In der Geometrie werden zwei wichtige Eigenschaften verwendet, um Figuren zu studieren: die Längen der Seiten und die Winkel zwischen ihnen. Bei räumlichen Figuren kommen zu diesen Merkmalen Flächenwinkel hinzu. Lassen Sie uns überlegen, was es ist, und beschreiben Sie auch die Methode zur Bestimmung dieser Winkel am Beispiel einer Pyramide.
Das Konzept des V-Winkels
Jeder weiß, dass zwei sich schneidende Geraden an ihrem Schnittpunkt einen Winkel mit dem Scheitelpunkt bilden. Dieser Winkel kann mit einem Winkelmesser gemessen oder mit trigonometrischen Funktionen berechnet werden. Der Winkel, den zwei rechte Winkel bilden, heißt linear.
Stellen Sie sich nun vor, dass es im dreidimensionalen Raum zwei Ebenen gibt, die sich in einer geraden Linie schneiden. Sie sind im Bild zu sehen.
Ein Flächenwinkel ist der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen. Genau wie linear wird es in Grad oder Bogenmaß gemessen. Wenn an irgendeinem Punkt der Linie, entlang der sich die Ebenen schneiden, zwei Senkrechte wiederhergestellt werden,in diesen Ebenen liegen, dann ist der Winkel zwischen ihnen die gewünschte Dieder. Der einfachste Weg, diesen Winkel zu bestimmen, ist die Verwendung der allgemeinen Ebenengleichungen.
Die Gleichung der Ebenen und die Formel für den Winkel zwischen ihnen
Die Gleichung jeder Ebene im Raum wird allgemein wie folgt geschrieben:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Hier sind x, y, z die Koordinaten von Punkten, die zur Ebene gehören, die Koeffizienten A, B, C, D sind einige bekannte Zahlen. Der Vorteil dieser Gleichung zur Berechnung von Flächenwinkeln besteht darin, dass sie explizit die Koordinaten des Richtungsvektors der Ebene enthält. Wir bezeichnen es mit n¯. Dann:
n¯=(A; B; C).
Der Vektor n¯ steht senkrecht auf der Ebene. Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren n1¯ und n2¯. Aus der Mathematik ist bekannt, dass der Winkel, den zwei Vektoren bilden, eindeutig aus ihrem Skalarprodukt bestimmt ist. Damit können Sie eine Formel zur Berechnung des Flächenwinkels zwischen zwei Ebenen schreiben:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Wenn wir die Koordinaten der Vektoren ersetzen, wird die Formel explizit geschrieben:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12) × √(A22+B22 + C22))).
Mit dem Modulozeichen im Zähler wird nur ein spitzer Winkel definiert, da ein Flächenwinkel immer kleiner oder gleich 90° isto.
Pyramide und ihre Ecken
Pyramide ist eine Figur, die aus einem n-Eck und n Dreiecken besteht. Hier ist n eine ganze Zahl gleich der Anzahl der Seiten des Polygons, das die Basis der Pyramide bildet. Diese Raumfigur ist ein Polyeder oder Polyeder, da sie aus ebenen Flächen (Seiten) besteht.
Die Diederwinkel eines Pyramidenpolyeders können von zwei Arten sein:
- zwischen Basis und Seite (Dreieck);
- zwischen zwei Seiten.
Wenn die Pyramide als regelmäßig angesehen wird, dann ist es einfach, die benannten Winkel dafür zu bestimmen. Um dies zu tun, sollte man unter Verwendung der Koordinaten von drei bekannten Punkten eine Ebenengleichung aufstellen und dann die im obigen Absatz angegebene Formel für den Winkel φ verwenden.
Im Folgenden geben wir ein Beispiel, in dem wir zeigen, wie man Diederwinkel an der Basis einer viereckigen regelmäßigen Pyramide findet.
Eine viereckige regelmäßige Pyramide und ein Winkel an ihrer Basis
Geben Sie eine regelmäßige Pyramide mit quadratischer Grundfläche an. Die Seitenlänge des Quadrats ist a, die Höhe der Figur ist h. Finde den Winkel zwischen der Basis der Pyramide und ihrer Seite.
Lass uns den Ursprung des Koordinatensystems in die Mitte des Quadrats legen. Dann die Koordinaten der PunkteA, B, C, D, die im Bild gezeigt werden, sind:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Betrachten Sie die Flugzeuge ACB und ADB. Offensichtlich ist der Richtungsvektor n1¯ für die ACB-Ebene:
1¯=(0; 0; 1).
Um den Richtungsvektor n2¯ der ADB-Ebene zu bestimmen, gehen Sie wie folgt vor: Finden Sie zwei beliebige zugehörige Vektoren, zum Beispiel AD¯ und AB¯, berechnen Sie dann ihre Vektorarbeit. Sein Ergebnis ergibt die Koordinaten n2¯. Wir haben:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Da die Multiplikation und Division eines Vektors mit einer Zahl seine Richtung nicht ändert, transformieren wir das Ergebnis n2¯, indem wir seine Koordinaten durch -a dividieren, erh alten wir:
2¯=(h; 0; a/2).
Wir haben Vektorführungen n1¯ und n2¯ für die ACB-Basis- und ADB-Seitenebenen definiert. Es bleibt die Formel für den Winkel φ zu verwenden:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Transformiere den resultierenden Ausdruck und schreibe ihn so um:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Wir haben die Formel für den Flächenwinkel an der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide erh alten. Wenn Sie die Höhe der Figur und die Länge ihrer Seite kennen, können Sie den Winkel φ berechnen. Zum Beispiel für die Cheops-Pyramide, deren Basisseite 230,4 Meter lang ist und deren Anfangshöhe 146,5 Meter betrug, beträgt der Winkel φ 51,8o.
Auch bei einer viereckigen regelmäßigen Pyramide ist es möglich, den Flächenwinkel mit der geometrischen Methode zu bestimmen. Dazu genügt es, sich ein rechtwinkliges Dreieck aus der Höhe h, der halben Länge der Grundlinie a/2 und dem Apothem eines gleichschenkligen Dreiecks zu betrachten.
