Im Schulkurs der Festkörpergeometrie ist eine der einfachsten Figuren, die entlang drei Raumachsen Dimensionen ungleich Null hat, ein viereckiges Prisma. Überlegen Sie im Artikel, um was für eine Figur es sich handelt, aus welchen Elementen sie besteht und auch, wie Sie ihre Oberfläche und ihr Volumen berechnen können.
Prismakonzept
In der Geometrie ist ein Prisma eine räumliche Figur, die aus zwei identischen Grundflächen und Seitenflächen gebildet wird, die die Seiten dieser Grundflächen verbinden. Beachten Sie, dass beide Basen unter Verwendung der Operation der parallelen Translation durch einen Vektor ineinander transformiert werden. Diese Zuordnung des Prismas führt dazu, dass alle seine Seiten immer Parallelogramme sind.
Die Anzahl der Seiten der Basis kann beliebig sein, beginnend bei drei. Wenn diese Zahl gegen unendlich geht, verwandelt sich das Prisma glatt in einen Zylinder, da seine Basis zu einem Kreis wird und die seitlichen Parallelogramme, die sich verbinden, eine zylindrische Oberfläche bilden.
Wie jedes Polyeder ist ein Prisma gekennzeichnet durchSeiten (Ebenen, die die Figur begrenzen), Kanten (Segmente, entlang derer sich zwei beliebige Seiten schneiden) und Scheitelpunkte (Treffpunkte von drei Seiten, bei einem Prisma sind zwei seitlich und die dritte die Basis). Die Mengen der genannten drei Elemente der Figur sind durch folgenden Ausdruck miteinander verbunden:
P=C + B - 2
Hier sind P, C und B die Anzahl der Kanten, Seiten bzw. Ecken. Dieser Ausdruck ist die mathematische Schreibweise des Satzes von Euler.
Das obige Bild zeigt zwei Prismen. An der Basis von einem von ihnen (A) liegt ein regelmäßiges Sechseck, und die Seitenflächen sind senkrecht zu den Basen. Abbildung B zeigt ein weiteres Prisma. Seine Seiten sind nicht mehr senkrecht zu den Basen, und die Basis ist ein regelmäßiges Fünfeck.
Was ist ein viereckiges Prisma?
Wie aus der obigen Beschreibung hervorgeht, wird die Art des Prismas hauptsächlich durch die Art des Polygons bestimmt, das die Basis bildet (beide Basen sind gleich, also können wir von einer von ihnen sprechen). Wenn dieses Polygon ein Parallelogramm ist, erh alten wir ein viereckiges Prisma. Somit sind alle Seiten dieses Prismentyps Parallelogramme. Ein viereckiges Prisma hat seinen eigenen Namen - ein Parallelepiped.
Die Anzahl der Seiten eines Parallelepipeds ist sechs, und jede Seite hat eine ähnliche Parallele. Da die Basen der Box zwei Seiten sind, sind die restlichen vier seitlich.
Die Anzahl der Ecken des Parallelepipeds ist acht, was leicht zu sehen ist, wenn wir uns daran erinnern, dass die Ecken des Prismas nur an den Ecken der Basispolygone gebildet werden (4x2=8). Wenden wir den Satz von Euler an, erh alten wir die Anzahl der Kanten:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Von 12 Rippen werden nur 4 unabhängig von den Seiten gebildet. Die restlichen 8 liegen in den Ebenen der Basen der Figur.
Weiter in diesem Artikel werden wir nur über viereckige Prismen sprechen.
Arten von Parallelepipeds
Die erste Art der Klassifikation sind die Merkmale des zugrunde liegenden Parallelogramms. Das kann so aussehen:
- normal, dessen Winkel ungleich 90 sindo;
- Rechteck;
- ein Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck.
Die zweite Klassifizierungsart ist der Winkel, in dem die Seite die Basis kreuzt. Hier sind zwei unterschiedliche Fälle möglich:
- ist dieser Winkel nicht gerade, dann heißt das Prisma schief oder schief;
- beträgt der Winkel 90°o, dann ist ein solches Prisma rechteckig oder einfach gerade.
Die dritte Klassifizierungsart bezieht sich auf die Höhe des Prismas. Wenn das Prisma rechteckig ist und die Grundfläche entweder ein Quadrat oder ein Rechteck ist, wird es als Quader bezeichnet. Wenn an der Basis ein Quadrat ist, das Prisma rechteckig ist und seine Höhe gleich der Seitenlänge des Quadrats ist, dann erh alten wir die bekannte Würfelfigur.
Prismenoberfläche und -bereich
Die Menge aller Punkte, die auf zwei Grundflächen eines Prismas liegen(Parallelogramme) und an seinen Seiten (vier Parallelogramme) bilden die Oberfläche der Figur. Die Fläche dieser Fläche lässt sich berechnen, indem man die Fläche der Grundfläche und diesen Wert für die Seitenfläche berechnet. Dann ergibt ihre Summe den gewünschten Wert. Mathematisch schreibt man das so:
S=2So+ Sb
Dabei sind So und Sb die Fläche der Grund- bzw. Seitenfläche. Die Zahl 2 vor So erscheint, weil es zwei Basen gibt.
Beachte, dass die geschriebene Formel für jedes Prisma gilt, und nicht nur für die Fläche eines viereckigen Prismas.
Es ist nützlich, sich daran zu erinnern, dass die Fläche eines Parallelogramms Sp nach folgender Formel berechnet wird:
Sp=ah
Wobei die Symbole a und h die Länge einer seiner Seiten bzw. die zu dieser Seite gezogene Höhe bezeichnen.
Die Fläche eines rechteckigen Prismas mit quadratischer Grundfläche
Bei einem regelmäßigen viereckigen Prisma ist die Grundfläche ein Quadrat. Der Deutlichkeit halber bezeichnen wir seine Seite mit dem Buchstaben a. Um die Fläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas zu berechnen, sollten Sie seine Höhe kennen. Gemäß der Definition für diese Größe ist sie gleich der Länge der von einer Basis zur anderen fallenden Senkrechten, dh gleich dem Abstand zwischen ihnen. Nennen wir es mit dem Buchstaben h. Da alle Seitenflächen für den betrachteten Prismentyp senkrecht zu den Basen stehen, ist die Höhe eines regulären viereckigen Prismas gleich der Länge seiner Seitenkante.
BDie allgemeine Formel für die Oberfläche eines Prismas besteht aus zwei Termen. Die Fläche der Basis ist in diesem Fall einfach zu berechnen, sie ist gleich:
So=a2
Um den Flächeninh alt der Mantelfläche zu berechnen, argumentieren wir wie folgt: Diese Fläche wird von 4 identischen Rechtecken gebildet. Außerdem sind die Seiten von jedem von ihnen gleich a und h. Das bedeutet, dass die Fläche von Sb gleich ist zu:
Sb=4ah
Beachte, dass das Produkt 4a der Umfang der quadratischen Grundfläche ist. Verallgemeinern wir diesen Ausdruck auf den Fall einer beliebigen Grundfläche, so lässt sich für ein rechteckiges Prisma die Seitenfläche wie folgt berechnen:
Sb=Poh
wobei Po der Umfang der Basis ist.
Um auf das Problem der Berechnung der Fläche eines regulären viereckigen Prismas zurückzukommen, können wir die endgültige Formel schreiben:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Fläche eines schiefen Quaders
Die Berechnung ist etwas schwieriger als bei einem rechteckigen. In diesem Fall wird die Grundfläche eines viereckigen Prismas nach der gleichen Formel wie bei einem Parallelogramm berechnet. Die Änderungen betreffen die Bestimmung der Seitenfläche.
Verwenden Sie dazu die gleiche Formel durch den Umfang wie im obigen Absatz angegeben. Nur jetzt wird es leicht unterschiedliche Multiplikatoren haben. Die allgemeine Formel für Sb bei einem schiefen Prisma lautet:
Sb=Psrc
Hier ist c die Länge der Seitenkante der Figur. Der Wert Psr ist der Umfang der rechteckigen Scheibe. Diese Umgebung ist wie folgt aufgebaut: Es ist notwendig, alle Seitenflächen mit einer Ebene zu schneiden, so dass sie senkrecht zu allen steht. Das resultierende Rechteck ist der gewünschte Schnitt.
Die obige Abbildung zeigt ein Beispiel für eine schräge Box. Sein schraffierter Abschnitt bildet mit den Seiten rechte Winkel. Der Umfang des Abschnitts ist Psr. Es wird durch vier Höhen seitlicher Parallelogramme gebildet. Für dieses viereckige Prisma errechnet sich die Seitenfläche nach obiger Formel.
Die Länge der Diagonale eines Quaders
Die Diagonale eines Parallelepipeds ist ein Segment, das zwei Eckpunkte verbindet, die keine gemeinsamen Seiten haben, die sie bilden. In jedem viereckigen Prisma gibt es nur vier Diagonalen. Bei einem Quader mit einem Rechteck an der Grundfläche sind alle Diagonalen gleich lang.
Die folgende Abbildung zeigt die entsprechende Abbildung. Das rote Segment ist seine Diagonale.
Die Berechnung seiner Länge ist sehr einfach, wenn Sie sich an den Satz des Pythagoras erinnern. Jeder Schüler kann die gewünschte Formel bekommen. Es hat die folgende Form:
D=√(A2+ B2 + C2)
Hier ist D die Länge der Diagonale. Die restlichen Zeichen sind die Seitenlängen der Box.
Viele Leute verwechseln die Diagonale eines Parallelepipeds mit den Diagonalen seiner Seiten. Unten ist ein Bild, wo die farbigendie Segmente stellen die Diagonalen der Seiten der Figur dar.
Die Länge jeder von ihnen wird ebenfalls durch den Satz des Pythagoras bestimmt und ist gleich der Quadratwurzel der Summe der Quadrate der entsprechenden Seitenlängen.
Prismenlautstärke
Zusätzlich zur Fläche eines regulären viereckigen Prismas oder anderer Arten von Prismen sollten Sie zur Lösung einiger geometrischer Probleme auch deren Volumen kennen. Dieser Wert wird für absolut beliebige Prismen nach folgender Formel berechnet:
V=Soh
Wenn das Prisma rechteckig ist, reicht es aus, die Fläche seiner Basis zu berechnen und mit der Länge der Seitenkante zu multiplizieren, um das Volumen der Figur zu erh alten.
Wenn das Prisma ein regelmäßiges viereckiges Prisma ist, dann ist sein Volumen:
V=a2h.
Es ist leicht zu sehen, dass sich diese Formel in einen Ausdruck für das Volumen eines Würfels umwandelt, wenn die Länge der Seitenkante h gleich der Seite der Grundfläche a ist.
Problem mit einem Quader
Um das untersuchte Material zu konsolidieren, werden wir das folgende Problem lösen: Es gibt ein rechteckiges Parallelepiped mit den Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm. Es ist notwendig, seine Oberfläche, Diagonale und Volumen zu berechnen.
Nehmen wir zur Sicherheit an, dass die Grundfläche der Figur ein Rechteck mit Seitenlängen von 3 cm und 4 cm ist, dann hat sie eine Fläche von 12 cm2 und den Punkt beträgt 14 cm. Unter Verwendung der Formel für die Oberfläche des Prismas erh alten wir:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Um die Länge der Diagonalen und das Volumen der Figur zu bestimmen, können Sie direkt die obigen Ausdrücke verwenden:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60cm3.
Problem mit einem schiefen Quader
Die folgende Abbildung zeigt ein schiefes Prisma. Seine Seiten sind gleich: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Sie müssen die Oberfläche dieser Figur finden.
Lassen Sie uns zuerst die Fläche der Basis bestimmen. Die Abbildung zeigt, dass der spitze Winkel 50o beträgt. Dann ist sein Flächeninh alt:
So=ha=sin(50o)ba
Um die Fläche der Seitenfläche zu bestimmen, sollten Sie den Umfang des schattierten Rechtecks finden. Die Seiten dieses Rechtecks sind asin(45o) und bsin(60o). Dann ist der Umfang dieses Rechtecks:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Die Gesamtfläche dieser Box ist:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Wir ersetzen die Daten aus der Bedingung des Problems für die Längen der Seiten der Figur, wir erh alten die Antwort:
S=458, 5496 cm3
Aus der Lösung dieser Aufgabe ist ersichtlich, dass trigonometrische Funktionen verwendet werden, um die Flächen von schiefen Figuren zu bestimmen.
