Pyramide ist ein räumliches Polyeder oder Polyeder, das bei geometrischen Problemen vorkommt. Die Haupteigenschaften dieser Figur sind ihr Volumen und ihre Oberfläche, die aus der Kenntnis von zwei beliebigen ihrer linearen Eigenschaften berechnet werden. Eines dieser Merkmale ist das Apothem der Pyramide. Es wird im Artikel besprochen.
Pyramidenform
Bevor wir die Definition des Apothems der Pyramide geben, wollen wir uns mit der Figur selbst vertraut machen. Die Pyramide ist ein Polyeder, das aus einer n-eckigen Grundfläche und n Dreiecken besteht, die die Seitenfläche der Figur bilden.
Jede Pyramide hat einen Scheitelpunkt - den Verbindungspunkt aller Dreiecke. Die von diesem Scheitelpunkt zur Basis gezogene Senkrechte heißt Höhe. Wenn die Höhe die Basis im geometrischen Mittelpunkt schneidet, wird die Figur als gerade Linie bezeichnet. Eine gerade Pyramide mit gleichseitiger Grundfläche wird als regelmäßige Pyramide bezeichnet. Die Abbildung zeigt eine Pyramide mit sechseckiger Grundfläche, die von der Seite auf Stirn und Kante betrachtet wird.
Apothem der rechten Pyramide
Sie wird auch Apotema genannt. Es wird als eine Senkrechte verstanden, die von der Spitze der Pyramide zur Seite der Basis der Figur gezogen wird. Diese Senkrechte entspricht definitionsgemäß der Höhe des Dreiecks, das die Seitenfläche der Pyramide bildet.
Da wir eine regelmäßige Pyramide mit n-eckiger Grundfläche betrachten, werden alle n Apotheme dafür gleich sein, da dies die gleichschenkligen Dreiecke der Seitenfläche der Figur sind. Beachten Sie, dass identische Apotheme eine Eigenschaft einer regulären Pyramide sind. Bei einer Figur allgemeinen Typs (schräg mit unregelmäßigem n-Eck) sind alle n Apotheme unterschiedlich.
Eine weitere Eigenschaft eines regulären Pyramidenapothems ist, dass es gleichzeitig Höhe, Mittellinie und Winkelhalbierende des entsprechenden Dreiecks ist. Das bedeutet, dass sie es in zwei identische rechtwinklige Dreiecke teilt.
Dreieckige Pyramide und Formeln zur Bestimmung ihres Apothems
In jeder regelmäßigen Pyramide sind die wichtigen linearen Merkmale die Seitenlänge ihrer Basis, die Seitenkante b, die Höhe h und das Apothem hb. Diese Größen werden durch die entsprechenden Formeln zueinander in Beziehung gesetzt, die man erhält, indem man eine Pyramide zeichnet und die notwendigen rechtwinkligen Dreiecke berücksichtigt.
Eine regelmäßige dreieckige Pyramide besteht aus 4 dreieckigen Flächen, von denen eine (die Basis) gleichseitig sein muss. Der Rest ist im allgemeinen Fall gleichschenklig. ApothemaDreieckspyramide kann in anderen Größen mit folgenden Formeln bestimmt werden:
hb=√(b2- a2/4);
hb=√(a2/12 + h2)
Der erste dieser Ausdrücke gilt für eine Pyramide mit jeder richtigen Basis. Der zweite Ausdruck ist nur für eine dreieckige Pyramide charakteristisch. Es zeigt, dass der Apothem immer größer ist als die Höhe der Figur.
Verwechsle den Apothem einer Pyramide nicht mit dem eines Polyeders. Im letzteren Fall ist das Apothem ein senkrechtes Segment, das von seiner Mitte zur Seite des Polyeders gezogen wird. Zum Beispiel ist das Apothem eines gleichseitigen Dreiecks √3/6a.
Apothem-Aufgabe
Gegeben sei eine regelmäßige Pyramide mit einem Dreieck an der Basis. Es ist notwendig, seinen Apothem zu berechnen, wenn bekannt ist, dass die Fläche dieses Dreiecks 34 cm2 beträgt und die Pyramide selbst aus 4 identischen Flächen besteht.
Der Problemstellung entsprechend haben wir es mit einem Tetraeder aus gleichseitigen Dreiecken zu tun. Die Formel für die Fläche eines Gesichts lautet:
S=√3/4a2
Woher wir die Länge der Seite a bekommen:
a=2√(S/√3)
Zur Bestimmung des Apothems hbverwenden wir die Formel mit der Seitenkante b. Im betrachteten Fall ist seine Länge gleich der Länge der Basis, wir haben:
hb=√(b2- a2/4)=√3/2 a
Ersetzen des Wertes von a durch S,wir erh alten die endgültige Formel:
hb=√3/22√(S/√3)=√(S√3)
Wir haben eine einfache Formel, in der das Apothem einer Pyramide nur von der Fläche ihrer Basis abhängt. Wenn wir den Wert S aus der Bedingung des Problems ersetzen, erh alten wir die Antwort: hb≈ 7, 674 cm.
