Es ist unwahrscheinlich, dass viele Menschen darüber nachdenken, ob es möglich ist, mehr oder weniger zufällige Ereignisse zu berechnen. Einfach gesagt, ist es realistisch zu wissen, welche Seite des Würfels als nächstes herausfallen wird? Diese Frage stellten sich zwei große Wissenschaftler, die den Grundstein für eine Wissenschaft wie die Wahrscheinlichkeitstheorie legten, in der die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ziemlich ausführlich untersucht wird.
Ursprung
Wenn Sie versuchen, ein solches Konzept als Wahrscheinlichkeitstheorie zu definieren, erh alten Sie Folgendes: Dies ist einer der Zweige der Mathematik, der die Konstanz zufälliger Ereignisse untersucht. Natürlich offenbart dieses Konzept nicht wirklich die ganze Essenz, daher ist es notwendig, es genauer zu betrachten.
Ich möchte mit den Schöpfern der Theorie beginnen. Wie oben erwähnt, gab es zwei von ihnen, das sind Pierre Fermat und Blaise Pascal. Sie gehörten zu den ersten, die versuchten, den Ausgang eines Ereignisses mit Formeln und mathematischen Berechnungen zu berechnen. Im ganzen sind die Anfänge dieser Wissenschaft schon erschienenMittel alter. Zu dieser Zeit versuchten verschiedene Denker und Wissenschaftler, Glücksspiele wie Roulette, Craps usw. zu analysieren und dabei ein Muster und einen Prozentsatz für das Herausfallen einer bestimmten Zahl zu ermitteln. Der Grundstein wurde im 17. Jahrhundert von den oben erwähnten Wissenschaftlern gelegt.
Am Anfang konnte ihre Arbeit nicht den großen Errungenschaften auf diesem Gebiet zugeschrieben werden, weil alles, was sie taten, nur empirische Fakten waren und die Experimente visuell, ohne die Verwendung von Formeln, durchgeführt wurden. Im Laufe der Zeit stellte sich heraus, dass es großartige Ergebnisse erzielte, die sich aus der Beobachtung des Würfelns ergaben. Mit diesem Tool konnten die ersten verständlichen Formeln abgeleitet werden.
Mitarbeiter
Es ist unmöglich, eine Person wie Christian Huygens nicht zu erwähnen, während er ein Thema namens "Wahrscheinlichkeitstheorie" studiert (die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird genau in dieser Wissenschaft behandelt). Diese Person ist sehr interessant. Er versuchte, wie die oben vorgestellten Wissenschaftler, die Regelmäßigkeit zufälliger Ereignisse in Form mathematischer Formeln abzuleiten. Bemerkenswert ist, dass er dies nicht zusammen mit Pascal und Fermat tat, dh alle seine Werke haben sich in keiner Weise mit diesen Köpfen überschnitten. Huygens leitete die grundlegenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie ab.
Eine interessante Tatsache ist, dass seine Arbeit lange vor den Ergebnissen der Pionierarbeit herauskam, oder vielmehr zwanzig Jahre früher. Unter den bezeichneten Konzepten sind die bekanntesten:
- der Wahrscheinlichkeitsbegriff als Größe des Zufalls;
- Erwartung für diskretFälle;
- Multiplikations- und Additionssätze von Wahrscheinlichkeiten.
Es ist auch unmöglich, sich nicht an Jacob Bernoulli zu erinnern, der ebenfalls einen bedeutenden Beitrag zur Untersuchung des Problems geleistet hat. In eigenen, von niemandem unabhängigen Tests gelang es ihm, einen Beweis für das Gesetz der großen Zahlen vorzulegen. Die Wissenschaftler Poisson und Laplace, die zu Beginn des 19. Jahrhunderts arbeiteten, konnten ihrerseits die ursprünglichen Theoreme beweisen. Von diesem Moment an begann die Wahrscheinlichkeitstheorie zur Analyse von Fehlern im Verlauf von Beobachtungen. Russische Wissenschaftler, oder besser gesagt Markov, Chebyshev und Dyapunov, konnten diese Wissenschaft ebenfalls nicht umgehen. Basierend auf der Arbeit der großen Genies haben sie dieses Fach als Zweig der Mathematik festgelegt. Diese Figuren wirkten bereits Ende des 19. Jahrhunderts, und dank ihres Beitrags wurden Phänomene wie:
- Gesetz der großen Zahlen;
- Markov-Kettentheorie;
- Zentraler Grenzwertsatz.
Also, mit der Entstehungsgeschichte der Wissenschaft und den wichtigsten Personen, die sie beeinflusst haben, ist alles mehr oder weniger klar. Jetzt gilt es, alle Fakten zu konkretisieren.
Grundlegende Konzepte
Bevor wir Gesetze und Theoreme ansprechen, lohnt es sich, die Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie zu studieren. Die Veranst altung übernimmt dabei die Hauptrolle. Dieses Thema ist ziemlich umfangreich, aber ohne es wird es nicht möglich sein, alles andere zu verstehen.
Ein Ereignis in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist jede Menge von Ergebnissen eines Experiments. Es gibt nicht so viele Konzepte dieses Phänomens. Also, Wissenschaftler Lotman,der in diesem Bereich tätig ist, sagte, dass wir in diesem Fall über etwas sprechen, das „passiert ist, obwohl es möglicherweise nicht passiert ist.“
Zufällige Ereignisse (die Wahrscheinlichkeitstheorie widmet ihnen besondere Aufmerksamkeit) ist ein Konzept, das absolut jedes Phänomen impliziert, das auftreten kann. Oder umgekehrt tritt dieses Szenario möglicherweise nicht ein, wenn viele Bedingungen erfüllt sind. Es ist auch wichtig zu wissen, dass es zufällige Ereignisse sind, die die gesamte Menge der aufgetretenen Phänomene erfassen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie besagt, dass sich alle Bedingungen ständig wiederholen können. Ihr Verh alten wurde „Erfahrung“oder „Prüfung“genannt.
Ein bestimmtes Ereignis ist eines, das zu 100 % in einem bestimmten Test eintritt. Dementsprechend ist ein unmögliches Ereignis eines, das nicht eintreten wird.
Die Kombination zweier Aktionen (üblicherweise Fall A und Fall B) ist ein Phänomen, das gleichzeitig auftritt. Sie werden als AB bezeichnet.
Die Summe der Ereignispaare A und B ist C, mit anderen Worten, wenn mindestens eines von ihnen eintritt (A oder B), dann erhält man C. Die Formel des beschriebenen Phänomens wird wie folgt geschrieben: C=A + B.
Disjunkte Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie implizieren, dass sich zwei Fälle gegenseitig ausschließen. Sie können nie gleichzeitig passieren. Gemeinsame Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie sind ihr Antipode. Dies impliziert, dass, wenn A passiert ist, es B nicht stört.
Gegensätze (die Wahrscheinlichkeitstheorie befasst sich sehr ausführlich mit ihnen) sind leicht zu verstehen. Es ist am besten, sie im Vergleich zu behandeln. Sie sind fast gleichund inkompatible Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Aber ihr Unterschied liegt darin, dass eines der vielen Phänomene sowieso passieren muss.
Äquivalente Ereignisse sind solche Aktionen, deren Wahrscheinlichkeit gleich ist. Um es klarer zu machen, können wir uns das Werfen einer Münze vorstellen: Der Fall einer ihrer Seiten ist ebenso wahrscheinlich wie der Fall der anderen.
Glücksverheißende Ereignisse lassen sich anhand eines Beispiels leichter erkennen. Nehmen wir an, es gibt Episode B und Episode A. Die erste ist das Rollen der Würfel mit dem Erscheinen einer ungeraden Zahl, und die zweite ist das Erscheinen der Zahl Fünf auf dem Würfel. Dann stellt sich heraus, dass A B bevorzugt.
Unabhängige Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie werden nur auf zwei oder mehr Fälle projiziert und implizieren die Unabhängigkeit jeder Handlung von einer anderen. Zum Beispiel ist A der Verlust von Zahl, wenn eine Münze geworfen wird, und B ist das Ziehen eines Buben aus dem Stapel. Sie sind unabhängige Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Mit diesem Moment wurde es klarer.
Abhängige Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie sind ebenfalls nur für ihre Menge zulässig. Sie implizieren die Abhängigkeit des einen vom anderen, d. h. das Phänomen B kann nur eintreten, wenn A bereits eingetreten ist oder im Gegenteil nicht eingetreten ist, wenn dies die Hauptbedingung für B ist.
Das Ergebnis eines Zufallsexperiments, das aus einer Komponente besteht, sind elementare Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeitstheorie erklärt, dass dies ein Phänomen ist, das nur einmal aufgetreten ist.
Grundformeln
Also, die Begriffe "Ereignis", "Wahrscheinlichkeitstheorie",auch die Definition der Grundbegriffe dieser Wissenschaft wurde gegeben. Jetzt ist es an der Zeit, sich direkt mit den wichtigen Formeln vertraut zu machen. Diese Ausdrücke bestätigen mathematisch alle Hauptkonzepte in einem so schwierigen Thema wie der Wahrscheinlichkeitstheorie. Auch hier spielt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses eine große Rolle.
Beginnen Sie besser mit den Grundformeln der Kombinatorik. Und bevor Sie zu ihnen übergehen, sollten Sie überlegen, was es ist.
Kombinatorik ist in erster Linie ein Zweig der Mathematik, sie befasst sich mit dem Studium einer großen Anzahl ganzer Zahlen sowie verschiedener Permutationen sowohl der Zahlen selbst als auch ihrer Elemente, verschiedener Daten usw., was zum Auftreten von führt eine Reihe von Kombinationen. Neben der Wahrscheinlichkeitstheorie ist dieser Zweig für Statistik, Informatik und Kryptografie von Bedeutung.
Also können wir jetzt damit fortfahren, die Formeln selbst vorzustellen und zu definieren.
Der erste ist der Ausdruck für die Anzahl der Permutationen, er sieht so aus:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Gleichung gilt nur, wenn sich die Elemente nur in der Reihenfolge unterscheiden.
Jetzt wird die Platzierungsformel berücksichtigt, sie sieht so aus:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Dieser Ausdruck gilt nicht nur für die Reihenfolge des Elements, sondern auch für seine Zusammensetzung.
Die dritte Gleichung aus der Kombinatorik, und sie ist auch die letzte, heißt Formel für die Zahl der Kombinationen:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinationen sind jeweils ungeordnete Auswahlen, für die diese Regel gilt.
Es stellte sich als einfach heraus, die Formeln der Kombinatorik herauszufinden, jetzt können wir zur klassischen Definition von Wahrscheinlichkeiten übergehen. Dieser Ausdruck sieht so aus:
P(A)=m: n.
In dieser Formel ist m die Anzahl der Bedingungen, die für Ereignis A günstig sind, und n ist die Anzahl aller absolut gleich möglichen und elementaren Ausgänge.
Es gibt eine Vielzahl von Ausdrücken, der Artikel wird nicht alle abdecken, aber die wichtigsten werden angesprochen, wie zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit der Summe von Ereignissen:
P(A + B)=P(A) + P(B) - dieser Satz dient nur dazu, inkompatible Ereignisse zu addieren;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - und dieser dient nur zum Hinzufügen von kompatiblen.
Wahrscheinlichkeit der Erzeugung von Ereignissen:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – dieser Satz gilt für unabhängige Ereignisse;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - und das ist für Süchtige.
Die Ereignisformel beendet die Liste. Die Wahrscheinlichkeitstheorie sagt uns etwas über den Satz von Bayes, der so aussieht:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
In dieser Formel ist H1, H2, …, H ist das vollständige Gruppe von Hypothesen.
Lassen Sie uns hier aufhören, dann werden Beispiele für die Anwendung von Formeln zur Lösung spezifischer Probleme aus der Praxis betrachtet.
Beispiele
Wenn Sie irgendeinen Abschnitt sorgfältig studierenMathematik kommt es nicht ohne Aufgaben und Musterlösungen aus. Ebenso die Wahrscheinlichkeitstheorie: Ereignisse, Beispiele sind hier ein fester Bestandteil, der wissenschaftliche Berechnungen bestätigt.
Formel für die Anzahl der Permutationen
Nehmen wir an, es gibt dreißig Karten in einem Kartenspiel, beginnend mit dem Nennwert eins. Nächste Frage. Wie viele Möglichkeiten gibt es, das Deck so zu stapeln, dass Karten mit einem Nennwert von eins und zwei nicht nebeneinander liegen?
Die Aufgabe wurde gestellt, nun geht es an die Lösung. Zuerst müssen Sie die Anzahl der Permutationen von dreißig Elementen bestimmen, dafür nehmen wir die obige Formel, es stellt sich heraus, dass P_30=30!.
Basierend auf dieser Regel werden wir herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, das Deck auf unterschiedliche Weise zu f alten, aber wir müssen davon diejenigen abziehen, bei denen die erste und die zweite Karte als nächstes kommen. Beginnen wir dazu mit der Option, wenn der erste über dem zweiten liegt. Es stellt sich heraus, dass die erste Karte neunundzwanzig Plätze einnehmen kann - von der ersten bis zur neunundzwanzigsten und die zweite Karte von der zweiten bis zur dreißigsten, ergibt sich für ein Kartenpaar neunundzwanzig Plätze. Der Rest kann wiederum achtundzwanzig Plätze einnehmen, und zwar in beliebiger Reihenfolge. Das heißt, für eine Permutation von achtundzwanzig Karten gibt es achtundzwanzig Optionen P_28=28!
Als Ergebnis stellt sich heraus, dass es 29 ⋅ 28 zusätzliche Möglichkeiten gibt, wenn wir die Lösung betrachten, wenn die erste Karte über der zweiten liegt!=29!
Mit derselben Methode müssen Sie die Anzahl der redundanten Optionen für den Fall berechnen, dass die erste Karte unter der zweiten liegt. Es stellt sich auch heraus 29 ⋅ 28!=29!
Daraus folgt, dass es 2 ⋅ 29 zusätzliche Optionen gibt!, während es 30 erforderliche Möglichkeiten gibt, ein Deck zu bauen! - 2 ⋅ 29!. Es bleibt nur noch zu zählen.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Jetzt musst du alle Zahlen von eins bis neunundzwanzig miteinander multiplizieren und am Ende alles mit 28 multiplizieren. Das Ergebnis ist 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Lösung des Beispiels. Formel für Platzierungsnummer
Bei dieser Aufgabe müssen Sie herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, fünfzehn Bände in ein Regal zu stellen, aber unter der Bedingung, dass es insgesamt dreißig Bände gibt.
Dieses Problem lässt sich etwas einfacher lösen als das vorherige. Unter Verwendung der bereits bekannten Formel muss die Gesamtzahl der Standorte aus dreißig Bänden von fünfzehn berechnet werden.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 931 727 360 000
Die Antwort lautet 202 843 204 931 727 360 000.
Jetzt nehmen wir die Aufgabe etwas schwieriger. Sie müssen herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, dreißig Bücher auf zwei Bücherregalen anzuordnen, vorausgesetzt, dass nur fünfzehn Bände auf einem Regal stehen können.
Bevor ich mit der Lösung beginne, möchte ich klarstellen, dass einige Probleme auf verschiedene Arten gelöst werden können, also gibt es zwei Möglichkeiten in dieser, aber dieselbe Formel wird in beiden verwendet.
Bei dieser Aufgabe kannst du die Antwort aus der vorigen übernehmen, denn dort haben wir ausgerechnet, wie oft du ein Regal mit fünfzehn Büchern füllen kannst für-anders. Es stellte sich heraus A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Wir werden das zweite Regal mit der Permutationsformel berechnen, weil fünfzehn Bücher darin platziert sind, während nur fünfzehn übrig bleiben. Verwenden Sie die Formel P_15=15!.
Es stellt sich heraus, dass die Summe A_30^15 ⋅ P_15 Wege sein wird, aber zusätzlich muss das Produkt aller Zahlen von dreißig bis sechzehn mit dem Produkt der Zahlen von eins bis fünfzehn multipliziert werden, wie ein Ergebnis, das Produkt aller Zahlen von eins bis dreißig, also ist die Antwort 30!
Aber dieses Problem kann auch anders gelöst werden - einfacher. Dazu können Sie sich vorstellen, dass es ein Regal für dreißig Bücher gibt. Alle von ihnen sind auf dieser Ebene platziert, aber da die Bedingung erfordert, dass es zwei Regale gibt, schneiden wir ein langes in zwei Hälften, es werden jeweils zwei fünfzehn. Daraus ergibt sich, dass die Platzierungsoptionen P_30=30!.
sein können
Lösung des Beispiels. Formel für Kombinationszahl
Nun betrachten wir eine Variante des dritten Problems aus der Kombinatorik. Sie müssen herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, fünfzehn Bücher anzuordnen, vorausgesetzt, Sie müssen aus dreißig absolut identischen wählen.
Für die Lösung wird natürlich die Formel für die Anzahl der Kombinationen angewendet. Aus der Bedingung wird deutlich, dass es auf die Reihenfolge der identischen fünfzehn Bücher nicht ankommt. Daher müssen Sie zunächst die Gesamtzahl der Kombinationen von dreißig Büchern von fünfzehn herausfinden.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: fünfzehn !=155 117 520
Das war's. Mit dieser Formel war es in kürzester Zeit möglichein solches Problem zu lösen, lautet die Antwort 155 117 520.
Lösung des Beispiels. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit
Mit der obigen Formel finden Sie die Antwort auf ein einfaches Problem. Aber es wird helfen, den Ablauf der Aktionen visuell zu sehen und zu verfolgen.
In der Aufgabe ist angegeben, dass sich in der Urne zehn absolut identische Kugeln befinden. Davon sind vier gelb und sechs blau. Eine Kugel wird aus der Urne genommen. Du musst die Wahrscheinlichkeit herausfinden, blau zu werden.
Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, den blauen Ball als Ereignis A zu bezeichnen. Dieses Erlebnis kann zehn Ausgänge haben, die wiederum elementar und gleich wahrscheinlich sind. Gleichzeitig sind sechs von zehn günstig für Ereignis A. Wir lösen nach der Formel:
P(A)=6: 10=0, 6
Durch Anwendung dieser Formel haben wir herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeit, den blauen Ball zu bekommen, 0,6 beträgt.
Lösung des Beispiels. Wahrscheinlichkeit der Summe der Ereignisse
Nun wird eine Variante vorgestellt, die mit der Formel für die Wahrscheinlichkeit der Summe von Ereignissen gelöst wird. Unter der Bedingung, dass es zwei Kästchen gibt, enthält das erste eine graue und fünf weiße Kugeln und das zweite acht graue und vier weiße Kugeln. Als Ergebnis wurde einer von ihnen aus der ersten und zweiten Box genommen. Sie müssen herausfinden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Bälle, die Sie bekommen, grau und weiß sind.
Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie die Ereignisse kennzeichnen.
- Also, A - nimm einen grauen Ball aus dem ersten Kästchen: P(A)=1/6.
- A’ – nimm auch eine weiße Kugel aus dem ersten Kästchen: P(A')=5/6.
- B – die graue Kugel wurde bereits aus der zweiten Kiste genommen: P(B)=2/3.
- B’ – nimm einen grauen Ball aus dem zweiten Kästchen: P(B’)=1/3.
Je nach Zustand des Problems muss eines der Phänomene eintreten: AB' oder A'B. Mit der Formel erh alten wir: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Jetzt wurde die Wahrscheinlichkeitsmultiplikationsformel verwendet. Um die Antwort herauszufinden, müssen Sie als nächstes die Gleichung für ihre Addition anwenden:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
So können Sie mit der Formel ähnliche Probleme lösen.
Ergebnis
Der Artikel lieferte Informationen zum Thema "Wahrscheinlichkeitstheorie", bei der die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses eine entscheidende Rolle spielt. Natürlich wurde nicht alles berücksichtigt, aber anhand des vorgestellten Textes kann man sich theoretisch mit diesem Teilgebiet der Mathematik vertraut machen. Die betreffende Wissenschaft kann nicht nur in der beruflichen Arbeit, sondern auch im Alltag nützlich sein. Mit seiner Hilfe können Sie jede Möglichkeit jedes Ereignisses berechnen.
Der Text berührte auch wichtige Daten in der Entstehungsgeschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie als Wissenschaft und die Namen von Personen, deren Werke darin investiert waren. So führte die menschliche Neugier dazu, dass die Menschen lernten, auch zufällige Ereignisse zu berechnen. Früher hat es sie nur interessiert, aber heute weiß es schon jeder. Und niemand wird sagen, was uns in Zukunft erwartet, welche anderen brillanten Entdeckungen im Zusammenhang mit der betrachteten Theorie gemacht werden. Aber eines ist sicher - die Forschung steht nicht still!
