Im Leben sind wir oft mit der Notwendigkeit konfrontiert, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses einzuschätzen. Ob es sich lohnt, einen Lottoschein zu kaufen oder nicht, welches Geschlecht das dritte Kind in der Familie haben wird, ob das Wetter morgen klar ist oder es wieder regnet – es gibt unzählige solcher Beispiele. Im einfachsten Fall sollten Sie die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl der Ereignisse teilen. Wenn es 10 Gewinnlose in der Lotterie gibt und es insgesamt 50 gibt, dann sind die Gewinnchancen 10/50=0,2, also 20 zu 100. Aber was ist, wenn es mehrere Ereignisse gibt und sie eng beieinander liegen? verbunden? In diesem Fall interessiert uns nicht mehr die einfache, sondern die bedingte Wahrscheinlichkeit. Was dieser Wert ist und wie er berechnet werden kann, wird in unserem Artikel besprochen.
Konzept
Bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt, vorausgesetzt, dass ein anderes verwandtes Ereignis bereits stattgefunden hat. Betrachten Sie ein einfaches Beispiel miteine Münze werfen. Wenn es noch kein Unentschieden gegeben hat, sind die Chancen auf Kopf oder Zahl gleich. Aber wenn fünfmal hintereinander die Münze mit dem Wappen nach oben lag, dann wäre es unlogisch, die 6., 7. und noch mehr die 10. Wiederholung eines solchen Ergebnisses zu erwarten. Mit jeder wiederholten Überschrift wächst die Wahrscheinlichkeit, dass Schwänze erscheinen und früher oder später herausfallen.
Bedingte Wahrscheinlichkeitsformel
Lassen Sie uns nun herausfinden, wie dieser Wert berechnet wird. Bezeichnen wir das erste Ereignis mit B und das zweite mit A. Wenn die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von B von Null verschieden ist, dann gilt die folgende Gleichung:
P (A|B)=P (AB) / P (B), wobei:
- P (A|B) – bedingte Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses A;
- P (AB) - die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B;
- P (B) – Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B.
Wenn wir dieses Verhältnis leicht transformieren, erh alten wir P (AB)=P (A|B)P (B). Und wenn wir die Induktionsmethode anwenden, dann können wir die Produktformel herleiten und für beliebig viele Ereignisse verwenden:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Übung
Um verständlicher zu machen, wie die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet wird, schauen wir uns ein paar Beispiele an. Angenommen, es gibt eine Vase mit 8 Pralinen und 7 Pfefferminzbonbons. Sie sind gleich groß und zufällig.zwei davon werden nacheinander herausgezogen. Wie stehen die Chancen, dass beide Schokolade sind? Wir führen die Notation ein. Lassen Sie das Ergebnis A bedeuten, dass die erste Süßigkeit Schokolade ist, das Ergebnis B ist die zweite Süßigkeit. Dann erh alten Sie Folgendes:
P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Lassen Sie uns einen weiteren Fall betrachten. Angenommen, es gibt eine Familie mit zwei Kindern und wir wissen, dass mindestens ein Kind ein Mädchen ist.
Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass diese Eltern noch keine Jungen haben? Wie im vorherigen Fall beginnen wir mit der Notation. Sei P(B) die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Mädchen in der Familie ist, P(A|B) die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind auch ein Mädchen ist, P(AB) die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Mädchen in der Familie sind die Familie. Jetzt machen wir die Berechnungen. Insgesamt kann es 4 verschiedene Kombinationen des Geschlechts von Kindern geben, und in diesem Fall gibt es nur in einem Fall (wenn es zwei Jungen in der Familie gibt) kein Mädchen unter den Kindern. Daher ist die Wahrscheinlichkeit P (B)=3/4 und P (AB)=1/4. Dann erh alten wir nach unserer Formel:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Das Ergebnis lässt sich wie folgt interpretieren: Wenn wir das Geschlecht eines der Kinder nicht kennen würden, dann stünden die Chancen auf zwei Mädchen bei 25 zu 100. Da wir aber wissen, dass ein Kind ein Mädchen ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie der Jungen nein, steigt auf ein Drittel.
