zu erzeugen.
Mehrere wirkende Kräfte im System
Oben wurden die Fälle betrachtet, in denen nur eine Kraft F auf ein rotationsfähiges System wirkt, was aber, wenn es mehrere solcher Kräfte gibt? Tatsächlich kommt diese Situation häufiger vor, da Kräfte auf das System einwirken könnenunterschiedlicher Natur (Schwerkraft, Elektrik, Reibung, Mechanik und andere). In all diesen Fällen erhält man das resultierende Kraftmoment M¯ aus der Vektorsumme aller Momente Mi¯, also:
M¯=∑i(Mi¯), wobei i die Stärkezahl Fi ist
Aus der Eigenschaft der Additivität von Momenten folgt eine wichtige Schlussfolgerung, die als Satz von Varignon bezeichnet wird, benannt nach dem Mathematiker des späten 17. - frühen 18. Jahrhunderts - dem Franzosen Pierre Varignon. Sie lautet: „Die Summe der Momente aller auf das betrachtete System wirkenden Kräfte lässt sich darstellen als Moment einer Kraft, die gleich der Summe aller anderen ist und an einem bestimmten Punkt angreift.“Mathematisch lässt sich der Satz wie folgt schreiben:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Dieser wichtige Satz wird in der Praxis häufig zur Lösung von Problemen der Rotation und des Gleichgewichts von Körpern verwendet.
Wirkt ein Kraftmoment?
Wenn wir die obigen Formeln in Skalar- oder Vektorform analysieren, können wir schlussfolgern, dass der Wert von M etwas Arbeit ist. Tatsächlich ist seine Dimension Nm, was in SI dem Joule (J) entspricht. Tatsächlich ist das Moment der Kraft keine Arbeit, sondern nur eine Größe, die dazu in der Lage ist. Dazu ist eine Kreisbewegung im System und eine Langzeitwirkung M notwendig. Daher schreibt man die Formel für die Arbeit des Kraftmoments wie folgt:
A=Mθ
BIn diesem Ausdruck ist θ der Winkel, um den die Drehung durch das Kraftmoment M ausgeführt wurde. Als Ergebnis kann die Arbeitseinheit als Nmrad oder Jrad geschrieben werden. Beispielsweise zeigt ein Wert von 60 Jrad an, dass bei einer Drehung um 1 Radiant (ungefähr 1/3 des Kreises) die Kraft F, die das Moment M erzeugt, 60 Joule Arbeit geleistet hat. Diese Formel wird oft verwendet, wenn Probleme in Systemen gelöst werden, in denen Reibungskräfte wirken, wie unten gezeigt wird.
Kraft- und Impulsmoment
Wie gezeigt, führt die Wirkung des Moments M auf das System zum Auftreten einer Rotationsbewegung in ihm. Letzteres wird durch eine Größe namens „Impuls“charakterisiert. Es kann mit der Formel berechnet werden:
L=Iω
Hier ist I das Trägheitsmoment (ein Wert, der bei der Rotation die gleiche Rolle spielt wie die Masse bei der linearen Bewegung des Körpers), ω die Winkelgeschwindigkeit, sie steht über die Formel mit der linearen Geschwindigkeit in Beziehung ω=v/r.
Beide Momente (Impuls und Kraft) werden durch folgenden Ausdruck miteinander in Beziehung gesetzt:
M=Iα, wobei α=dω / dt die Winkelbeschleunigung ist.
Geben wir eine andere Formel an, die für die Lösung von Problemen für die Arbeit von Momenten von Kräften wichtig ist. Mit dieser Formel kannst du die kinetische Energie eines rotierenden Körpers berechnen. Sie sieht so aus:
Ek=1/2Iω2
Als nächstes stellen wir zwei Probleme mit Lösungen vor, bei denen wir zeigen, wie man die betrachteten physikalischen Formeln anwendet.
Gleichgewicht mehrerer Körper
Die erste Aufgabe bezieht sich auf das Gleichgewicht eines Systems, in dem mehrere Kräfte wirken. Auf derDie folgende Abbildung zeigt ein System, auf das drei Kräfte einwirken. Es muss berechnet werden, mit welcher Masse und an welchem Punkt das Objekt an diesem Hebel aufgehängt werden muss, damit dieses System im Gleichgewicht ist.
Aus den Bedingungen des Problems können wir verstehen, dass man das Varignon-Theorem verwenden sollte, um es zu lösen. Der erste Teil des Problems kann sofort beantwortet werden, da das Gewicht des Objekts, das an den Hebel gehängt werden soll, sein wird:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
Die Vorzeichen hier werden unter Berücksichtigung der Tatsache gewählt, dass die Kraft, die den Hebel gegen den Uhrzeigersinn dreht, ein negatives Moment erzeugt.
Position von Punkt d, wo dieses Gewicht aufgehängt werden soll, errechnet sich nach folgender Formel:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Beachte, dass wir mit der Formel für das Gravitationsmoment den äquivalenten Wert M des von drei Kräften erzeugten Moments berechnet haben. Damit das System im Gleichgewicht ist, muss ein Körper mit einem Gewicht von 35 N am Punkt 4, 714 m von der Achse entfernt, auf der anderen Seite des Hebels aufgehängt werden.
Problem beim Verschieben der Festplatte
Die Lösung des folgenden Problems basiert auf der Verwendung der Formel für das Moment der Reibungskraft und der kinetischen Energie des Rotationskörpers. Aufgabe: Gegeben sei eine Scheibe mit einem Radius von r=0,3 Meter, die sich mit einer Geschwindigkeit von ω=1 rad/s dreht. Es muss berechnet werden, wie weit es auf der Oberfläche zurückgelegt werden kann, wenn der Rollreibungskoeffizient Μ=0,001 beträgt.
Diese Aufgabe lässt sich am einfachsten lösen, wenn man den Energieerh altungssatz anwendet. Wir haben die anfängliche kinetische Energie der Scheibe. Wenn es zu rollen beginnt, wird all diese Energie durch die Wirkung der Reibungskraft zum Erhitzen der Oberfläche aufgewendet. Durch Gleichsetzen beider Größen erh alten wir den Ausdruck:
Iω2/2=ΜN/rrθ
Der erste Teil der Formel ist die kinetische Energie der Scheibe. Der zweite Teil ist die Arbeit des Moments der Reibungskraft F=ΜN/r, aufgebracht auf den Scheibenrand (M=Fr).
Da N=mg und I=1/2mr2 sind, berechnen wir θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 Rad
Da 2pi im Bogenmaß der Länge von 2pir entsprechen, erh alten wir, dass die erforderliche Entfernung, die die Scheibe zurücklegt, wie folgt ist:
s=θr=2,293580,3=0,688 m oder etwa 69 cm
Beachten Sie, dass die Masse der Scheibe dieses Ergebnis nicht beeinflusst.
