Schüler der Mittel- und Oberstufe befassten sich mit dem Thema "Brüche". Allerdings ist dieser Begriff viel weiter gefasst als im Lernprozess vorgegeben. Heutzutage kommt das Konzept eines Bruchs ziemlich häufig vor, und nicht jeder kann einen Ausdruck berechnen, zum Beispiel Brüche multiplizieren.
Was ist ein Bruch?
Es geschah historisch, dass Bruchzahlen auftauchten, weil man messen musste. Wie die Praxis zeigt, gibt es oft Beispiele für die Bestimmung der Länge eines Segments, des Volumens eines rechteckigen Parallelepipeds, der Fläche eines Rechtecks.
Zunächst werden die Schüler in das Konzept des Teilens eingeführt. Wenn Sie beispielsweise eine Wassermelone in 8 Teile teilen, erhält jeder ein Achtel einer Wassermelone. Dieser eine Teil von acht wird Aktie genannt.
Ein Anteil, der ½ eines beliebigen Wertes entspricht, wird als Hälfte bezeichnet; ⅓ - Drittel; ¼ - ein Viertel. Einträge wie 5/8, 4/5, 2/4 werden gemeinsame Brüche genannt. Ein gemeinsamer Bruch wird unterteilt inZähler und Nenner. Zwischen ihnen befindet sich eine Bruchlinie oder eine Bruchlinie. Ein Bruchstrich kann entweder als horizontale oder als schräge Linie gezeichnet werden. In diesem Fall steht es für das Divisionszeichen.
Der Nenner stellt dar, in wie viele gleiche Anteile der Wert, das Objekt geteilt wird; und der Zähler gibt an, wie viele gleiche Anteile genommen werden. Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter.
Es ist am bequemsten, gewöhnliche Brüche auf dem Koordinatenstrahl darzustellen. Wenn ein einzelnes Segment in 4 gleiche Teile geteilt wird, wird jeder Teil mit einem lateinischen Buchstaben bezeichnet, dann erh alten Sie als Ergebnis eine hervorragende visuelle Hilfe. Punkt A zeigt also einen Anteil gleich 1/4 des gesamten Einheitssegments, und Punkt B markiert 2/8 aus diesem Segment.
Sorten von Brüchen
Brüche sind gewöhnliche, dezimale und auch gemischte Zahlen. Außerdem können Brüche in echte und unechte Brüche unterteilt werden. Diese Einteilung eignet sich besser für gängige Brüche.
Ein echter Bruch ist eine Zahl, deren Zähler kleiner als der Nenner ist. Dementsprechend ist ein unechter Bruch eine Zahl, deren Zähler größer als der Nenner ist. Die zweite Art wird normalerweise als gemischte Zahl geschrieben. Ein solcher Ausdruck besteht aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruchteil. Zum Beispiel 1½. 1 - ganzzahliger Teil, ½ - Bruchzahl. Wenn Sie jedoch einige Manipulationen mit dem Ausdruck durchführen müssen (Brüche dividieren oder multiplizieren, kürzen oder umwandeln), wird die gemischte Zahl übersetzt inunechter Bruch.
Ein richtiger Bruchausdruck ist immer kleiner als eins, ein falscher immer größer oder gleich 1.
Wie bei Dezimalbrüchen versteht man unter diesem Ausdruck einen Satz, in dem eine beliebige Zahl dargestellt wird, deren Nenner durch eine Eins mit mehreren Nullen ausgedrückt werden kann. Wenn der Bruch korrekt ist, dann ist der ganzzahlige Teil in der Dezimalschreibweise Null.
Um eine Dezimalzahl zu schreiben, müssen Sie zuerst den ganzzahligen Teil schreiben, ihn durch ein Komma vom Bruch trennen und dann den Bruchausdruck schreiben. Zu beachten ist, dass der Zähler nach dem Komma so viele Ziffern enth alten muss, wie Nullen im Nenner stehen.
Beispiel. Stellen Sie den Bruch 721/1000 in Dezimalschreibweise dar.
Algorithmus zur Umwandlung eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl und umgekehrt
Es ist falsch, einen unechten Bruch in die Lösung der Aufgabe zu schreiben, also muss er in eine gemischte Zahl umgewandelt werden:
- Teile den Zähler durch den verfügbaren Nenner;
- in einem konkreten Beispiel ist der unvollständige Quotient eine ganze Zahl;
- und der Rest ist der Zähler des Bruchteils, und der Nenner bleibt unverändert.
Beispiel. Unechten Bruch in gemischte Zahl umwandeln: 47/5.
Entscheidung. 47: 5. Teilquotient ist 9, Rest=2. Also 47/5 =92/5.
Manchmal musst du eine gemischte Zahl als unechten Bruch darstellen. Dann müssen Sie verwendenfolgender Algorithmus:
- der ganzzahlige Teil wird mit dem Nenner des Bruchausdrucks multipliziert;
- das resultierende Produkt wird zum Zähler addiert;
- das Ergebnis wird in den Zähler geschrieben, der Nenner bleibt unverändert.
Beispiel. Drücken Sie eine gemischte Zahl als unechten Bruch aus: 98/10.
Entscheidung. 9 x 10 + 8=90 + 8=98 ist der Zähler.
Antwort: 98/10.
Multiplikation gemeinsamer Brüche
Verschiedene algebraische Operationen können mit gewöhnlichen Brüchen durchgeführt werden. Um zwei Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Außerdem unterscheidet sich die Multiplikation von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern nicht vom Produkt von Brüchen mit gleichem Nenner.
Es kommt vor, dass Sie nach dem Finden des Ergebnisses den Bruch kürzen müssen. Es ist zwingend erforderlich, den resultierenden Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen. Natürlich kann man nicht sagen, dass ein unechter Bruch in der Antwort ein Fehler ist, aber es ist auch schwierig, ihn als richtige Antwort zu bezeichnen.
Beispiel. Finden Sie das Produkt von zwei gemeinsamen Brüchen: ½ und 20/18.
Wie Sie dem Beispiel entnehmen können, erh alten wir nach dem Auffinden des Produkts eine reduzierte Bruchschreibweise. Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind in diesem Fall durch 4 teilbar, und das Ergebnis ist die Antwort 5/9.
Multiplikation von Dezimalbrüchen
KunstwerkDezimalbrüche unterscheiden sich in ihrem Prinzip stark vom Produkt gewöhnlicher Brüche. Das Multiplizieren von Brüchen ist also wie folgt:
- zwei Dezimalbrüche müssen so untereinander geschrieben werden, dass die Ziffern ganz rechts untereinander stehen;
- Sie müssen die geschriebenen Zahlen trotz Kommas multiplizieren, also als natürliche Zahlen;
- berechne die Anzahl der Ziffern nach dem Komma in jeder der Zahlen;
- im Ergebnis der Multiplikation müssen Sie rechts so viele Ziffern zählen, wie in der Summe der beiden Faktoren nach dem Komma enth alten sind, und ein Trennzeichen setzen;
- wenn das Produkt weniger Ziffern enthält, müssen Sie so viele Nullen davor schreiben, dass diese Zahl abgedeckt ist, ein Komma setzen und einen ganzzahligen Teil gleich Null zuweisen.
Beispiel. Berechne das Produkt zweier Dezimalstellen: 2, 25 und 3, 6.
Entscheidung.
Multiplikation gemischter Brüche
Um das Produkt zweier gemischter Brüche zu berechnen, musst du die Regel zum Multiplizieren von Brüchen anwenden:
- Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln;
- Finde das Produkt von Zählern;
- Finde das Produkt der Nenner;
- Schreibe das Ergebnis;
- vereinfachen Sie den Ausdruck so weit wie möglich.
Beispiel. Finde das Produkt von 4½ und 62/5.
Eine Zahl mit einem Bruch multiplizieren(Brüche pro Zahl)
Zusätzlich zum Finden des Produkts zweier Brüche, gemischter Zahlen, gibt es Aufgaben, bei denen Sie eine natürliche Zahl mit einem Bruch multiplizieren müssen.
Also, um das Produkt eines Dezimalbruchs und einer natürlichen Zahl zu finden, brauchst du:
- schreibe die Zahl so unter den Bruch, dass die Ziffern ganz rechts übereinander liegen;
- Produkt finden trotz Komma;
- trennen Sie im Ergebnis den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma und zählen Sie rechts die Anzahl der Zeichen nach dem Dezimalkomma im Bruch.
Um einen gewöhnlichen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, musst du das Produkt aus dem Zähler und dem natürlichen Faktor finden. Wenn die Antwort ein gekürzter Bruch ist, sollte er umgewandelt werden.
Beispiel. Berechne das Produkt von 5/8 und 12.
Entscheidung. 5/812=(512)/8=60/8 =30/4 =15/2 =71/2.
Antwort: 71/2.
Wie Sie im vorherigen Beispiel sehen können, war es notwendig, das resultierende Ergebnis zu kürzen und den falschen Bruchausdruck in eine gemischte Zahl umzuwandeln.
Außerdem gilt die Multiplikation von Brüchen auch für die Suche nach dem Produkt einer Zahl in gemischter Form und einem natürlichen Faktor. Um diese beiden Zahlen zu multiplizieren, sollten Sie den ganzzahligen Teil des gemischten Faktors mit der Zahl multiplizieren, den Zähler mit demselben Wert multiplizieren und den Nenner unverändert lassen. Falls nötig, vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
Beispiel. Findendas Produkt aus 95/6 und 9.
Entscheidung. 95/6 x 9=9 x 9 + (5 x 9)/ 6 =81 + 45/6 =81 + 73/ 6 =881/2.
Antwort: 881/2.
Multiplizieren mit Faktoren 10, 100, 1000 oder 0, 1; 0,01; 0, 001
Die folgende Regel folgt aus dem vorherigen Absatz. Um einen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000, 10000 usw. zu multiplizieren, müssen Sie das Komma um so viele Ziffern nach rechts verschieben, wie im Multiplikator Nullen nach Eins stehen.
Beispiel 1. Finde das Produkt von 0, 065 und 1000.
Entscheidung. 0,065 x 1000=0065=65.
Antwort: 65.
Beispiel 2. Finde das Produkt von 3, 9 und 1000.
Entscheidung. 3,9 x 1000=3,900 x 1000=3900.
Antwort: 3900.
Wenn Sie eine natürliche Zahl und 0, 1 multiplizieren müssen; 0,01; 0,001; B. 0, 0001 usw., sollten Sie im resultierenden Produkt das Komma um so viele Ziffern nach links verschieben, wie Nullen vor Eins stehen. Gegebenenfalls werden vor die natürliche Zahl genügend Nullen geschrieben.
Beispiel 1. Finde das Produkt von 56 und 0, 01.
Entscheidung. 56 x 0,01=0056=0,56.
Antwort: 0, 56.
Beispiel 2. Finde das Produkt von 4 und 0, 001.
Entscheidung. 4 x 0,001=0004=0,004.
Antwort: 0, 004.
Also sollte es nicht schwierig sein, das Produkt verschiedener Brüche zu finden, außer vielleicht die Berechnung des Ergebnisses; auf einen Taschenrechner kann man in diesem Fall einfach nicht verzichten.
