Differenzialrechnungsfunktionen einer und mehrerer Variablen

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

Die Infinitesimalrechnung ist ein Zweig der Infinitesimalrechnung, der Ableitungen, Differentiale und deren Verwendung beim Studium einer Funktion untersucht.

Erscheinungsgeschichte

Differentialrechnung entwickelte sich in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts zu einer eigenständigen Disziplin, dank der Arbeiten von Newton und Leibniz, die die grundlegenden Bestimmungen in der Differentialrechnung formulierten und den Zusammenhang zwischen Integration und Differentiation bemerkten. Seit diesem Moment hat sich die Disziplin zusammen mit der Integralrechnung entwickelt und bildet so die Grundlage der mathematischen Analyse. Das Erscheinen dieser Kalküle eröffnete eine neue moderne Periode in der mathematischen Welt und verursachte die Entstehung neuer Wissenschaftsdisziplinen. Es erweiterte auch die Anwendungsmöglichkeiten mathematischer Wissenschaften in Naturwissenschaft und Technik.

Grundlegende Konzepte

Differentialrechnung basiert auf den grundlegenden Konzepten der Mathematik. Sie sind: reelle Zahl, Stetigkeit, Funktion und Grenzwert. Dank der Integral- und Differentialrechnung erhielten sie mit der Zeit ein modernes Aussehen.

Erstellungsprozess

Die Bildung der Differentialrechnung in Form einer angewandten und dann einer wissenschaftlichen Methode erfolgte vor der Entstehung einer philosophischen Theorie, die von Nikolaus von Kues geschaffen wurde. Seine Werke gelten als evolutionäre Weiterentwicklung der Urteile der antiken Wissenschaft. Obwohl der Philosoph selbst kein Mathematiker war, ist sein Beitrag zur Entwicklung der mathematischen Wissenschaft unbestreitbar. Kuzansky war einer der ersten, der sich davon entfernte, die Arithmetik als das genaueste Wissenschaftsgebiet zu betrachten, und die damalige Mathematik in Zweifel zog.

Alte Mathematiker verwendeten die Einheit als universelles Kriterium, während der Philosoph die Unendlichkeit als neues Maß anstelle der exakten Zahl vorschlug. Insofern wird die Darstellung von Präzision in der mathematischen Wissenschaft umgekehrt. Wissenschaftliches Wissen ist seiner Meinung nach in rationales und intellektuelles Wissen unterteilt. Der zweite ist laut dem Wissenschaftler genauer, da der erste nur ein ungefähres Ergebnis liefert.

Fichtengolts Kurs zur Differential- und Integralrechnung

Idee

Die Hauptidee und das Konzept der Differentialrechnung beziehen sich auf eine Funktion in kleinen Nachbarschaften bestimmter Punkte. Dazu ist es notwendig, einen mathematischen Apparat zur Untersuchung einer Funktion zu schaffen, deren Verh alten in einer kleinen Nachbarschaft der festgelegten Punkte dem Verh alten eines Polynoms oder einer linearen Funktion nahe kommt. Dies basiert auf der Definition einer Ableitung und eines Differentials.

Das Aufkommen des Begriffs Ableitung wurde durch eine Vielzahl von Problemen aus den Naturwissenschaften und der Mathematik verursacht,was dazu führte, die Werte von Grenzwerten des gleichen Typs zu finden.

Eine der Hauptaufgaben, die ab dem Gymnasium als Beispiel genannt werden, besteht darin, die Geschwindigkeit eines Punktes zu bestimmen, der sich entlang einer geraden Linie bewegt, und eine Tangente an diese Kurve zu konstruieren. Das Differential hängt damit zusammen, da es möglich ist, die Funktion in einer kleinen Umgebung des betrachteten Punktes der linearen Funktion zu approximieren.

Im Vergleich zum Begriff der Ableitung einer Funktion einer reellen Variablen geht die Definition von Differentialen einfach auf eine Funktion allgemeiner Art über, insbesondere auf die Abbildung eines euklidischen Raums auf einen anderen.

Derivat

Lassen Sie den Punkt in Richtung der Oy-Achse bewegen, für die Zeit, die wir nehmen x, die ab einem bestimmten Beginn des Moments gezählt wird. Eine solche Bewegung kann durch die Funktion y=f(x) beschrieben werden, die jedem Zeitpunkt x der Koordinate des bewegten Punktes zugeordnet ist. In der Mechanik wird diese Funktion als Bewegungsgesetz bezeichnet. Das Hauptmerkmal der Bewegung, insbesondere ungleichmäßig, ist die momentane Geschwindigkeit. Wenn sich ein Punkt nach dem Gesetz der Mechanik entlang der Oy-Achse bewegt, dann erhält er zu einem zufälligen Zeitpunkt x die Koordinate f (x). Zum Zeitpunkt x + Δx, wobei Δx das Zeitinkrement bezeichnet, ist seine Koordinate f(x + Δx). So wird die Formel Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) gebildet, die als Inkrement der Funktion bezeichnet wird. Sie stellt den vom Zeitpunkt x bis x + Δx zurückgelegten Weg dar.

Differentialrechnung einer Funktion einer Variablen

Aufgrund der Entstehung dieserGeschwindigkeit zur Zeit wird die Ableitung eingeführt. In einer beliebigen Funktion wird die Ableitung an einem festen Punkt Grenzwert genannt (vorausgesetzt, es existiert). Es kann durch bestimmte Symbole gekennzeichnet werden:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Die Berechnung der Ableitung nennt man Differentiation.

Differentialrechnung einer Funktion mehrerer Veränderlicher

Diese Rechenmethode wird verwendet, wenn eine Funktion mit mehreren Variablen untersucht wird. Bei Vorhandensein von zwei Variablen x und y heißt die partielle Ableitung nach x im Punkt A die Ableitung dieser Funktion nach x bei festem y.

Kann durch die folgenden Zeichen dargestellt werden:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x oder ∂f(x, y)’/∂x.

Erforderliche Fähigkeiten

Fähigkeiten in Integration und Differenzierung sind erforderlich, um Diffuses erfolgreich zu studieren und lösen zu können. Um das Verständnis von Differentialgleichungen zu erleichtern, solltest du ein gutes Verständnis für das Thema der Ableitung und des unbestimmten Integrals haben. Es schadet auch nicht zu lernen, wie man die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion findet. Dies liegt daran, dass beim Studium oft Integrale und Differentiationen verwendet werden müssen.

Arten von Differentialgleichungen

In fast allen Testarbeiten zu Differentialgleichungen erster Ordnung gibt es 3 Arten von Gleichungen: homogen, mit trennbaren Variablen, linear inhomogen.

Es gibt auch seltenere Arten von Gleichungen: mit totalen Differentialen, Bernoulli-Gleichungen und anderen.

Entscheidungsgrundlagen

Zunächst solltest du dir die algebraischen Gleichungen aus dem Schulkurs merken. Sie enth alten Variablen und Zahlen. Um eine gewöhnliche Gleichung zu lösen, müssen Sie eine Reihe von Zahlen finden, die eine bestimmte Bedingung erfüllen. In der Regel hatten solche Gleichungen eine Wurzel, und um die Richtigkeit zu überprüfen, brauchte man nur diesen Wert durch die Unbekannte zu ersetzen.

Differentialgleichung ist ähnlich wie diese. Im Allgemeinen enthält eine solche Gleichung erster Ordnung:

Unabhängige Variable.
Die Ableitung der ersten Funktion.
Eine Funktion oder abhängige Variable.

In einigen Fällen kann eine der Unbekannten x oder y fehlen, aber das ist nicht so wichtig, da das Vorhandensein der ersten Ableitung ohne Ableitungen höherer Ordnung für die Lösung und das Differential erforderlich ist Kalkül richtig sein.

Eine Differentialgleichung lösen bedeutet, die Menge aller Funktionen zu finden, die zu dem gegebenen Ausdruck passen. Eine solche Menge von Funktionen wird oft als allgemeine Lösung von DE bezeichnet.

Integralrechnung

Integralrechnung ist einer der Bereiche der mathematischen Analyse, der das Konzept des Integrals, Eigenschaften und Methoden seiner Berechnung untersucht.

Häufig erfolgt die Berechnung des Integrals bei der Berechnung der Fläche einer krummlinigen Figur. Diese Fläche bedeutet die Grenze, zu der die Fläche eines Polygons, das in eine bestimmte Figur eingeschrieben ist, mit einer allmählichen Zunahme seiner Seite tendiert, während diese Seiten kleiner als jede zuvor festgelegte Willkür gemacht werden könnenkleiner Wert.

Die Hauptidee bei der Berechnung der Fläche einer beliebigen geometrischen Figur besteht darin, die Fläche eines Rechtecks zu berechnen, dh zu beweisen, dass seine Fläche gleich dem Produkt aus Länge und Breite ist. Wenn es um Geometrie geht, werden alle Konstruktionen mit Lineal und Zirkel erstellt, und dann ist das Verhältnis von Länge zu Breite ein rationaler Wert. Wenn Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, können Sie feststellen, dass, wenn Sie dasselbe Dreieck daneben legen, ein Rechteck gebildet wird. In einem Parallelogramm wird die Fläche nach einer ähnlichen, aber etwas komplizierteren Methode durch ein Rechteck und ein Dreieck berechnet. Bei Polygonen wird die Fläche durch die darin enth altenen Dreiecke berechnet.

Bei der Bestimmung der Aussparung einer beliebigen Kurve funktioniert diese Methode nicht. Wenn Sie es in einzelne Quadrate aufteilen, werden unbesetzte Plätze vorhanden sein. In diesem Fall versucht man, zwei Abdeckungen zu verwenden, mit Rechtecken oben und unten, als Ergebnis enth alten diese den Graphen der Funktion und nicht. Wichtig bleibt dabei die Art der Aufteilung in diese Rechtecke. Wenn wir außerdem immer kleinere Partitionen nehmen, dann sollten die Bereiche darüber und darunter bei einem bestimmten Wert zusammenlaufen.

Es sollte auf die Methode der Teilung in Rechtecke zurückgehen. Es gibt zwei beliebte Methoden.

Riemann formalisierte die Definition des von Leibniz und Newton geschaffenen Integrals als Fläche eines Teilgraphen. In diesem Fall wurden Zahlen betrachtet, die aus einer bestimmten Anzahl vertikaler Rechtecke bestehen und durch Teilen erh alten werdenSegment. Wenn es bei abnehmender Teilung eine Grenze gibt, bis zu der sich die Fläche einer ähnlichen Figur verringert, wird diese Grenze als Riemann-Integral einer Funktion in einem bestimmten Intervall bezeichnet.

Die zweite Methode ist die Konstruktion des Lebesgue-Integrals, das darin besteht, dass für die Stelle die definierte Fläche in Teile des Integranden geteilt wird und dann aus den in diesen Teilen erh altenen Werten die Integralsumme gebildet wird, sein Wertebereich wird in Intervalle unterteilt und dann mit den entsprechenden Maßen der Urbilder dieser Integrale aufsummiert.

Moderne Vorteile

Eines der wichtigsten Handbücher für das Studium der Differential- und Integralrechnung wurde von Fikhtengolts geschrieben - "Kurs zur Differential- und Integralrechnung". Sein Lehrbuch ist ein grundlegender Leitfaden für das Studium der mathematischen Analyse, der viele Auflagen und Übersetzungen in andere Sprachen durchlaufen hat. Erstellt für Universitätsstudenten und wird seit langem in vielen Bildungseinrichtungen als eines der wichtigsten Lernhilfen verwendet. Gibt theoretische Daten und praktische Fähigkeiten. Erstveröffentlichung 1948.

Funktionsforschungsalgorithmus

Um eine Funktion mit den Methoden der Differentialrechnung zu untersuchen, müssen Sie dem bereits gegebenen Algorithmus folgen:

Ermittle den Geltungsbereich einer Funktion.
Finde die Wurzeln der gegebenen Gleichung.
Extreme berechnen. Berechnen Sie dazu die Ableitung und die Punkte, an denen sie gleich Null ist.
Setze den resultierenden Wert in die Gleichung ein.

Varianten von Differentialgleichungen

Kontrolle erster Ordnung (sonst differentiellEinzelvariablenkalkül) und ihre Typen:

Trenngleichung: f(y)dy=g(x)dx.
Die einfachsten Gleichungen oder Differentialrechnungen einer Funktion einer Variablen mit der Formel: y'=f(x).
Lineares inhomogenes DE erster Ordnung: y'+P(x)y=Q(x).
Bernoulli-Differentialgleichung: y'+P(x)y=Q(x)ya.
Gleichung mit totalen Differentialen: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung und ihre Typen:

Lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizientenwerten: y +py'+qy=0 p, q gehört zu R.
Lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten: y +py'+qy=f(x).
Lineare homogene Differentialgleichung: y +p(x)y'+q(x)y=0, und inhomogene Gleichung zweiter Ordnung: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Differentialgleichungen höherer Ordnung und ihre Typen:

Differenzialgleichung, die der Reihe nach reduziert werden kann: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.

Lineare homogene Gleichung höherer Ordnung: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, und inhomogen: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Schritte zur Lösung eines Problems mit einer Differentialgleichung

Mit Hilfe der Fernbedienung werden nicht nur mathematische oder physikalische Fragestellungen gelöst, sondern auch diverse Probleme ausBiologie, Ökonomie, Soziologie usw. Trotz der Themenvielf alt sollte man sich bei der Lösung solcher Probleme an eine einzige logische Reihenfolge h alten:

Zusammenstellung der Fernbedienung. Einer der schwierigsten Schritte, der höchste Präzision erfordert, da jeder Fehler zu völlig falschen Ergebnissen führt. Alle den Prozess beeinflussenden Faktoren sollten berücksichtigt und die Anfangsbedingungen ermittelt werden. Es sollte auch auf Fakten und logischen Schlussfolgerungen beruhen.
Lösung der formulierten Gleichung. Dieser Vorgang ist einfacher als der erste Schritt, da er nur strenge mathematische Berechnungen erfordert.
Analyse und Bewertung der Ergebnisse. Die abgeleitete Lösung sollte bewertet werden, um den praktischen und theoretischen Wert des Ergebnisses zu ermitteln.

Ein Beispiel für die Verwendung von Differentialgleichungen in der Medizin

Der Einsatz von Fernsteuerung in der Medizin erfolgt beim Aufbau eines epidemiologischen mathematischen Modells. Dabei sollte man nicht vergessen, dass diese Gleichungen auch in der der Medizin nahestehenden Biologie und Chemie zu finden sind, weil dort die Erforschung verschiedener biologischer Populationen und chemischer Prozesse im menschlichen Körper eine wichtige Rolle spielt.

Im obigen Beispiel einer Epidemie können wir die Ausbreitung einer Infektion in einer isolierten Gesellschaft betrachten. Die Bewohner werden in drei Typen eingeteilt:

Infizierte, Anzahl x(t), bestehend aus Individuen, Träger der Infektion, die jeweils ansteckend sind (die Inkubationszeit ist kurz).
Der zweite Typ beinh altetanfällige Personen y(t) die sich durch Kontakt mit infizierten Personen infizieren können.
Zur dritten Art gehören Immunindividuen z(t), die immun sind oder an einer Krankheit gestorben sind.

Die Personenzahl ist konstant, Geburten, natürliche Todesfälle und Wanderungen werden nicht berücksichtigt. Es wird im Kern zwei Hypothesen geben.

Der Prozentsatz der Inzidenz zu einem bestimmten Zeitpunkt ist x(t)y(t) (basierend auf der Theorie, dass die Anzahl der Fälle proportional zur Anzahl der Schnittmengen zwischen kranken und anfälligen Vertretern ist, was im ersten Annäherung proportional zu x(t)y(t)), in diesem Zusammenhang steigt die Zahl der Fälle und die Zahl der Anfälligen nimmt mit einer Rate ab, die nach der Formel ax(t)y(t) berechnet wird (a > 0).

Die Zahl der Immunisierten, die immun geworden oder gestorben sind, steigt proportional zur Zahl der Fälle, bx(t) (b > 0).

Als Ergebnis können Sie ein Gleichungssystem erstellen, das alle drei Indikatoren berücksichtigt, und daraus Schlussfolgerungen ziehen.

Wirtschaftsbeispiel

Differentialrechnung wird oft in der Wirtschaftsanalyse verwendet. Die Hauptaufgabe in der Wirtschaftsanalyse ist die Untersuchung von Größen aus der Wirtschaft, die in Form einer Funktion geschrieben werden. Dies wird verwendet, um Probleme wie Einkommensänderungen unmittelbar nach einer Steuererhöhung, Einführung von Zöllen, Änderungen der Unternehmenseinnahmen bei Änderungen der Produktionskosten zu lösen, in welchem \u200b\u200bVerhältnis können pensionierte Arbeitnehmer durch neue Geräte ersetzt werden. Um solche Probleme zu lösen, ist es notwendigeine Verbindungsfunktion aus den Eingabevariablen aufbauen, die dann mit der Differentialrechnung untersucht werden.

Im wirtschaftlichen Bereich ist es oft notwendig, die optimalsten Indikatoren zu finden: maximale Arbeitsproduktivität, höchstes Einkommen, niedrigste Kosten und so weiter. Jeder derartige Indikator ist eine Funktion eines oder mehrerer Argumente. Beispielsweise kann die Produktion als eine Funktion des Arbeits- und Kapitaleinsatzes betrachtet werden. In diesem Zusammenhang kann das Finden eines geeigneten Werts darauf reduziert werden, das Maximum oder Minimum einer Funktion aus einer oder mehreren Variablen zu finden.

Probleme dieser Art schaffen eine Klasse extremaler Probleme im ökonomischen Bereich, deren Lösung die Differentialrechnung erfordert. Wenn ein wirtschaftlicher Indikator als Funktion eines anderen Indikators minimiert oder maximiert werden muss, dann wird das Verhältnis des Zuwachses der Funktion zu den Argumenten am Punkt des Maximums gegen Null gehen, wenn der Zuwachs des Arguments gegen Null geht. Andernfalls, wenn ein solches Verhältnis zu einem positiven oder negativen Wert tendiert, ist der angegebene Punkt nicht geeignet, da Sie durch Erhöhen oder Verringern des Arguments den abhängigen Wert in die erforderliche Richtung ändern können. In der Terminologie der Differentialrechnung bedeutet dies, dass die erforderliche Bedingung für das Maximum einer Funktion der Nullwert ihrer Ableitung ist.

In der Wirtschaftswissenschaft gibt es oft Probleme, das Extremum einer Funktion mit mehreren Variablen zu finden, weil Wirtschaftsindikatoren aus vielen Faktoren bestehen. Solche Fragen sind gut. Studium der Theorie der Funktionen mehrerer Variablen unter Anwendung von Methoden der Differentialrechnung. Solche Probleme umfassen nicht nur maximierte und minimierte Funktionen, sondern auch Beschränkungen. Solche Fragen sind mit der mathematischen Programmierung verwandt und werden mit Hilfe speziell entwickelter Methoden gelöst, die ebenfalls auf diesem Wissenschaftszweig basieren.

Unter den Methoden der Differentialrechnung, die in den Wirtschaftswissenschaften verwendet werden, ist ein wichtiger Abschnitt die Randanalyse. Im wirtschaftlichen Bereich bezieht sich dieser Begriff auf eine Reihe von Methoden zur Untersuchung variabler Indikatoren und Ergebnisse, wenn das Volumen der Erzeugung und des Verbrauchs auf der Grundlage der Analyse ihrer Randindikatoren geändert wird. Der begrenzende Indikator ist die Ableitung oder partielle Ableitung mit mehreren Variablen.

Differentialrechnung mehrerer Variablen ist ein wichtiges Thema im Bereich der mathematischen Analyse. Für ein detailliertes Studium können Sie verschiedene Lehrbücher für die Hochschulbildung verwenden. Einer der berühmtesten wurde von Fikhtengolts erstellt - "Kurs der Differential- und Integralrechnung". Wie der Name schon sagt, sind Kenntnisse im Umgang mit Integralen für das Lösen von Differentialgleichungen von erheblicher Bedeutung. Wenn die Differentialrechnung einer Funktion einer Variablen stattfindet, wird die Lösung einfacher. Es sollte jedoch beachtet werden, dass es den gleichen Grundregeln unterliegt. Um eine Funktion in der Praxis durch Differentialrechnung zu untersuchen, reicht es aus, dem bereits vorhandenen Algorithmus zu folgen, der in der High School gegeben wird und nur geringfügig kompliziert wird, wenn neue eingeführt werden. Variablen.