Die Quantenmechanik befasst sich mit den Objekten der Mikrowelt, mit den elementarsten Bestandteilen der Materie. Ihr Verh alten wird durch Wahrscheinlichkeitsgesetze bestimmt, die sich in Form von Korpuskularwellen-Dualität - Dualismus - manifestieren. Darüber hinaus spielt eine so grundlegende Größe wie die physikalische Wirkung eine wichtige Rolle bei ihrer Beschreibung. Die natürliche Einheit, die die Quantisierungsskala für diese Größe festlegt, ist die Plancksche Konstante. Es regelt auch eines der grundlegenden physikalischen Prinzipien - die Unschärferelation. Diese scheinbar einfache Ungleichheit spiegelt die natürliche Grenze wider, bis zu der die Natur einige unserer Fragen gleichzeitig beantworten kann.
Voraussetzungen für die Ableitung der Unschärferelation
Die wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation der Wellennatur von Teilchen, die 1926 von M. Born in die Wissenschaft eingeführt wurde, zeigte deutlich, dass klassische Vorstellungen über Bewegung auf Phänomene auf der Skala von Atomen und Elektronen nicht anwendbar sind. Gleichzeitig einige Aspekte der MatrixDie von W. Heisenberg als Methode zur mathematischen Beschreibung von Quantenobjekten geschaffene Mechanik erforderte die Aufklärung ihrer physikalischen Bedeutung. Diese Methode arbeitet also mit diskreten Mengen von Observablen, dargestellt als spezielle Tabellen – Matrizen, und ihre Multiplikation hat die Eigenschaft der Nichtkommutativität, mit anderen Worten, A×B ≠ B×A.
Übertragen auf die Welt der Mikropartikel kann dies wie folgt interpretiert werden: Das Ergebnis der Operationen zur Messung der Parameter A und B hängt von der Reihenfolge ab, in der sie durchgeführt werden. Außerdem bedeutet Ungleichheit, dass diese Parameter nicht gleichzeitig gemessen werden können. Heisenberg untersuchte die Frage nach dem Zusammenhang zwischen Messung und Zustand eines Mikroobjekts und stellte ein Gedankenexperiment auf, um die Genauigkeitsgrenze der gleichzeitigen Messung von Partikelparametern wie Impuls und Position zu erreichen (solche Variablen werden als kanonisch konjugiert bezeichnet).
Formulierung der Unschärferelation
Das Ergebnis von Heisenbergs Bemühungen war 1927 die Schlussfolgerung zu folgender Einschränkung der Anwendbarkeit klassischer Konzepte auf Quantenobjekte: Mit zunehmender Genauigkeit bei der Bestimmung der Koordinate nimmt die Genauigkeit ab, mit der der Impuls erkannt werden kann. Das Gegenteil ist auch wahr. Mathematisch wurde diese Einschränkung in der Unschärferelation ausgedrückt: Δx∙Δp ≈ h. Dabei ist x die Koordinate, p der Impuls und h die Plancksche Konstante. Heisenberg verfeinerte später die Beziehung: Δx∙Δp ≧ h. Das Produkt von "Deltas" - Streuungen im Wert von Koordinaten und Impuls - mit der Dimension der Aktion kann nicht kleiner als das "Kleinste" seinAnteil" dieser Größe ist die Plancksche Konstante. In Formeln wird in der Regel die reduzierte Planck-Konstante ħ=h/2π verwendet.
Das obige Verhältnis ist verallgemeinert. Zu beachten ist, dass nur für jedes Koordinatenpaar gilt - Komponente (Projektion) des Impulses auf die entsprechende Achse:
- Δx∙Δpx ≧ ħ.
- Δy∙Δpy ≧ ħ.
- Δz∙Δpz ≧ ħ.
Die Heisenbergsche Unschärferelation lässt sich kurz wie folgt ausdrücken: Je kleiner der Raumbereich ist, in dem sich ein Teilchen bewegt, desto unsicherer ist sein Impuls.
Gedankenexperiment mit Gammamikroskop
Als Veranschaulichung des von ihm entdeckten Prinzips betrachtete Heisenberg ein imaginäres Gerät, mit dem man die Position und Geschwindigkeit (und damit den Impuls) eines Elektrons beliebig genau messen kann, indem man ein Photon daran streut: Schließlich jede Messung wird auf einen Akt der Teilchenwechselwirkung reduziert, ohne die ein Teilchen überhaupt nicht nachweisbar wäre.
Um die Genauigkeit der Koordinatenmessung zu erhöhen, wird ein Photon mit kürzerer Wellenlänge benötigt, was bedeutet, dass es einen großen Impuls hat, von dem ein erheblicher Teil während der Streuung auf das Elektron übertragen wird. Dieser Anteil kann nicht bestimmt werden, da das Photon zufällig am Teilchen gestreut wird (trotz der Tatsache, dass der Impuls eine Vektorgröße ist). Wenn das Photon durch einen kleinen Impuls gekennzeichnet ist, hat es eine große Wellenlänge, daher wird die Elektronenkoordinate mit einem erheblichen Fehler gemessen.
Die fundamentale Natur der Unschärferelation
In der Quantenmechanik spielt das Plancksche Wirkungsquantum, wie oben erwähnt, eine besondere Rolle. Diese Naturkonstante ist in fast allen Gleichungen dieses Zweiges der Physik enth alten. Seine Anwesenheit in der Formel des Heisenberg-Unschärfeverhältnisses weist erstens auf das Ausmaß hin, in dem sich diese Unsicherheiten manifestieren, und zeigt zweitens an, dass dieses Phänomen nicht mit der Unvollkommenheit der Messmittel und -methoden zusammenhängt, sondern mit den Eigenschaften der Materie sich selbst und ist universell.
Es mag den Anschein haben, dass das Teilchen in Wirklichkeit immer noch bestimmte Geschwindigkeits- und Koordinatenwerte gleichzeitig hat, und der Akt der Messung führt zu einer unentfernbaren Störung ihrer Bestimmung. Dies ist jedoch nicht der Fall. Die Bewegung eines Quantenteilchens ist mit der Ausbreitung einer Welle verbunden, deren Amplitude (genauer gesagt das Quadrat ihres Betrags) die Aufenth altswahrscheinlichkeit an einem bestimmten Punkt angibt. Das bedeutet, dass ein Quantenobjekt keine Trajektorie im klassischen Sinne hat. Wir können sagen, dass es eine Reihe von Trajektorien hat, und alle werden entsprechend ihrer Wahrscheinlichkeit während der Bewegung ausgeführt (dies wird zum Beispiel durch Experimente zur Interferenz von Elektronenwellen bestätigt).
Das Fehlen einer klassischen Trajektorie ist gleichbedeutend mit dem Fehlen solcher Zustände in einem Teilchen, bei dem Impuls und Koordinaten gleichzeitig durch exakte Werte charakterisiert würden. Tatsächlich ist es sinnlos, von „der Länge“zu sprechenWelle an irgendeinem Punkt“, und da der Impuls durch die De-Broglie-Beziehung p=h/λ mit der Wellenlänge zusammenhängt, hat ein Teilchen mit einem bestimmten Impuls keine bestimmte Koordinate. Wenn also das Mikroobjekt eine exakte Koordinate hat, wird der Impuls völlig unbestimmt.
Unsicherheit und Handeln in Mikro- und Makrowelten
Die physikalische Wirkung eines Teilchens wird durch die Phase der Wahrscheinlichkeitswelle mit dem Koeffizienten ħ=h/2π ausgedrückt. Folglich ist die Aktion als Phase, die die Amplitude der Welle steuert, mit allen möglichen Trajektorien verbunden, und die probabilistische Unsicherheit in Bezug auf die Parameter, die die Trajektorie bilden, ist grundsätzlich nicht zu beseitigen.
Aktion ist proportional zu Position und Impuls. Dieser Wert kann auch als Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie, integriert über die Zeit, dargestellt werden. Kurz gesagt, Aktion ist ein Maß dafür, wie sich die Bewegung eines Teilchens im Laufe der Zeit ändert, und hängt teilweise von seiner Masse ab.
Wenn die Wirkung das Plancksche Wirkungsquantum deutlich überschreitet, ist die durch eine solche Wahrscheinlichkeitsamplitude bestimmte Trajektorie am wahrscheinlichsten, die der kleinsten Wirkung entspricht. Die Heisenbergsche Unschärferelation drückt das Gleiche kurz aus, wenn man sie dahingehend modifiziert, dass der Impuls gleich dem Produkt aus Masse m und Geschwindigkeit v ist: Δx∙Δvx ≧ ħ/m. Es wird sofort klar, dass mit zunehmender Masse des Objekts die Unsicherheiten immer geringer werden und bei der Beschreibung der Bewegung makroskopischer Körper die klassische Mechanik durchaus anwendbar ist.
Energie und Zeit
Die Unschärferelation gilt auch für andere konjugierte Größen, die die dynamischen Eigenschaften von Teilchen darstellen. Dies sind insbesondere Energie und Zeit. Sie bestimmen auch, wie bereits erwähnt, die Handlung.
Die Energie-Zeit-Unschärferelation hat die Form ΔE∙Δt ≧ ħ und zeigt, wie die Genauigkeit des Teilchenenergiewerts ΔE und das Zeitintervall Δt, über das diese Energie geschätzt werden muss, zusammenhängen. Daher kann nicht behauptet werden, dass ein Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt eine genau definierte Energie haben kann. Je kürzer die betrachtete Periode Δt ist, desto größer wird die Teilchenenergie schwanken.
Ein Elektron in einem Atom
Mit Hilfe der Unschärferelation lässt sich beispielsweise die Breite des Energieniveaus eines Wasserstoffatoms abschätzen, also die Streuung der darin enth altenen Elektronenenergiewerte. Im Grundzustand, wenn sich das Elektron auf dem niedrigsten Niveau befindet, kann das Atom unbegrenzt existieren, mit anderen Worten, Δt→∞ und dementsprechend nimmt ΔE den Wert Null an. Im angeregten Zustand verweilt das Atom nur für eine endliche Zeit in der Größenordnung von 10-8 s, was bedeutet, dass es eine Energieunschärfe ΔE=ħ/Δt ≈ (1, 05 ∙10- 34 J∙s)/(10-8 s) ≈ 10-26 J, also etwa 7∙10 -8 eV. Die Folge davon ist die Unsicherheit der Frequenz des emittierten Photons Δν=ΔE/ħ, was sich als Vorhandensein einiger Spektrallinien äußertUnschärfe und die sogenannte natürliche Breite.
Wir können auch durch einfache Berechnungen unter Verwendung der Unschärferelation sowohl die Breite der Streuung der Koordinaten eines Elektrons, das durch ein Loch in einem Hindernis geht, als auch die minimalen Abmessungen eines Atoms und den Wert von abschätzen sein niedrigstes Energieniveau. Das von W. Heisenberg hergeleitete Verhältnis hilft bei der Lösung vieler Probleme.
Philosophisches Verständnis der Unschärferelation
Das Vorhandensein von Ungewissheiten wird oft fälschlicherweise als Beweis für ein angeblich vollkommenes Chaos im Mikrokosmos interpretiert. Aber ihr Verhältnis sagt uns etwas ganz anderes: Immer zu zweit sprechend, scheinen sie sich gegenseitig eine ganz natürliche Beschränkung aufzuerlegen.
Das Verhältnis, das die Unsicherheiten dynamischer Parameter miteinander verbindet, ist eine natürliche Folge der dualen - Korpuskularwellen-Natur der Materie. Daher diente es als Grundlage für die von N. Bohr vorgebrachte Idee mit dem Ziel, den Formalismus der Quantenmechanik - das Komplementaritätsprinzip - zu interpretieren. Wir können alle Informationen über das Verh alten von Quantenobjekten nur durch makroskopische Instrumente erh alten und sind zwangsläufig gezwungen, den im Rahmen der klassischen Physik entwickelten Begriffsapparat zu verwenden. Wir haben also die Möglichkeit, entweder die Welleneigenschaften solcher Objekte oder die korpuskulären zu untersuchen, aber niemals beides gleichzeitig. Aufgrund dieses Umstandes müssen wir sie nicht als widersprüchlich, sondern als einander ergänzend betrachten. Eine einfache Formel für die Unschärferelationweist uns auf die Grenzen hin, an denen es notwendig ist, das Prinzip der Komplementarität für eine adäquate Beschreibung der quantenmechanischen Realität einzubeziehen.
