Ein Dreieck ist ein Vieleck mit drei Seiten (drei Ecken). Meistens werden die Seiten mit Kleinbuchstaben bezeichnet, die den Großbuchstaben entsprechen, die gegenüberliegende Eckpunkte bezeichnen. In diesem Artikel lernen wir die Arten dieser geometrischen Formen kennen, den Satz, der bestimmt, wie groß die Summe der Winkel eines Dreiecks ist.
Ansichten nach Blickwinkeln
Es werden folgende Arten von Polygonen mit drei Ecken unterschieden:
- spitzwinklig, bei dem alle Ecken scharf sind;
- rechteckig, mit einem rechten Winkel, während die Seiten, die ihn bilden, Beine genannt werden, und die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse genannt wird;
- stumpf wenn eine Ecke stumpf ist;
- gleichschenklig, bei denen zwei Seiten gleich sind und seitlich genannt werden, und die dritte die Basis des Dreiecks ist;
- gleichseitig, alle drei Seiten sind gleich.
Eigenschaften
Sie heben die Haupteigenschaften hervor, die für jeden Dreieckstyp charakteristisch sind:
- der größeren Seite gegenüber ist immer ein größerer Winkel und umgekehrt;
- gleich große gegenüberliegende Seiten sind gleiche Winkel und umgekehrt;
- jedes Dreieck hat zwei spitze Winkel;
- eine Außenecke ist größer als jede Innenecke, die nicht daran angrenzt;
- die Summe zweier Winkel ist immer kleiner als 180 Grad;
- Außenecke ist gleich der Summe der beiden anderen Ecken, die sie nicht schneiden.
Dreieckswinkelsummensatz
Der Satz besagt, dass, wenn man alle Winkel einer gegebenen geometrischen Figur, die sich auf der euklidischen Ebene befindet, addiert, ihre Summe 180 Grad beträgt. Versuchen wir, diesen Satz zu beweisen.
Lassen Sie uns ein beliebiges Dreieck mit Ecken von KMN haben.
Ziehe durch den Scheitelpunkt M eine Gerade parallel zur Geraden KN (diese Gerade wird auch Euklidische Gerade genannt). Darauf markieren wir den Punkt A so, dass die Punkte K und A auf unterschiedlichen Seiten der Geraden MN liegen. Wir erh alten gleiche Winkel AMN und KNM, die wie innere übereinander liegen und von der Sekante MN zusammen mit den parallelen Geraden KN und MA gebildet werden. Daraus folgt, dass die Summe der Winkel des Dreiecks an den Ecken M und H gleich der Größe des Winkels KMA ist. Alle drei Winkel bilden die Summe, die gleich der Summe der Winkel KMA und MKN ist. Da diese Winkel bzgl. Innen einseitig sindparallele Geraden KN und MA mit einer Sekante KM, deren Summe 180 Grad beträgt. Satz bewiesen.
Konsequenz
Aus dem oben bewiesenen Satz folgt folgende Folgerung: Jedes Dreieck hat zwei spitze Winkel. Um dies zu beweisen, nehmen wir an, dass eine gegebene geometrische Figur nur einen spitzen Winkel hat. Es kann auch angenommen werden, dass keiner der Winkel spitz ist. Dabei müssen mindestens zwei Winkel gleich oder größer als 90 Grad vorhanden sein. Aber dann ist die Summe der Winkel größer als 180 Grad. Das kann aber nicht sein, denn laut Satz beträgt die Summe der Winkel eines Dreiecks 180° - nicht mehr und nicht weniger. Das musste bewiesen werden.
Außeneckgrundstück
Wie groß ist die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks? Diese Frage kann auf zwei Arten beantwortet werden. Das erste ist, dass es notwendig ist, die Summe der Winkel zu finden, die an jedem Scheitelpunkt genommen werden, dh drei Winkel. Die zweite impliziert, dass Sie die Summe aller sechs Winkel an den Scheitelpunkten finden müssen. Beschäftigen wir uns zunächst mit der ersten Option. Das Dreieck enthält also sechs Außenecken – zwei an jeder Ecke.
Jedes Paar hat gleiche Winkel, weil sie vertikal sind:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Außerdem ist bekannt, dass der Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe zweier Innenwinkel ist, die es nicht schneiden. Daher
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Daraus ergibt sich, dass die Summe der externenEcken, die an jedem Scheitelpunkt genommen werden, sind gleich:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Da die Summe der Winkel 180 Grad beträgt, kann argumentiert werden, dass ∟A + ∟B + ∟C=180°. Und das bedeutet, dass ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Wenn die zweite Option verwendet wird, ist die Summe der sechs Winkel jeweils doppelt so groß. Das heißt, die Summe der Außenwinkel des Dreiecks ist:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Rechtes Dreieck
Was ist die Summe der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks? Die Antwort auf diese Frage folgt wiederum aus dem Satz, der besagt, dass sich die Winkel in einem Dreieck zu 180 Grad addieren. Und unsere Aussage (Eigenschaft) klingt so: In einem rechtwinkligen Dreieck ergeben spitze Winkel zusammen 90 Grad. Lassen Sie uns seine Richtigkeit beweisen.
Gegeben sei ein Dreieck KMN, in dem ∟Н=90°. Es ist zu beweisen, dass ∟K + ∟M=90°.
Also ist nach dem Winkelsummensatz ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Unsere Bedingung besagt, dass ∟Н=90°. Es stellt sich also heraus, ∟K + ∟M + 90°=180°. Das heißt, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Das mussten wir beweisen.
Zusätzlich zu den obigen Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks können Sie Folgendes hinzufügen:
- Winkel, die an den Beinen anliegen, sind scharf;
- die Hypotenuse ist mehr dreieckig als alle Beine;
- die Summe der Schenkel ist größer als die Hypotenuse;
- beinein Dreieck, das einem Winkel von 30 Grad gegenüberliegt, ist die halbe Hypotenuse, also gleich der Hälfte davon.
Als weitere Eigenschaft dieser geometrischen Figur kann der Satz des Pythagoras unterschieden werden. Sie stellt fest, dass in einem Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad (rechteckig) die Summe der Quadrate der Schenkel gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist.
Die Winkelsumme eines gleichschenkligen Dreiecks
Vorhin haben wir gesagt, dass ein gleichschenkliges Polygon ein Polygon mit drei Ecken ist, das zwei gleiche Seiten enthält. Diese Eigenschaft einer bestimmten geometrischen Figur ist bekannt: Die Winkel an ihrer Basis sind gleich. Lass es uns beweisen.
Nehmen Sie das Dreieck KMN, das gleichschenklig ist, KN ist seine Basis.
Wir müssen beweisen, dass ∟К=∟Н. Nehmen wir also an, dass MA die Winkelhalbierende unseres Dreiecks KMN ist. Das MCA-Dreieck ist unter Berücksichtigung des ersten Gleichheitszeichens gleich dem MCA-Dreieck. Durch die Bedingung ist nämlich gegeben, dass KM=NM, MA eine gemeinsame Seite ist, ∟1=∟2, da MA eine Winkelhalbierende ist. Unter Verwendung der Tatsache, dass diese beiden Dreiecke gleich sind, können wir sagen, dass ∟K=∟Н. Damit ist der Satz bewiesen.
Aber uns interessiert, was die Summe der Winkel eines Dreiecks (gleichschenklig) ist. Da es in dieser Hinsicht keine eigenen Besonderheiten hat, gehen wir von dem früher betrachteten Satz aus. Das heißt, wir können sagen, dass ∟K + ∟M + ∟H=180° oder 2 x ∟K + ∟M=180° (da ∟K=∟H). Wir werden diese Eigenschaft nicht beweisen, da der Dreieckssummensatz selbst bereits bewiesen wurde.
Außer wie besprochenEigenschaften über die Winkel eines Dreiecks gibt es auch so wichtige Aussagen:
- in einem gleichschenkligen Dreieck ist die Höhe, die zur Basis abgesenkt wurde, sowohl die Mittellinie, die Winkelhalbierende des Winkels, der zwischen gleichen Seiten liegt, als auch die Symmetrieachse seiner Basis;
- Mittelwerte (Halbierende, Höhen), die zu den Seiten einer solchen geometrischen Figur gezogen werden, sind gleich.
Gleichseitiges Dreieck
Es wird auch recht genannt, es ist das Dreieck, bei dem alle Seiten gleich sind. Daher sind auch die Winkel gleich. Jeder hat 60 Grad. Lassen Sie uns diese Eigenschaft beweisen.
Angenommen, wir haben ein Dreieck KMN. Wir wissen, dass KM=NM=KN. Und das bedeutet, dass gemäß der Eigenschaft der Winkel, die sich an der Basis in einem gleichschenkligen Dreieck befinden, ∟К=∟М=∟Н. Da nach dem Satz die Winkelsumme eines Dreiecks ∟К + ∟М + ∟Н=180° ist, ist 3 x ∟К=180° oder ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Í=60°. Damit ist die Aussage bewiesen.
Wie du anhand des obigen Beweises basierend auf dem Satz sehen kannst, beträgt die Winkelsumme eines gleichseitigen Dreiecks, wie die Winkelsumme jedes anderen Dreiecks, 180 Grad. Dieser Satz muss nicht noch einmal bewiesen werden.
Es gibt auch solche Eigenschaften, die für ein gleichseitiges Dreieck charakteristisch sind:
- Mittelwert, Winkelhalbierende, Höhe in einer solchen geometrischen Figur sind gleich, und ihre Länge wird berechnet als (a x √3): 2;
- beschreibt man einen Kreis um ein gegebenes Polygon, dann ist sein Radius gleichgleich (a x √3): 3;
- beschreibt man einem gleichseitigen Dreieck einen Kreis, dann ist sein Radius (a x √3): 6;
- die Fläche dieser geometrischen Figur errechnet sich nach der Formel: (a2 x √3): 4.
Obtwinkliges Dreieck
Nach der Definition eines stumpfen Dreiecks liegt einer seiner Winkel zwischen 90 und 180 Grad. Aber da die anderen beiden Winkel dieser geometrischen Figur spitz sind, können wir daraus schließen, dass sie 90 Grad nicht überschreiten. Daher funktioniert der Dreieckswinkelsummensatz bei der Berechnung der Winkelsumme in einem stumpfen Dreieck. Es stellt sich heraus, dass wir auf der Grundlage des oben genannten Theorems mit Sicherheit sagen können, dass die Summe der Winkel eines stumpfen Dreiecks 180 Grad beträgt. Auch dieser Satz muss nicht erneut bewiesen werden.
