Brüche sind häufig und dezimal. Wenn der Schüler von der Existenz des letzteren erfährt, beginnt er bei jeder Gelegenheit alles Mögliche in Dezimalform umzuwandeln, auch wenn dies nicht erforderlich ist.
Seltsamerweise haben Gymnasiasten und Studenten unterschiedliche Vorlieben, weil es einfacher ist, viele Rechenoperationen mit gewöhnlichen Brüchen durchzuführen. Und die Werte, mit denen sich Absolventen beschäftigen, können manchmal einfach nicht ohne Verluste in eine Dezimalform umgewandelt werden. Dadurch sind beide Brucharten auf die eine oder andere Weise dem Fall angepasst und haben ihre eigenen Vor- und Nachteile. Mal sehen, wie man damit arbeitet.
Definition
Brüche sind dieselben Brüche. Wenn eine Orange zehn Scheiben hat und du eine bekommen hast, dann hast du 1/10 der Frucht auf der Hand. Mit einer solchen Notation wird der Bruch wie im vorherigen Satz ein gewöhnlicher Bruch genannt. Wenn Sie dasselbe wie 0 schreiben, ist 1 dezimal. Beide Optionen sind gleichwertig, haben aber ihre eigenen Vorteile. Die erste Option ist beim Multiplizieren von und bequemerDivision, die zweite - für Addition, Subtraktion und in einigen anderen Fällen.
Wie man einen Bruch in eine andere Form umwandelt
Angenommen, Sie haben einen gewöhnlichen Bruch und möchten ihn in eine Dezimalzahl umwandeln. Was ist dafür zu tun?
Du musst übrigens vorher entscheiden, dass nicht jede Zahl ohne Probleme dezimal geschrieben werden kann. Manchmal muss man das Ergebnis runden, wobei man eine gewisse Anzahl von Nachkommastellen verliert, und das ist in vielen Bereichen – zum Beispiel in den exakten Wissenschaften – ein völlig unerschwinglicher Luxus. Gleichzeitig erlauben Aktionen mit Dezimal- und gewöhnlichen Brüchen in der 5. Klasse eine solche Übertragung von einer Form zur anderen ohne Beeinträchtigung, zumindest als Übung.
Wenn man aus dem Nenner durch Multiplikation oder Division mit einer ganzen Zahl ein Vielfaches von 10 erhält, geht die Übertragung problemlos: Aus ¾ wird 0,75, aus 13/20 wird 0,65.
Das umgekehrte Verfahren ist noch einfacher, denn aus einem Dezimalbruch kann man immer einen gewöhnlichen Bruch ohne Genauigkeitsverlust bekommen. Beispielsweise wird 0,2 zu 1/5 und 0,08 zu 4/25.
Interne Transformationen
Bevor Sie gemeinsame Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen ausführen, müssen Sie Zahlen für mögliche mathematische Operationen vorbereiten.
Zunächst musst du alle Brüche im Beispiel auf eine gemeinsame Form bringen. Sie müssen entweder gewöhnlich oder dezimal sein. Machen wir gleich eine Reservierung, dass es bequemer ist, Multiplikation und Division mit den ersten durchzuführen.
Bei der Vorbereitung von Zahlen für weitere Aktionen hilft Ihnen eine Regel, die als Grundeigenschaft eines Bruchs bekannt ist und sowohl in den ersten Jahren des Studiums des Fachs als auch in der höheren Mathematik, die an Universitäten studiert wird, verwendet wird.
Eigenschaften von Brüchen
Angenommen, Sie haben einen Wert. Sagen wir 2/3. Was passiert, wenn du Zähler und Nenner mit 3 multiplizierst? Holen Sie sich 6/9. Was, wenn es eine Million ist? 2000000/3000000. Aber h alt, denn die Zahl ändert sich qualitativ überhaupt nicht - 2/3 bleiben gleich 2000000/3000000. Nur die Form ändert sich, nicht der Inh alt. Dasselbe passiert, wenn beide Teile durch denselben Wert dividiert werden. Dies ist die Haupteigenschaft des Bruchs, die Ihnen hilft, Aktionen mit Dezimalbrüchen und gewöhnlichen Brüchen bei Tests und Prüfungen auszuführen.
Die Multiplikation von Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl wird als Brucherweiterung bezeichnet, und die Division wird als Reduktion bezeichnet. Ich muss sagen, dass das Durchstreichen der gleichen Zahlen oben und unten beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen eine überraschend angenehme Prozedur ist (natürlich im Rahmen einer Mathestunde). Es scheint, dass die Antwort nah ist und das Beispiel fast gelöst ist.
Unregelmäßige Brüche
Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist. Mit anderen Worten, wenn ein ganzer Teil davon unterschieden werden kann, fällt er unter diese Definition.
Wenn eine solche Zahl (größer oder gleich eins) als gewöhnlicher Bruch dargestellt wird, wird sie aufgerufenfalsch. Und wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist - richtig. Beide Arten sind gleichermaßen praktisch bei der Umsetzung möglicher Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen. Sie können beliebig multipliziert und dividiert, addiert und subtrahiert werden.
Wenn gleichzeitig ein ganzzahliger Teil ausgewählt wird und ein Rest in Form eines Bruchs vorhanden ist, wird die resultierende Zahl als gemischt bezeichnet. In Zukunft werden Sie auf verschiedene Möglichkeiten stoßen, solche Strukturen mit Variablen zu kombinieren und Gleichungen zu lösen, bei denen dieses Wissen erforderlich ist.
Arithmetische Operationen
Wenn mit der Grundeigenschaft eines Bruchs alles klar ist, wie verhält man sich dann beim Multiplizieren von Brüchen? Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen in der 5. Klasse beinh alten alle Arten von Rechenoperationen, die auf zwei verschiedene Arten ausgeführt werden.
Multiplikation und Division sind sehr einfach. Im ersten Fall werden Zähler und Nenner zweier Brüche einfach multipliziert. Im zweiten - das gleiche, nur quer. Also wird der Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten multipliziert und umgekehrt.
Um Addition und Subtraktion durchzuführen, müssen Sie eine zusätzliche Aktion ausführen - bringen Sie alle Komponenten des Ausdrucks auf einen gemeinsamen Nenner. Das bedeutet, dass die unteren Teile der Brüche auf den gleichen Wert geändert werden müssen – ein Vielfaches der beiden verfügbaren Nenner. Zum Beispiel für 2 und 5 wird es 10 sein. Für 3 und 6 - 6. Aber was soll man dann mit der Spitze machen? Wir können es nicht so lassen, wie es war, wenn wir das untere geändert haben. Gemäß der Grundeigenschaft eines Bruchs multiplizieren wir den Zähler mit derselben Zahl,das ist der Nenner. Diese Operation muss für jede der Zahlen durchgeführt werden, die wir addieren oder subtrahieren werden. Solche Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen in der 6. Klasse werden jedoch bereits „an der Maschine“durchgeführt, und Schwierigkeiten treten nur in der Anfangsphase des Studiums des Themas auf.
Vergleich
Wenn zwei Brüche denselben Nenner haben, dann ist der mit dem größeren Zähler größer. Wenn die oberen Teile gleich sind, wird der mit dem kleineren Nenner größer. Dabei ist zu bedenken, dass solch erfolgreiche Vergleichssituationen selten vorkommen. Höchstwahrscheinlich stimmen sowohl der obere als auch der untere Teil der Ausdrücke nicht überein. Dann müssen Sie sich an die möglichen Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen erinnern und die Additions- und Subtraktionstechnik anwenden. Denken Sie auch daran, dass bei negativen Zahlen der größere Bruch kleiner ist.
Vorteile gemeinsamer Brüche
Es kommt vor, dass Lehrer Kindern einen Satz sagen, dessen Inh alt wie folgt ausgedrückt werden kann: Je mehr Informationen bei der Formulierung der Aufgabe gegeben werden, desto einfacher wird die Lösung sein. Klingt es komisch? Aber wirklich: Bei einer großen Anzahl bekannter Werte können Sie fast jede Formel verwenden, aber wenn nur ein paar Zahlen angegeben sind, sind möglicherweise zusätzliche Überlegungen erforderlich, Sie müssen sich Sätze merken und beweisen, Argumente für Ihr Sein liefern richtig…
Wofür machen wir das? Außerdem können gewöhnliche Brüche bei aller Umständlichkeit das Leben erheblich vereinfachen.dem Schüler, beim Multiplizieren und Dividieren ganze Zeilen von Werten kürzen und beim Berechnen der Summe und Differenz gemeinsame Argumente herausnehmen und wieder kürzen.
Wenn es erforderlich ist, gemeinsame Aktionen mit gewöhnlichen und dezimalen Brüchen durchzuführen, werden Transformationen zugunsten des ersten durchgeführt: Wie konvertiert man 3/17 in die Dezimalform? Nur mit Informationsverlust, sonst nicht. Aber 0, 1 kann als 1/10 und dann als 17/170 dargestellt werden. Und dann können die beiden resultierenden Zahlen addiert oder subtrahiert werden: 30/170 + 17/170=47/170.
Die Vorteile von Dezimalzahlen
Wenn Operationen mit gewöhnlichen Brüchen bequemer sind, dann ist das Schreiben von allem mit ihrer Hilfe äußerst umständlich, Dezimalzahlen haben hier einen erheblichen Vorteil. Vergleichen Sie: 1748/10000 und 0,1748 Dies ist derselbe Wert, der in zwei verschiedenen Versionen dargestellt wird. Der zweite Weg ist natürlich einfacher!
Außerdem sind Dezimalzahlen einfacher darzustellen, da alle Daten eine gemeinsame Basis haben, die sich nur um Größenordnungen unterscheidet. Nehmen wir an, wir können einen Rabatt von 30 % leicht erkennen und sogar als erheblich bewerten. Werden Sie sofort verstehen, was mehr ist – 30 % oder 137/379? Somit bieten Dezimalbrüche eine Standardisierung von Berechnungen.
In der Oberstufe lösen Schüler quadratische Gleichungen. Es ist bereits äußerst problematisch, hier Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen durchzuführen, da die Formel zur Berechnung der Werte der Variablen die Quadratwurzel der Summe enthält. Bei einem nicht auf eine Dezimalzahl reduzierbaren Bruch wird die Lösung so kompliziert, dasses wird fast unmöglich, die genaue Antwort ohne einen Taschenrechner zu berechnen.
Also hat jede Darstellungsweise von Brüchen ihre eigenen Vorteile in ihrem jeweiligen Kontext.
Anmeldeformulare
Es gibt zwei Möglichkeiten, Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen zu schreiben: durch eine horizontale Linie, in zwei "Ebenen" und durch einen Schrägstrich (auch "Schrägstrich" genannt) - in eine Zeile. Wenn ein Schüler in ein Notizbuch schreibt, ist die erste Option normalerweise bequemer und daher häufiger. Die Verteilung einer Reihe von Zahlen in Zellen trägt zur Entwicklung der Aufmerksamkeit bei Berechnungen und Transformationen bei. Beim Schreiben in einen String können Sie versehentlich die Reihenfolge der Aktionen vertauschen, Daten verlieren, also einen Fehler machen.
In unserer Zeit müssen Zahlen oft auf einem Computer gedruckt werden. Sie können Brüche mithilfe einer Funktion in Microsoft Word 2010 und höher mit einem herkömmlichen horizontalen Strich trennen. Tatsache ist, dass es in diesen Versionen der Software eine Option namens "Formel" gibt. Es zeigt ein rechteckiges transformierbares Feld an, in dem Sie beliebige mathematische Symbole kombinieren und sowohl zwei- als auch „vierstöckige“Brüche bilden können. Im Nenner und Zähler können Sie Klammern, Operationszeichen verwenden. Dadurch können Sie alle gemeinsamen Handlungen mit gewöhnlichen und dezimalen Brüchen in der traditionellen Form, d.h. wie sie in der Schule gelehrt werden, aufschreiben.
Wenn Sie den Standard-Texteditor von Notepad verwenden, dann allesBruchausdrücke müssen durch einen Schrägstrich geschrieben werden. Hier geht es leider nicht anders.
Schlussfolgerung
Also haben wir uns alle grundlegenden Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen angesehen, die, wie sich herausstellt, nicht so viele sind.
Wenn es zunächst den Anschein haben mag, dass dies ein schwieriger Abschnitt der Mathematik ist, dann ist dies nur ein vorübergehender Eindruck - denken Sie daran, dass Sie einmal so über das Einmaleins nachgedacht haben, und noch früher - über die üblichen Hefte und das Zählen von eins bis zehn.
Es ist wichtig zu verstehen, dass Brüche überall im Alltag verwendet werden. Sie beschäftigen sich mit Geld- und Ingenieurrechnungen, Informationstechnologie und musikalischer Bildung, und überall - überall! - Bruchzahlen werden angezeigt. Seien Sie daher nicht faul und studieren Sie dieses Thema gründlich - zumal es nicht so schwierig ist.
