Die Untersuchung der Eigenschaften des gasförmigen Aggregatzustands der Materie ist eines der wichtigen Gebiete der modernen Physik. Betrachtet man Gase im mikroskopischen Maßstab, erhält man alle makroskopischen Parameter des Systems. Dieser Artikel wird ein wichtiges Thema der molekularkinetischen Theorie von Gasen enthüllen: Was ist die Maxwell-Verteilung von Molekülen in Bezug auf Geschwindigkeiten?
Historischer Hintergrund
Die Vorstellung von Gas als System mikroskopisch kleiner, sich bewegender Teilchen stammt aus dem antiken Griechenland. Es hat mehr als 1700 Jahre gedauert, bis die Wissenschaft es entwickelt hat.
Daniil Bernoulli ist der Begründer der modernen molekularkinetischen Gastheorie (MKT). 1738 veröffentlichte er ein Werk mit dem Titel „Hydrodynamik“. Darin skizzierte Bernoulli die Ideen der MKT, die bis heute verwendet werden. Der Wissenschaftler glaubte also, dass Gase aus Teilchen bestehen, die sich zufällig in alle Richtungen bewegen. Zahlreiche KollisionenPartikel mit Gefäßwänden werden als Druck in Gasen wahrgenommen. Teilchengeschwindigkeiten hängen eng mit der Temperatur des Systems zusammen. Die wissenschaftliche Gemeinschaft akzeptierte Bernoullis kühne Ideen nicht, weil das Energieerh altungsgesetz noch nicht aufgestellt war.
In der Folge waren viele Wissenschaftler damit beschäftigt, ein kinetisches Modell von Gasen zu erstellen. Unter ihnen ist Rudolf Clausius zu nennen, der 1857 ein einfaches Gasmodell erstellte. Dabei achtete der Wissenschaftler insbesondere auf das Vorhandensein von Translations-, Rotations- und Schwingungsfreiheitsgraden in Molekülen.
Im Jahr 1859 formulierte James Maxwell beim Studium der Arbeit von Clausius die sogenannte Maxwell-Verteilung über molekulare Geschwindigkeiten. Tatsächlich bestätigte Maxwell die Ideen des MKT, indem er sie mit einem mathematischen Apparat untermauerte. Anschließend verallgemeinerte Ludwig Boltzmann (1871) die Schlussfolgerungen der Maxwell-Verteilung. Er postulierte eine allgemeinere statistische Verteilung von Molekülen über Geschwindigkeiten und Energien. Sie ist derzeit als Maxwell-Boltzmann-Verteilung bekannt.
Ideales Gas. Grundpostulate des ILC
Um zu verstehen, was die Maxwell-Verteilungsfunktion ist, müssen Sie die Systeme verstehen, für die diese Funktion anwendbar ist. Wir sprechen von einem idealen Gas. In der Physik versteht man darunter einen flüssigen Stoff, der aus praktisch dimensionslosen Teilchen besteht, die keine potentielle Energie besitzen. Diese Teilchen bewegen sich mit hoher Geschwindigkeit, sodass ihr Verh alten vollständig von kinetischer Energie bestimmt wird. Außerdem sind die Abstände zwischen den Partikeln zu groß fürim Vergleich zu ihrer Größe, daher werden letztere vernachlässigt.
Ideale Gase sind im MKT beschrieben. Seine Hauptpostulate lauten wie folgt:
- Gassysteme bestehen aus einer großen Anzahl freier Teilchen;
- Partikel bewegen sich zufällig mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in verschiedene Richtungen entlang gerader Bahnen;
- Partikel kollidieren elastisch mit Gefäßwänden (die Wahrscheinlichkeit, dass Partikel miteinander kollidieren, ist aufgrund ihrer geringen Größe gering);
- Die Temperatur des Systems wird eindeutig durch die durchschnittliche kinetische Energie der Teilchen bestimmt, die über die Zeit erh alten bleibt, wenn sich im System ein thermodynamisches Gleichgewicht einstellt.
Maxwellsches Verteilungsgesetz
Wenn jemand ein Instrument hätte, mit dem es möglich wäre, die Geschwindigkeit eines einzelnen Gasmoleküls zu messen, dann wäre er nach Durchführung eines entsprechenden Experiments überrascht. Das Experiment würde zeigen, dass sich jedes Molekül eines gasförmigen Systems mit einer völlig willkürlichen Geschwindigkeit bewegt. In diesem Fall würden im Rahmen eines Systems im thermischen Gleichgewicht mit der Umgebung sowohl sehr langsame als auch sehr schnelle Moleküle detektiert.
Maxwells Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung von Gasmolekülen ist ein Werkzeug, mit dem Sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen können, Partikel mit einer bestimmten Geschwindigkeit v in dem untersuchten System zu entdecken. Die entsprechende Funktion sieht so aus:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
In diesem Ausdruck m -Partikel (Molekül) Masse, k - Boltzmann-Konstante, T - absolute Temperatur. Wenn also die chemische Natur der Teilchen (der Wert von m) bekannt ist, dann wird die Funktion f(v) eindeutig durch die absolute Temperatur bestimmt. Die Funktion f(v) heißt Wahrscheinlichkeitsdichte. Bilden wir daraus das Integral für eine Grenzgeschwindigkeit (v; v+dv), so erh alten wir die Anzahl der Teilchen Ni, die Geschwindigkeiten im angegebenen Intervall haben. Bildet man demnach das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte f(v) für die Geschwindigkeitsgrenzen von 0 bis ∞, so erhält man die Gesamtzahl der Moleküle N im System.
Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte f(v)
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion hat eine ziemlich komplexe mathematische Form, daher ist es nicht einfach, ihr Verh alten bei einer bestimmten Temperatur darzustellen. Dieses Problem kann gelöst werden, wenn Sie es in einem zweidimensionalen Diagramm darstellen. Eine schematische Ansicht des Maxwell-Verteilungsdiagramms ist unten in der Abbildung dargestellt.
Wir sehen, dass es bei Null beginnt, da die Geschwindigkeit v von Molekülen keine negativen Werte annehmen kann. Der Graph endet irgendwo im Bereich hoher Geschwindigkeiten und fällt sanft auf Null (f(∞)->0). Auffällig ist auch folgendes Merkmal: Die glatte Kurve ist asymmetrisch, sie fällt bei kleinen Geschwindigkeiten stärker ab.
Ein wichtiges Merkmal des Verh altens der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(v) ist das Vorhandensein eines ausgeprägten Maximums darauf. Dieses Maximum entspricht nach der physikalischen Bedeutung der Funktion dem wahrscheinlichsten Wert der Geschwindigkeiten von Molekülen im Gassystem.
Wichtige Geschwindigkeiten für die Funktion f(v)
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(v) und ihre grafische Darstellung erlauben es uns, drei wichtige Geschwindigkeitstypen zu definieren.
Die erste Art von Geschwindigkeit, die offensichtlich ist und oben erwähnt wurde, ist die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v1. In der Grafik entspricht ihr Wert dem Maximum der Funktion f(v). Es sind diese Geschwindigkeit und Werte in der Nähe, die die meisten Partikel des Systems haben werden. Es ist nicht schwer, es zu berechnen, dazu reicht es, die erste Ableitung nach der Geschwindigkeit der Funktion f(v) zu nehmen und sie mit Null gleichzusetzen. Als Ergebnis dieser mathematischen Operationen erh alten wir das Endergebnis:
v1=√(2RT/M).
Hier ist R die universelle Gaskonstante, M die Molmasse von Molekülen.
Die zweite Art von Geschwindigkeit ist ihr Durchschnittswert für alle N Teilchen. Nennen wir es v2. Sie kann durch Integration der Funktion vf(v) über alle Geschwindigkeiten berechnet werden. Das Ergebnis der notierten Integration ist die folgende Formel:
v2=√(8RT/(piM)).
Weil das Verhältnis 8/pi>2 ist, ist die Durchschnittsgeschwindigkeit immer etwas höher als die wahrscheinlichste.
Jeder, der sich ein wenig mit Physik auskennt, versteht, dass die mittlere Geschwindigkeit v2 von Molekülen in einem Gassystem von großer Bedeutung sein muss. Dies ist jedoch eine irrige Annahme. Viel wichtiger ist die RMS-Geschwindigkeit. Lassen Sie es uns bezeichnenv3.
Gemäß Definition ist die quadratische Mittelgeschwindigkeit die Summe der Quadrate der Einzelgeschwindigkeiten aller Teilchen, dividiert durch die Anzahl dieser Teilchen und als Quadratwurzel gezogen. Sie lässt sich für die Maxwell-Verteilung berechnen, wenn man das Integral über alle Geschwindigkeiten der Funktion v2f(v) definiert. Die Formel für die durchschnittliche quadratische Geschwindigkeit hat die Form:
v3=√(3RT/M).
Gleichheit zeigt, dass diese Geschwindigkeit für jedes Gassystem größer ist als v2 und v1.
Daher liegen alle betrachteten Geschwindigkeitstypen auf dem Maxwell-Verteilungsgraphen entweder auf dem Extremum oder rechts davon.
Bedeutung von v3
Oben wurde angemerkt, dass die mittlere Quadratgeschwindigkeit für das Verständnis der physikalischen Vorgänge und Eigenschaften eines Gassystems wichtiger ist als die einfache mittlere Geschwindigkeit v2. Dies ist richtig, da die kinetische Energie eines idealen Gases genau von v3 abhängt und nicht von v2.
Betrachten wir ein einatomiges ideales Gas, so gilt dafür folgender Ausdruck:
mv32/2=3/2kT.
Hier repräsentiert jeder Teil der Gleichung die kinetische Energie eines Teilchens der Masse m. Warum enthält der Ausdruck genau den Wert v3 und nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit v2? Ganz einfach: Bei der Bestimmung der kinetischen Energie jedes Teilchens wird seine Einzelgeschwindigkeit v quadriert, dann alle Geschwindigkeitenaddiert und durch die Anzahl der Teilchen N dividiert. Das heißt, das Verfahren zur Bestimmung der kinetischen Energie selbst führt zum Wert der mittleren quadratischen Geschwindigkeit.
Abhängigkeit der Funktion f(v) von der Temperatur
Wir haben oben festgestellt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte molekularer Geschwindigkeiten eindeutig von der Temperatur abhängt. Wie ändert sich die Funktion, wenn T erhöht oder verringert wird? Die folgende Tabelle hilft bei der Beantwortung dieser Frage.
Es ist zu erkennen, dass die Erwärmung des geschlossenen Systems zu einer Verschmierung des Peaks und dessen Verschiebung zu höheren Drehzahlen führt. Eine Erhöhung der Temperatur führt zu einer Erhöhung aller Arten von Geschwindigkeiten und zu einer Verringerung der Wahrscheinlichkeitsdichte jeder von ihnen. Der Spitzenwert nimmt aufgrund der Erh altung der Teilchenzahl N in einem geschlossenen System ab.
Als nächstes werden wir ein paar Probleme lösen, um das erh altene theoretische Material zu festigen.
Problem mit Stickstoffmolekülen in der Luft
Zu berechnen sind die Geschwindigkeiten v1, v2 und v3 für Luftstickstoff bei einer Temperatur von 300 K (ca. 27 oC).
Die Molmasse von Stickstoff N2 beträgt 28 g/mol. Unter Verwendung der obigen Formeln erh alten wir:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Sauerstofftankproblem
Der Sauerstoff in der Flasche hatte eine bestimmte Temperatur T1. Dann wurde der Ballon in einen kälteren Raum gestellt. Wie ändert sich die Darstellung der Maxwell-Geschwindigkeitsverteilung für Sauerstoffmoleküle, wenn das System ins thermodynamische Gleichgewicht kommt?
Wenn wir uns an die Theorie erinnern, können wir die Frage des Problems folgendermaßen beantworten: Die Werte aller Arten von Geschwindigkeiten von Molekülen werden abnehmen, die Spitze der Funktion f(v) wird sich nach links verschieben, schmaler und höher werden.
