Viele, die mit dem Konzept der "Wahrscheinlichkeitstheorie" konfrontiert sind, haben Angst und denken, dass dies etwas Überwältigendes, sehr Komplexes ist. Aber so tragisch ist es wirklich nicht. Heute werden wir das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachten und anhand konkreter Beispiele lernen, wie man Probleme löst.
Wissenschaft
Was untersucht ein mathematischer Zweig wie die "Wahrscheinlichkeitstheorie"? Es notiert Muster zufälliger Ereignisse und Mengen. Wissenschaftler interessierten sich erstmals im 18. Jahrhundert für dieses Thema, als sie sich mit dem Glücksspiel befassten. Das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Ereignis. Es ist jede Tatsache, die durch Erfahrung oder Beobachtung festgestellt wird. Aber was ist Erfahrung? Ein weiteres Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie. Das bedeutet, dass diese Zusammenstellung von Umständen nicht zufällig, sondern zu einem bestimmten Zweck geschaffen wurde. Was die Beobachtung betrifft, hier nimmt der Forscher selbst nicht am Experiment teil, sondern ist nur Zeuge dieser Ereignisse, er beeinflusst das Geschehen in keiner Weise.
Ereignisse
Wir haben gelernt, dass das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie ein Ereignis ist, haben aber die Klassifizierung nicht berücksichtigt. Alle von ihnen sind in die folgenden Kategorien unterteilt:
- Zuverlässig.
- Unmöglich.
- Zufällig.
Egalwelche Art von Ereignissen beobachtet oder im Laufe der Erfahrung geschaffen werden, sie alle unterliegen dieser Klassifizierung. Wir bieten an, sich mit jeder Art separat vertraut zu machen.
bestimmtes Ereignis
Dies ist ein Umstand, vor dem die notwendigen Maßnahmen ergriffen wurden. Um die Essenz besser zu verstehen, ist es besser, einige Beispiele zu geben. Physik, Chemie, Wirtschaftswissenschaften und höhere Mathematik unterliegen diesem Gesetz. Die Wahrscheinlichkeitstheorie beinh altet ein so wichtiges Konzept wie ein bestimmtes Ereignis. Hier sind einige Beispiele:
- Wir arbeiten und bekommen Lohn in Form von Lohn.
- Wir haben die Prüfungen gut bestanden, den Wettbewerb bestanden, dafür erh alten wir eine Belohnung in Form der Aufnahme in eine Bildungseinrichtung.
- Wir haben Geld bei der Bank angelegt, wir bekommen es bei Bedarf zurück.
Solche Ereignisse sind zuverlässig. Wenn wir alle notwendigen Bedingungen erfüllt haben, erh alten wir definitiv das erwartete Ergebnis.
Unmögliche Ereignisse
Nun betrachten wir Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wir schlagen vor, zur Erklärung des nächsten Ereignistyps überzugehen, nämlich des Unmöglichen. Lassen Sie uns zuerst die wichtigste Regel spezifizieren - die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist null.
Sie können bei der Problemlösung von dieser Formulierung nicht abweichen. Zur Verdeutlichung hier Beispiele für solche Ereignisse:
- Wasser ist bei plus zehn gefroren (das ist unmöglich).
- Der Strommangel beeinträchtigt die Produktion in keiner Weise (genauso unmöglich wie im vorigen Beispiel).
Weitere BeispieleEs lohnt sich nicht, sie zu zitieren, da die oben beschriebenen sehr deutlich die Essenz dieser Kategorie widerspiegeln. Das unmögliche Ereignis wird unter keinen Umständen während des Erlebnisses eintreten.
Zufällige Ereignisse
Beim Studium der Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie sollte dieser speziellen Art von Ereignis besondere Aufmerksamkeit geschenkt werden. Das studiert die Wissenschaft. Als Ergebnis der Erfahrung kann etwas passieren oder auch nicht. Außerdem kann der Test unbegrenzt oft wiederholt werden. Anschauliche Beispiele sind:
- Das Werfen einer Münze ist eine Erfahrung oder ein Test, Kopfball ist ein Ereignis.
- Blindes Ziehen eines Balls aus einem Sack ist ein Test, ein roter Ball ist ein Ereignis und so weiter.
Es kann unendlich viele solcher Beispiele geben, aber im Allgemeinen sollte das Wesentliche klar sein. Um die gewonnenen Erkenntnisse über Ereignisse zusammenzufassen und zu systematisieren, wird eine Tabelle gegeben. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht nur den letzten Typ von allen vorgestellten.
| title | Definition | Beispiel |
| Zuverlässig | Ereignisse, die unter bestimmten Bedingungen mit 100%iger Garantie eintreten. | Zulassung an einer Bildungseinrichtung mit guter Aufnahmeprüfung. |
| Unmöglich | Ereignisse, die unter keinen Umständen stattfinden werden. | Es schneit bei plus dreißig Grad Celsius. |
| Zufall | Ein Ereignis, das während eines Experiments/Tests auftreten kann oder nicht. | Treffer oder Fehlschlag beim Werfen eines Basketballs in den Korb. |
Gesetze
Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Wissenschaft, die die Möglichkeit untersucht, dass ein Ereignis eintritt. Wie die anderen hat es einige Regeln. Es gibt folgende Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie:
- Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen.
- Das Gesetz der großen Zahlen.
Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit eines Komplexes berechnen, können Sie einen Komplex einfacher Ereignisse verwenden, um das Ergebnis einfacher und schneller zu erzielen. Beachten Sie, dass die Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie mit Hilfe einiger Theoreme leicht bewiesen werden können. Beginnen wir mit dem ersten Gesetz.
Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen
Beachten Sie, dass es mehrere Arten der Konvergenz gibt:
- Die Folge von Zufallsvariablen konvergiert in der Wahrscheinlichkeit.
- Fast unmöglich.
- RMS-Konvergenz.
- Konvergenz in der Verteilung.
Also, auf die Schnelle ist es sehr schwer, der Sache auf den Grund zu gehen. Hier sind einige Definitionen, die Ihnen helfen sollen, dieses Thema zu verstehen. Beginnen wir mit dem ersten Blick. Eine Folge heißt wahrscheinlichkeitskonvergent, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: n strebt gegen unendlich, die Zahl, gegen die die Folge strebt, ist größer als null und nahe bei eins.
Ich gehe mit ziemlicher Sicherheit zur nächsten Ansicht. Sie sagen, dassdie Folge konvergiert fast sicher gegen eine Zufallsvariable mit n gegen unendlich und P gegen einen Wert nahe eins.
Der nächste Typ ist die Root-Mean-Square-Konvergenz. Bei Verwendung der SC-Konvergenz reduziert sich die Untersuchung vektorieller Zufallsprozesse auf die Untersuchung ihrer koordinierten Zufallsprozesse.
Der letzte Typ bleibt, werfen wir einen kurzen Blick darauf, um direkt zur Problemlösung überzugehen. Verteilungskonvergenz hat einen anderen Namen - „schwach“, wir werden weiter unten erklären, warum. Schwache Konvergenz ist die Konvergenz von Verteilungsfunktionen an allen Stetigkeitspunkten der Grenzverteilungsfunktion.
Stellen Sie sicher, dass Sie das Versprechen einlösen: Schwache Konvergenz unterscheidet sich von allen oben genannten darin, dass die Zufallsvariable nicht im Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist. Dies ist möglich, weil die Bedingung ausschließlich über Verteilungsfunktionen gebildet wird.
Gesetz der großen Zahlen
Ausgezeichnete Helfer beim Beweis dieses Gesetzes sind wahrscheinlichkeitstheoretische Sätze wie:
- Chebyshevs Ungleichung.
- Satz von Tschebyscheff.
- Verallgemeinerter Satz von Tschebyscheff.
- Satz von Markov.
Wenn wir all diese Theoreme berücksichtigen, dann kann sich diese Frage über mehrere Dutzend Blätter hinziehen. Unsere Hauptaufgabe besteht darin, die Wahrscheinlichkeitstheorie in der Praxis anzuwenden. Wir laden Sie ein, dies jetzt zu tun. Aber vorher betrachten wir die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie, sie werden die wichtigsten Helfer bei der Lösung von Problemen sein.
Axiome
Dem ersten sind wir bereits begegnet, als wir über das unmögliche Ereignis sprachen. Erinnern wir uns: Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist null. Wir haben ein sehr anschauliches und einprägsames Beispiel gegeben: Es hat geschneit bei einer Lufttemperatur von dreißig Grad Celsius.
Der zweite klingt so: Ein zuverlässiges Ereignis tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von eins auf. Lassen Sie uns nun zeigen, wie man es in mathematischer Sprache schreibt: P(B)=1.
Third: Ein zufälliges Ereignis kann eintreten oder auch nicht, aber die Wahrscheinlichkeit reicht immer von null bis eins. Je näher der Wert bei eins liegt, desto größer ist die Chance; nähert sich der Wert Null, ist die Wahrscheinlichkeit sehr gering. Schreiben wir dies in mathematischer Sprache: 0<Р(С)<1.
Betrachten wir das letzte, vierte Axiom, das so klingt: Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier Ereignisse ist gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten. Wir schreiben in mathematischer Sprache: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie sind die einfachsten Regeln, die man sich leicht merken kann. Lassen Sie uns versuchen, einige Probleme zu lösen, basierend auf dem bereits erworbenen Wissen.
Lottoschein
Betrachten Sie zuerst das einfachste Beispiel - die Lotterie. Stellen Sie sich vor, Sie hätten einen Lottoschein als Glücksbringer gekauft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens zwanzig Rubel gewinnen? Insgesamt sind tausend Tickets im Umlauf, von denen eines einen Preis von fünfhundert Rubel, zehn von hundert Rubel, fünfzig von zwanzig Rubel und einhundert von fünf hat. Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie basieren auf dem Finden der Möglichkeitviel Glück. Jetzt werden wir gemeinsam die Lösung der oben vorgestellten Aufgabe analysieren.
Wenn wir mit dem Buchstaben A einen Gewinn von fünfhundert Rubel bezeichnen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, A zu bekommen, 0,001. Wie haben wir es bekommen? Sie müssen nur die Anzahl der "Glücks"-Tickets durch ihre Gesamtzahl teilen (in diesem Fall: 1/1000).
B ist ein Gewinn von hundert Rubel, die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,01. Jetzt haben wir nach dem gleichen Prinzip wie in der vorherigen Aktion gehandelt (10/1000)
C - der Gewinn beträgt zwanzig Rubel. Berechne die Wahrscheinlichkeit, sie ist gleich 0,05.
Die restlichen Lose sind für uns uninteressant, da ihr Preisgeld geringer ist als in der Bedingung angegeben. Wenden wir das vierte Axiom an: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens zwanzig Rubel zu gewinnen, ist P(A)+P(B)+P(C). Der Buchstabe P bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des Eintretens dieses Ereignisses, wir haben sie bereits in den vorherigen Schritten gefunden. Es müssen nur noch die erforderlichen Daten hinzugefügt werden, in der Antwort erh alten wir 0, 061. Diese Nummer ist die Antwort auf die Frage der Zuordnung.
Kartenspiel
Wahrscheinlichkeitstheorieprobleme können komplexer sein, nehmen Sie zum Beispiel die folgende Aufgabe. Vor Ihnen liegt ein Kartenspiel mit sechsunddreißig Karten. Ihre Aufgabe ist es, zwei Karten hintereinander zu ziehen, ohne den Stapel zu mischen, die erste und zweite Karte müssen Asse sein, die Farbe spielt keine Rolle.
Lassen Sie uns zuerst die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass die erste Karte ein Ass ist, dafür teilen wir vier durch sechsunddreißig. Sie haben es beiseite gelegt. Wir nehmen die zweite Karte heraus, es wird ein Ass mit einer Wahrscheinlichkeit von drei Fünfunddreißigstel sein. Die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses hängt davon ab, welche Karte wir zuerst gezogen haben, uns interessiertwar es ein Ass oder nicht. Daraus folgt, dass Ereignis B von Ereignis A abhängt.
Der nächste Schritt besteht darin, die Wahrscheinlichkeit der gleichzeitigen Implementierung zu finden, dh wir multiplizieren A und B. Ihr Produkt wird wie folgt ermittelt: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird mit der bedingten Wahrscheinlichkeit eines anderen multipliziert, die wir berechnen, unter der Annahme, dass das erste Ereignis eingetreten ist, das heißt, dass wir mit der ersten Karte ein Ass gezogen haben.
Um alles klarzustellen, wollen wir einem solchen Element eine Bezeichnung als bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses geben. Es wird unter der Annahme berechnet, dass Ereignis A eingetreten ist. Berechnet wie folgt: P(B/A).
Löse unser Problem weiter: P(AB)=P(A)P(B/A) oder P (AB)=P(B)P(A/B). Die Wahrscheinlichkeit ist (4/36)((3/35)/(4/36). Berechne durch Runden auf Hundertstel. Wir haben: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir zwei Asse hintereinander ziehen, beträgt neun Hundertstel. Der Wert ist sehr klein, daraus folgt, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses extrem gering ist.
Nummer vergessen
Wir schlagen vor, ein paar weitere Optionen für Aufgaben zu analysieren, die von der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht werden. Sie haben in diesem Artikel bereits Beispiele für die Lösung einiger davon gesehen. Versuchen wir, das folgende Problem zu lösen: Der Junge hat die letzte Ziffer der Telefonnummer seines Freundes vergessen, aber da der Anruf sehr wichtig war, begann er, alles der Reihe nach zu wählen. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass er höchstens dreimal anruft. Die Lösung des Problems ist am einfachsten, wenn die Regeln, Gesetze und Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie bekannt sind.
Vor dem AnsehenLösung, versuchen Sie es selbst zu lösen. Wir wissen, dass die letzte Ziffer von null bis neun sein kann, das heißt, es gibt insgesamt zehn Werte. Die Wahrscheinlichkeit, den richtigen zu bekommen, beträgt 1/10.
Als nächstes müssen wir Optionen für den Ursprung des Ereignisses in Betracht ziehen. Angenommen, der Junge hat richtig geraten und sofort das richtige Ergebnis erzielt. Die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses beträgt 1/10. Die zweite Option: Der erste Anruf ist ein Fehlschuss und der zweite ist am Ziel. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses: Multiplizieren Sie 9/10 mit 1/9, als Ergebnis erh alten wir auch 1/10. Die dritte Möglichkeit: Der erste und zweite Anruf stellten sich als falsche Adresse heraus, erst ab dem dritten kam der Junge an, wo er wollte. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses: Wir multiplizieren 9/10 mit 8/9 und mit 1/8 erh alten wir als Ergebnis 1/10. Je nach Zustand des Problems sind wir an anderen Optionen nicht interessiert, also bleibt es uns, die Ergebnisse zu addieren, als Ergebnis haben wir 3/10. Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Junge höchstens dreimal anruft, ist 0,3.
Karten mit Zahlen
Vor dir liegen neun Karten, auf denen jeweils eine Zahl von eins bis neun steht, die Zahlen werden nicht wiederholt. Sie wurden in eine Kiste gegeben und gründlich gemischt. Sie müssen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass
- eine gerade Zahl erscheint;
- zweistellig.
Bevor wir mit der Lösung fortfahren, stellen wir fest, dass m die Anzahl der erfolgreichen Fälle und n die Gesamtzahl der Optionen ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl gerade ist. Es wird nicht schwierig sein zu berechnen, dass es vier gerade Zahlen gibt, dies wird unser m sein, es gibt insgesamt neun Optionen, dh m=9. Dann die Wahrscheinlichkeitentspricht 0, 44 oder 4/9.
Betrachten Sie den zweiten Fall: Die Anzahl der Optionen ist neun, und es kann überhaupt keine erfolgreichen Ergebnisse geben, das heißt, m ist gleich Null. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Karte eine zweistellige Zahl enthält, ist ebenfalls null.
