Das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide. Formel und Beispiele für Aufgaben

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Wenn man irgendeine räumliche Figur untersucht, ist es wichtig zu wissen, wie man ihr Volumen berechnet. Dieser Artikel enthält eine Formel für das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide und zeigt anhand eines Beispiels zur Lösung von Problemen, wie diese Formel verwendet werden sollte.

Von welcher Pyramide reden wir?

Jeder Gymnasiast weiß, dass eine Pyramide ein Polyeder ist, das aus Dreiecken und einem Vieleck besteht. Letzteres ist die Basis der Figur. Dreiecke haben eine gemeinsame Seite mit der Basis und schneiden sich an einem einzigen Punkt, der die Spitze der Pyramide ist.

Jede Pyramide ist durch die Seitenlänge der Grundfläche, die Seitenkantenlänge und die Höhe gekennzeichnet. Letzteres ist ein senkrechtes Segment, das von der Oberseite der Figur zur Basis abgesenkt ist.

Eine regelmäßige viereckige Pyramide ist eine Figur mit quadratischer Grundfläche, deren Höhe dieses Quadrat in seiner Mitte schneidet. Das vielleicht berühmteste Beispiel für diese Art von Pyramiden sind die altägyptischen Steinstrukturen. Unten ist ein FotoPyramiden von Cheops.

Die untersuchte Figur hat fünf Gesichter, von denen vier identische gleichschenklige Dreiecke sind. Es ist auch durch fünf Ecken gekennzeichnet, von denen vier zur Basis gehören, und acht Kanten (4 Kanten der Basis und 4 Kanten der Seitenflächen).

Die Formel für das Volumen einer viereckigen Pyramide ist richtig

Das Volumen der betreffenden Figur ist ein Teil des Raumes, der von fünf Seiten begrenzt wird. Um dieses Volumen zu berechnen, verwenden wir die folgende Abhängigkeit der Fläche einer Schicht parallel zur Basis der Pyramide S_z von der vertikalen Koordinate z:

S_z=S_o (h - z/h)²

Hier ist S_o die Fläche der quadratischen Grundfläche. Wenn wir z=h in den geschriebenen Ausdruck einsetzen, erh alten wir einen Nullwert für S_z. Dieser Wert von z entspricht einem Schnitt, der nur die Spitze der Pyramide enthält. Ist z=0, so erh alten wir den Wert der Grundfläche S_o.

Das Volumen einer Pyramide lässt sich leicht ermitteln, wenn man die Funktion S_z(z) kennt, dazu genügt es, die Figur in unendlich viele zu zerlegen Schichten parallel zur Basis, und führen Sie dann die Integrationsoperation durch. Wenn ich dieser Technik folge, erh alten wir:

V=∫₀^h(S_z)dz=-S ₀(h-z)³ / (3h²)|₀ ^h=1/3S₀h.

Weil S₀ istdie Fläche der quadratischen Basis, dann erh alten wir, wenn wir die Seite des Quadrats mit dem Buchstaben a bezeichnen, die Formel für das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide:

V=1/3a²h.

Lassen Sie uns nun anhand von Beispielen zur Problemlösung zeigen, wie dieser Ausdruck angewendet werden sollte.

Das Problem, das Volumen einer Pyramide durch ihren Apothem und ihre Seitenkante zu bestimmen

Der Apothem einer Pyramide ist die Höhe ihres seitlichen Dreiecks, das zur Seite der Basis abgesenkt ist. Da alle Dreiecke in einer regelmäßigen Pyramide gleich sind, sind auch ihre Apotheme gleich. Bezeichnen wir seine Länge mit dem Symbol h_b. Bezeichne die Seitenkante als b.

Mit dem Wissen, dass das Apothem der Pyramide 12 cm und ihre Seitenkante 15 cm beträgt, finden Sie das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide.

Die im vorigen Absatz geschriebene Formel für das Volumen der Figur enthält zwei Parameter: Seitenlänge a und Höhe h. Im Moment kennen wir keinen von ihnen, also schauen wir uns ihre Berechnungen an.

Die Seitenlänge eines Quadrats a lässt sich leicht berechnen, wenn man den Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck anwendet, in dem die Hypotenuse die Kante b und die Schenkel der Apothem h sind _b und die Hälfte der Seite der Basis a/2. Wir erh alten:

b²=h_b²+ a² /4=>

a=2√(b²- h_b²).

Durch Einsetzen der bekannten Werte aus der Bedingung erh alten wir den Wert a=18 cm.

Um die Höhe h der Pyramide zu berechnen, kannst du zwei Dinge tun: Betrachte ein Rechteckein Dreieck mit einer Hypotenuse-Seitenkante oder mit einem Hypotenuse-Apothem. Beide Methoden sind gleich und beinh alten die Durchführung der gleichen Anzahl mathematischer Operationen. Bleiben wir bei der Betrachtung eines Dreiecks, dessen Hypotenuse das Apothem h_b ist. Die Beine darin werden h und a / 2 sein. Dann erh alten wir:

h=√(h_b2^-a2^/4)=√(12 2^{- 18}2^{/4)=7, 937 cm.}

Nun kannst du die Formel für das Volumen V verwenden:

V=1/3a²h=1/318²7, 937=857, 196 cm ³.

Daher beträgt das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ungefähr 0,86 Liter.

Das Volumen der Cheopspyramide

Jetzt lösen wir ein interessantes und praktisch wichtiges Problem: Finden Sie das Volumen der größten Pyramide in Gizeh. Aus der Literatur ist bekannt, dass die ursprüngliche Höhe des Gebäudes 146,5 Meter und die Länge seiner Basis 230,363 Meter betrug. Diese Zahlen ermöglichen es uns, die Formel zur Berechnung von V anzuwenden. Wir erh alten:

V=1/3a²h=1/3230, 363²146, 5 ≈ 2591444 m ³.

Ergibt einen Wert von knapp 2,6 Mio. m³. Dieses Volumen entspricht dem Volumen eines Würfels mit einer Seitenlänge von 137,4 Metern.