Was sind Variablen? Variable in der Mathematik

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

Die Bedeutung von Variablen in der Mathematik ist groß, denn während ihrer Existenz haben Wissenschaftler viele Entdeckungen auf diesem Gebiet gemacht, und um diesen oder jenen Satz kurz und klar zu formulieren, verwenden wir Variablen, um die entsprechenden Formeln zu schreiben. Zum Beispiel der Satz des Pythagoras auf einem rechtwinkligen Dreieck: a² =b² + c^{2. So schreiben Sie jedes Mal, wenn Sie ein Problem lösen: Nach dem Satz des Pythagoras ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Beine - wir schreiben dies mit einer Formel auf und alles wird sofort klar.}

In diesem Artikel wird also erläutert, was Variablen sind, welche Typen und Eigenschaften sie haben. Außerdem werden verschiedene mathematische Ausdrücke betrachtet: Ungleichungen, Formeln, Systeme und Algorithmen zu ihrer Lösung.

Variablenkonzept

Zunächst einmal, was ist eine Variable? Dies ist ein numerischer Wert, der viele Werte annehmen kann. Es kann nicht konstant sein, da wir bei verschiedenen Problemen und Gleichungen der Einfachheit halber Lösungen als nehmenvariabel unterschiedliche Zahlen, dh z ist beispielsweise eine allgemeine Bezeichnung für jede der Größen, für die es genommen wird. Normalerweise werden sie mit Buchstaben des lateinischen oder griechischen Alphabets bezeichnet (x, y, a, b usw.).

Es gibt verschiedene Arten von Variablen. Sie setzen sowohl einige physikalische Größen - Weg (S), Zeit (t) als auch einfach unbekannte Werte in Gleichungen, Funktionen und anderen Ausdrücken.

Zum Beispiel gibt es eine Formel: S=Vt. Hier bezeichnen die Variablen bestimmte Größen, die sich auf die reale Welt beziehen - den Weg, die Geschwindigkeit und die Zeit.

Und es gibt eine Gleichung der Form: 3x - 16=12x. Hier wird x bereits als abstrakte Zahl genommen, die in dieser Notation sinnvoll ist.

Mengenarten

Menge bedeutet etwas, das die Eigenschaften eines bestimmten Objekts, einer Substanz oder eines Phänomens ausdrückt. Zum Beispiel Lufttemperatur, Gewicht eines Tieres, prozentualer Anteil an Vitaminen in einer Tablette – das sind alles Größen, deren Zahlenwerte errechnet werden können.

Jede Größe hat ihre eigenen Maßeinheiten, die zusammen ein System bilden. Es wird Zahlensystem (SI) genannt.

Was sind Variablen und Konstanten? Betrachten Sie sie mit konkreten Beispielen.

Nehmen wir eine geradlinige, gleichförmige Bewegung. Ein Punkt im Raum bewegt sich immer mit der gleichen Geschwindigkeit. Das heißt, Zeit und Entfernung ändern sich, aber die Geschwindigkeit bleibt gleich. In diesem Beispiel sind Zeit und Distanz Variablen und die Geschwindigkeit ist konstant.

Oder zum Beispiel „pi“. Dies ist eine irrationale Zahl, die sich ohne Wiederholung fortsetzteine Folge von Ziffern und kann nicht vollständig geschrieben werden, daher wird sie in der Mathematik durch ein allgemein anerkanntes Symbol ausgedrückt, das nur den Wert eines gegebenen unendlichen Bruchs annimmt. Das heißt, „pi“ist ein konstanter Wert.

Geschichte

Die Geschichte der Notation von Variablen beginnt im 17. Jahrhundert mit dem Wissenschaftler René Descartes.

Er bezeichnete die bekannten Werte mit den Anfangsbuchstaben des Alphabets: a, b und so weiter, und für die unbekannten schlug er vor, die letzten Buchstaben zu verwenden: x, y, z. Bemerkenswert ist, dass Descartes solche Variablen als nicht-negative Zahlen betrachtete und bei negativen Parametern ein Minuszeichen vor die Variable setzte oder, wenn nicht bekannt war, welches Vorzeichen die Zahl hatte, ein Auslassungszeichen. Aber im Laufe der Zeit begannen die Namen von Variablen, Zahlen mit beliebigem Vorzeichen zu bezeichnen, und dies begann mit dem Mathematiker Johann Hudde.

Mit Variablen sind Berechnungen in der Mathematik einfacher zu lösen, denn wie lösen wir zum Beispiel jetzt biquadratische Gleichungen? Wir geben eine Variable ein. Zum Beispiel:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Für x2 nehmen wir ein k, und die Gleichung wird klar:

x2=k, für k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Das bringt die Einführung von Variablen in die Mathematik.

Ungleichungen, Lösungsbeispiele

Eine Ungleichung ist ein Satz, in dem zwei mathematische Ausdrücke oder zwei Zahlen durch Vergleichszeichen verbunden sind:, ≦, ≧. Sie sind streng und werden durch Zeichen oder nicht streng mit Zeichen ≦, ≧ angezeigt.

Zum ersten Mal wurden diese Zeichen eingeführtThomas Harriot. Nach Thomas' Tod wurde sein Buch mit diesen Notationen veröffentlicht, Mathematiker mochten sie und im Laufe der Zeit wurden sie in mathematischen Berechnungen weit verbreitet.

Beim Lösen von Ungleichungen mit einer Variablen sind mehrere Regeln zu beachten:

Wenn Sie eine Zahl von einem Teil der Ungleichung in einen anderen übertragen, ändern Sie ihr Vorzeichen in das Gegenteil.
Beim Multiplizieren oder Dividieren von Teilen einer Ungleichung mit einer negativen Zahl werden ihre Vorzeichen umgekehrt.
Wenn Sie beide Seiten der Ungleichung mit einer positiven Zahl multiplizieren oder dividieren, erh alten Sie eine Ungleichung gleich der ursprünglichen.

Eine Ungleichung lösen bedeutet, alle gültigen Werte für eine Variable zu finden.

Beispiel für eine einzelne Variable:

10x - 50 > 150

Wir lösen es wie eine normale lineare Gleichung - wir verschieben die Terme mit einer Variablen nach links, ohne Variable - nach rechts und geben ähnliche Terme an:

10x > 200

Wir teilen beide Seiten der Ungleichung durch 10 und erh alten:

x > 20

Im Beispiel der Lösung einer Ungleichung mit einer Variablen zeichnen Sie zur Verdeutlichung eine Zahlenlinie und markieren Sie den durchstochenen Punkt 20 darauf, da die Ungleichung streng ist und diese Zahl nicht in der Menge ihrer Lösungen enth alten ist.

Die Lösung dieser Ungleichung ist das Intervall (20; +∞).

Die Lösung einer nicht strengen Ungleichung erfolgt genauso wie eine strenge:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Aber es gibt eine Ausnahme. Ein Datensatz der Form x ≧ 5 ist wie folgt zu verstehen: x ist größer oder gleich fünf, das heißtdie Zahl fünf ist in der Menge aller Lösungen der Ungleichung enth alten, das heißt, wir setzen beim Schreiben der Antwort eine eckige Klammer vor die Zahl fünf.

x ∈ [5; +∞)

Quadratische Ungleichungen

Nehmen wir eine quadratische Gleichung der Form ax2 + bx +c=0 und wandeln darin das Gleichheitszeichen in das Ungleichheitszeichen um, so erh alten wir entsprechend a quadratische Ungleichung.

Um eine quadratische Ungleichung zu lösen, müssen Sie quadratische Gleichungen lösen können.

y=ax2 + bx + c ist eine quadratische Funktion. Wir können es mit der Diskriminante oder mit dem Vieta-Theorem lösen. Erinnern Sie sich, wie diese Gleichungen gelöst werden:

1) y=x2 + 12x + 11 - die Funktion ist eine Parabel. Seine Äste sind nach oben gerichtet, da das Vorzeichen des Koeffizienten „a“positiv ist.

2) x2 + 12x + 11=0 - Null gleichsetzen und mit der Diskriminante auflösen.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 Wurzeln

Nach der Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung erh alten wir:

x₁ =-1, x_2=-11

Oder Sie könnten diese Gleichung mit dem Vieta-Theorem lösen:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Mit der Auswahlmethode erh alten wir dieselben Wurzeln der Gleichung.

Parabel

Der erste Weg, eine quadratische Ungleichung zu lösen, ist also eine Parabel. Der Algorithmus zur Lösung lautet wie folgt:

1. Bestimmen Sie, wohin die Äste der Parabel gerichtet sind.

2. Setze die Funktion mit Null gleich und finde die Wurzeln der Gleichung.

3. Wir bauen einen Zahlenstrahl, markieren die Wurzeln darauf, zeichnen eine Parabel und finden die Lücke, die wir brauchen, je nach Vorzeichen der Ungleichung.

Löse die Ungleichung x2 + x - 12 > 0

Als Funktion ausschreiben:

1) y=x2 + x - 12 - Parabel, Äste nach oben.

Auf Null setzen.

2) x2 + x -12=0

Als nächstes lösen wir als quadratische Gleichung und finden die Nullstellen der Funktion:

x₁ =3, x_2=-4

3) Zeichne einen Zahlenstrahl mit den Punkten 3 und -4 darauf. Die Parabel geht durch sie hindurch, verzweigt sich und die Antwort auf die Ungleichung ist eine Reihe positiver Werte, also (-∞; -4), (3; +∞).

Intervallmethode

Der zweite Weg ist die Abstandsmethode. Algorithmus zur Lösung:

1. Finden Sie die Wurzeln der Gleichung, für die die Ungleichung gleich Null ist.

2. Wir markieren sie auf dem Zahlenstrahl. Es ist also in mehrere Intervalle unterteilt.

3. Bestimme das Vorzeichen eines beliebigen Intervalls.

4. Wir platzieren Zeichen in den verbleibenden Intervallen und ändern sie nach einem.

Löse die Ungleichung (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Ungleichheit Nullen: 4, 5 und -7.

2) Zeichne sie auf den Zahlenstrahl.

3) Bestimme die Vorzeichen von Intervallen.

Antwort: (-∞; -7]; [4; 5].

Löse noch eine Ungleichung: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Ungleichheit Nullen: 0, 2, -2 und 1.

2. Markiere sie auf dem Zahlenstrahl.

3. Intervallzeichen bestimmen.

Die Linie ist in Intervalle unterteilt - von -2 bis 0, von 0 bis 1, von 1 bis 2.

Nimm den Wert im ersten Intervall - (-1). Ersatz in Ungleichheit. Mit diesem Wert wird die Ungleichung positiv, was bedeutet, dass das Vorzeichen dieses Intervalls +. ist.

Ferner ordnen wir ab der ersten Lücke die Zeichen an und ändern sie nach einer.

Die Ungleichheit ist größer als Null, das heißt, Sie müssen eine Reihe positiver Werte auf der Linie finden.

Antwort: (-2; 0), (1; 2).

Gleichungssysteme

Ein Gleichungssystem mit zwei Variablen sind zwei durch eine geschweifte Klammer verbundene Gleichungen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss.

Systeme können äquivalent sein, wenn die allgemeine Lösung des einen die Lösung des anderen ist oder beide keine Lösungen haben.

Wir untersuchen die Lösung von Gleichungssystemen mit zwei Variablen. Es gibt zwei Möglichkeiten, sie zu lösen - die Substitutionsmethode oder die algebraische Methode.

Algebraisches Verfahren

Um das im Bild gezeigte System mit dieser Methode zu lösen, musst du zunächst einen seiner Teile mit einer solchen Zahl multiplizieren, um später aus beiden Gleichungsteilen eine Variable gegenseitig streichen zu können. Hier multiplizieren wir mit drei, ziehen eine Linie unter das System und addieren seine Teile. Als Ergebnis werden x im Modul identisch, aber im Vorzeichen entgegengesetzt, und wir reduzieren sie. Als nächstes erh alten wir eine lineare Gleichung mit einer Variablen und lösen sie.

Wir haben Y gefunden, aber wir können hier nicht aufhören, weil wir X noch nicht gefunden haben. ErsatzY zu dem Teil, von dem es bequem ist, X zurückzuziehen, zum Beispiel:

-x + 5y=8, mit y=1

-x + 5=8

Löse die resultierende Gleichung und finde x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Die Hauptsache bei der Lösung des Systems ist, die Antwort richtig aufzuschreiben. Viele Schüler machen den Fehler zu schreiben:

Antwort: -3, 1.

Aber das ist ein falscher Eintrag. Schließlich suchen wir, wie oben bereits erwähnt, beim Lösen eines Gleichungssystems nach einer allgemeinen Lösung für seine Teile. Die richtige Antwort wäre:

(-3; 1)