Sechskantprisma und seine wichtigsten Eigenschaften

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

Raumgeometrie ist die Lehre von Prismen. Ihre wichtigen Eigenschaften sind das darin enth altene Volumen, die Oberfläche und die Anzahl der Bestandteile. In dem Artikel werden wir all diese Eigenschaften für ein hexagonales Prisma betrachten.

Von welchem Prisma reden wir?

Ein sechseckiges Prisma ist eine Figur, die aus zwei Polygonen mit sechs Seiten und sechs Winkeln und sechs Parallelogrammen besteht, die die markierten Sechsecke zu einer einzigen geometrischen Formation verbinden.

Die Abbildung zeigt ein Beispiel dieses Prismas.

Das rot markierte Sechseck wird Basis der Figur genannt. Offensichtlich ist die Anzahl seiner Basen gleich zwei, und beide sind identisch. Die gelb-grünlichen Flächen eines Prismas werden seine Seiten genannt. In der Abbildung sind sie durch Quadrate dargestellt, aber im Allgemeinen sind sie Parallelogramme.

Das sechseckige Prisma kann geneigt und gerade sein. Im ersten Fall sind die Winkel zwischen der Basis und den Seiten nicht gerade, im zweiten sind sie gleich 90o. Auch dieses Prisma kann richtig und falsch sein. Regelmäßig sechseckigDas Prisma muss gerade sein und an der Basis ein regelmäßiges Sechseck haben. Das obige Prisma in der Abbildung erfüllt diese Anforderungen, daher wird es als korrekt bezeichnet. Weiter in diesem Artikel werden wir nur seine Eigenschaften als allgemeinen Fall untersuchen.

Elemente

Die Hauptelemente jedes Prismas sind Kanten, Flächen und Ecken. Das sechseckige Prisma ist keine Ausnahme. Die obige Abbildung ermöglicht es Ihnen, die Anzahl dieser Elemente zu zählen. Wir erh alten also 8 Flächen oder Seiten (zwei Basen und sechs seitliche Parallelogramme), die Anzahl der Eckpunkte beträgt 12 (6 Eckpunkte für jede Basis), die Anzahl der Kanten eines sechseckigen Prismas beträgt 18 (sechs seitliche und 12 für die Basen).

Leonhard Euler (ein Schweizer Mathematiker) stellte in den 1750er Jahren für alle Polyeder, die ein Prisma enth alten, eine mathematische Beziehung zwischen den Zahlen der angegebenen Elemente auf. Diese Beziehung sieht so aus:

Anzahl Kanten=Anzahl Flächen + Anzahl Ecken - 2.

Die obigen Zahlen erfüllen diese Formel.

Prismendiagonalen

Alle Diagonalen eines hexagonalen Prismas lassen sich in zwei Typen einteilen:

• die in den Ebenen seiner Gesichter liegen;
• diejenigen, die zum gesamten Volumen der Abbildung gehören.

Das Bild unten zeigt all diese Diagonalen.

Es ist ersichtlich, dass D₁ die Seitendiagonale ist, D₂ und D₃ sind die Diagonalen das gesamte Prisma, D₄ und D_{5 - die Diagonalen der Basis.}

Die Längen der Diagonalen der Seiten sind einander gleich. Sie lassen sich leicht mit dem bekannten Satz des Pythagoras berechnen. Sei a die Länge der Seite des Sechsecks, b die Länge der Seitenkante. Dann hat die Diagonale die Länge:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonale D₄ lässt sich ebenfalls leicht bestimmen. Wenn wir uns daran erinnern, dass ein regelmäßiges Sechseck in einen Kreis mit Radius a passt, dann ist D_{4 der Durchmesser dieses Kreises, d. h. wir erh alten die folgende Formel:}

D_4=2a.

Diagonal D₅ Basen sind etwas schwerer zu finden. Betrachten Sie dazu ein gleichseitiges Dreieck ABC (siehe Abb.). Für ihn ist AB=BC=a der Winkel ABC 120^{o. Wenn wir die Höhe von diesem Winkel aus verringern (es wird auch die Winkelhalbierende und der Median sein), dann ist die Hälfte der AC-Basis gleich:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Die AC-Seite ist die Diagonale von D_{5, also erh alten wir:}

D_5=AC=√3a.

Nun müssen wir noch die Diagonalen D₂ und D_{3 eines regelmäßigen sechseckigen Prismas finden. Dazu müssen Sie sehen, dass sie die Hypotenusen der entsprechenden rechtwinkligen Dreiecke sind. Mit dem Satz des Pythagoras erh alten wir:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Daher ist die größte Diagonale für beliebige Werte von a und bD_2.

Oberfläche

Um zu verstehen, worum es geht, ist es am einfachsten, die Entwicklung dieses Prismas zu betrachten. Es ist auf dem Bild zu sehen.

Es ist ersichtlich, dass zur Bestimmung der Fläche aller Seiten der betrachteten Figur die Fläche des Vierecks und die Fläche des Sechsecks separat berechnet und dann multipliziert werden müssen durch die entsprechenden ganzen Zahlen, die gleich der Anzahl jedes n-Ecks im Prisma sind, und addiere die Ergebnisse. Sechsecke 2, Rechtecke 6.

Für die Fläche eines Rechtecks erh alten wir:

S_1=ab.

Dann ist die Seitenfläche:

S_2=6ab.

Um die Fläche eines Sechsecks zu bestimmen, verwenden Sie am einfachsten die entsprechende Formel, die so aussieht:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Indem wir die Zahl n gleich 6 in diesen Ausdruck einsetzen, erh alten wir die Fläche eines Sechsecks:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Dieser Ausdruck sollte mit zwei multipliziert werden, um die Fläche der Grundflächen des Prismas zu erh alten:

S_os=3√3a^2.

Es bleibt noch, S_os und S_{2 zu addieren, um die Gesamtoberfläche der Figur zu erh alten:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Prismenlautstärke

Nach der Formel fürFläche einer sechseckigen Grundfläche ist die Berechnung des im betreffenden Prisma enth altenen Volumens so einfach wie das Schälen von Birnen. Dazu müssen Sie nur die Fläche der Knochenbasis (Sechseck) mit der Höhe der Figur multiplizieren, deren Länge gleich der Länge der Seitenkante ist. Wir erh alten die Formel:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Beachte, dass das Produkt aus Basis und Höhe den Wert des Volumens von absolut jedem Prisma angibt, einschließlich des schiefen Prismas. Im letzteren Fall ist jedoch die Berechnung der Höhe kompliziert, da sie nicht mehr gleich der Länge der Seitenrippe ist. Wie bei einem regulären sechseckigen Prisma ist der Wert seines Volumens eine Funktion von zwei Variablen: Seiten a und b.