Rotation ist eine typische mechanische Bewegung, die man oft in Natur und Technik findet. Jede Drehung entsteht durch die Einwirkung einer äußeren Kraft auf das betrachtete System. Diese Kraft erzeugt das sogenannte Drehmoment. Was es ist, wovon es abhängt, wird im Artikel besprochen.
Rotationsvorgang
Bevor wir das Konzept des Drehmoments betrachten, wollen wir die Systeme charakterisieren, auf die dieses Konzept angewendet werden kann. Das Rotationssystem setzt das Vorhandensein einer Achse voraus, um die eine kreisförmige Bewegung oder Rotation ausgeführt wird. Der Abstand von dieser Achse zu den materiellen Punkten des Systems wird Rotationsradius genannt.
Aus kinematischer Sicht ist der Vorgang durch drei Winkelwerte gekennzeichnet:
- Rotationswinkel θ (gemessen im Bogenmaß);
- Winkelgeschwindigkeit ω (gemessen in Bogenmaß pro Sekunde);
- Winkelbeschleunigung α (gemessen in Bogenmaß pro Quadratsekunde).
Diese Größen stehen in folgender Beziehung zueinanderist gleich:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Beispiele für Rotation in der Natur sind die Bewegungen von Planeten auf ihren Bahnen und um ihre Achsen, die Bewegungen von Tornados. Im Alltag und in der Technik ist die betreffende Bewegung typisch für Motoren, Schraubenschlüssel, Baukräne, das Öffnen von Türen und so weiter.
Bestimmung des Kraftmoments
Nun kommen wir zum eigentlichen Thema des Artikels. Das Kraftmoment ist nach physikalischer Definition das Vektorprodukt aus dem Vektor der Krafteinleitung bezogen auf die Drehachse und dem Vektor der Kraft selbst. Der entsprechende mathematische Ausdruck kann so geschrieben werden:
M¯=[r¯F¯].
Hier ist der Vektor r¯ von der Drehachse zum Angriffspunkt der Kraft F¯ gerichtet.
In dieser Drehmomentformel M¯ kann die Kraft F¯ in jede Richtung relativ zur Richtung der Achse gerichtet werden. Die achsparallele Kraftkomponente erzeugt jedoch keine Rotation, wenn die Achse starr fixiert ist. Bei den meisten physikalischen Problemen muss man die Kräfte F¯ berücksichtigen, die in Ebenen senkrecht zur Rotationsachse liegen. In diesen Fällen kann der Absolutwert des Drehmoments nach folgender Formel bestimmt werden:
|M¯|=|r¯||F¯|sin(β).
Wobei β der Winkel zwischen den Vektoren r¯ und F¯ ist.
Was ist Hebelwirkung?
Der Hebel der Kraft spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Größe des Kraftmoments. Um zu verstehen, wovon wir sprechen, bedenken Sienächstes Bild.
Hier zeigen wir einen Stab der Länge L, der mit einem seiner Enden im Drehpunkt fixiert ist. Auf das andere Ende wirkt eine unter einem spitzen Winkel φ gerichtete Kraft F. Nach der Definition des Kraftmoments kann man schreiben:
M=FLsin(180o-φ).
Winkel (180o-φ) entstand, weil der Vektor L¯ vom festen Ende zum freien Ende gerichtet ist. Angesichts der Periodizität der trigonometrischen Sinusfunktion können wir diese Gleichheit in die folgende Form umschreiben:
M=FLsin(φ).
Nun schauen wir uns ein rechtwinkliges Dreieck an, das auf den Seiten L, d und F aufgebaut ist. Per Definition der Sinusfunktion ergibt das Produkt aus der Hypotenuse L und dem Sinus des Winkels φ den Wert des Schenkels d. Dann kommen wir zur Gleichheit:
M=Fd.
Der lineare Wert d heißt Krafthebel. Er ist gleich dem Abstand des Kraftvektors F¯ von der Rotationsachse. Wie aus der Formel ersichtlich, ist es zweckmäßig, bei der Berechnung des Moments M das Konzept eines Krafthebels zu verwenden. Die resultierende Formel besagt, dass das maximale Drehmoment für eine gewisse Kraft F nur auftritt, wenn die Länge des Radiusvektors r¯ (L¯ in obiger Abbildung) ist gleich Krafthebel, d.h. r¯ und F¯ stehen senkrecht aufeinander.
M-Richtung¯
Es wurde oben gezeigt, dass das Drehmoment eine Vektorcharakteristik für ein gegebenes System ist. Wohin wird dieser Vektor gelenkt? Beantworten Sie diese Frage mit Neinist besonders schwierig, wenn man bedenkt, dass das Ergebnis des Produkts zweier Vektoren der dritte Vektor ist, der auf einer Achse senkrecht zur Ebene der ursprünglichen Vektoren liegt.
Es bleibt zu entscheiden, ob das Kraftmoment relativ zu dieser Ebene nach oben oder nach unten (zum Leser hin oder vom Leser weg) gerichtet sein wird. Sie können dies entweder mit der Gimlet-Regel oder mit der Rechts-Hand-Regel bestimmen. Hier sind beide Regeln:
- Regel der rechten Hand. Wenn Sie die rechte Hand so platzieren, dass sich ihre vier Finger vom Anfang des Vektors r¯ zu seinem Ende und dann vom Anfang des Vektors F¯ zu seinem Ende bewegen, zeigt der hervorstehende Daumen an Richtung des Moments M¯.
- Gimlet-Regel. Wenn die Drehrichtung eines imaginären Bohrers mit der Drehrichtung des Systems zusammenfällt, dann gibt die Translationsbewegung des Bohrers die Richtung des Vektors M¯ an. Denken Sie daran, dass es sich nur im Uhrzeigersinn dreht.
Beide Regeln sind gleich, also kann jeder die für ihn bequemere verwenden.
Bei der Lösung praktischer Probleme wird die unterschiedliche Richtung des Drehmoments (oben - unten, links - rechts) mit den Zeichen "+" oder "-" berücksichtigt. Es sei daran erinnert, dass die positive Richtung des Moments M¯ als diejenige angesehen wird, die zur Drehung des Systems gegen den Uhrzeigersinn führt. Wenn also eine Kraft zur Drehung des Systems in Richtung der Uhr führt, hat das von ihr erzeugte Moment einen negativen Wert.
Physikalische BedeutungMengen M¯
In der Physik und Mechanik der Rotation bestimmt der Wert M¯ die Rotationsfähigkeit einer Kraft oder einer Summe von Kräften. Da die mathematische Definition der Größe M¯ nicht nur die Kraft, sondern auch den Radiusvektor ihrer Anwendung enthält, bestimmt letzterer maßgeblich die erwähnte Rotationsfähigkeit. Um zu verdeutlichen, um welche Fähigkeit es sich handelt, hier ein paar Beispiele:
- Jeder Mensch hat mindestens einmal in seinem Leben versucht, die Tür zu öffnen, nicht indem er die Klinke hielt, sondern indem er sie nahe an die Scharniere drückte. Im letzteren Fall müssen Sie sich sehr anstrengen, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen.
- Um eine Mutter von einer Schraube zu lösen, verwenden Sie Spezialschlüssel. Je länger der Schraubenschlüssel, desto leichter lässt sich die Mutter lösen.
- Um die Bedeutung des Hebels der Macht zu spüren, laden wir die Leser ein, das folgende Experiment durchzuführen: Nehmen Sie einen Stuhl und versuchen Sie, ihn mit einer Hand am Gewicht zu h alten, in einem Fall lehnen Sie die Hand gegen den Körper, hinein der andere führt die Aufgabe mit geradem Arm aus. Letzteres wird für viele eine überwältigende Aufgabe sein, obwohl das Gewicht des Stuhls gleich geblieben ist.
Einheiten des Kraftmoments
Ein paar Worte sollten auch noch zu den SI-Einheiten gesagt werden, in denen Drehmomente gemessen werden. Gemäß der dafür geschriebenen Formel wird es in Newton pro Meter (Nm) gemessen. Diese Einheiten messen aber auch Arbeit und Energie in der Physik (1 Nm=1 Joule). Das Joule für das Moment M¯ gilt nicht, weil die Arbeit eine skalare Größe ist, während M¯ ein Vektor ist.
Trotzdemdas Zusammenfallen der Einheiten des Kraftmoments mit den Energieeinheiten ist kein Zufall. Die vom Moment M geleistete Rotationsarbeit des Systems errechnet sich nach der Formel:
A=Mθ.
Wo wir bekommen, dass M auch in Joule pro Radiant (J/rad) ausgedrückt werden kann.
Rotationsdynamik
Zu Beginn des Artikels haben wir die kinematischen Eigenschaften aufgeschrieben, die zur Beschreibung der Rotationsbewegung verwendet werden. In der Rotationsdynamik lautet die Hauptgleichung, die diese Eigenschaften verwendet:
M=Iα.
Die Wirkung des Moments M auf ein System mit dem Trägheitsmoment I führt zum Auftreten der Winkelbeschleunigung α.
Diese Formel dient zur Bestimmung der Kreisfrequenzen der Rotation in der Technik. Wenn man beispielsweise das Drehmoment eines Asynchronmotors kennt, das von der Frequenz des Stroms in der Statorspule und der Größe des sich ändernden Magnetfelds abhängt, sowie die Trägheitseigenschaften des rotierenden Rotors kennt, ist es möglich, es zu bestimmen mit welcher Drehzahl ω dreht sich der Motorrotor in einer bekannten Zeit t.
Beispiel zur Problemlösung
Ein schwereloser Hebel, 2 Meter lang, hat eine Stütze in der Mitte. Welches Gewicht muss auf ein Ende des Hebels gelegt werden, damit er sich im Gleichgewicht befindet, wenn auf der anderen Seite der Stütze in einem Abstand von 0,5 Metern von ihm eine Masse von 10 kg liegt?
Offensichtlich kommt das Gleichgewicht des Hebels zustande, wenn die durch die Lasten erzeugten Kräftemomente im absoluten Wert gleich sind. Die Kraft, die schafftMoment in diesem Problem, repräsentiert das Gewicht des Körpers. Die Krafthebel sind gleich den Abständen von den Gewichten zum Träger. Schreiben wir die entsprechende Gleichheit:
M1=M2=>
m1gd1=m2gd 2 =>
P2=m2g=m1gd 1/d2.
Gewicht P2 erh alten wir, wenn wir die Werte m1=10 kg aus der Problembedingung d einsetzen 1=0,5 m, d2=1 m. Die geschriebene Gleichung gibt die Antwort: P2=49,05 Newton.
