Räumliche Geometrie, deren Kurs in den Klassen 10-11 der Schule studiert wird, berücksichtigt die Eigenschaften dreidimensionaler Figuren. Der Artikel gibt eine geometrische Definition eines Zylinders, liefert eine Formel zur Berechnung seines Volumens und löst auch ein physikalisches Problem, bei dem es wichtig ist, dieses Volumen zu kennen.
Was ist ein Zylinder?
Aus Sicht der Stereometrie kann die Definition eines Zylinders wie folgt gegeben werden: Es ist eine Figur, die als Ergebnis einer parallelen Verschiebung eines geraden Segments entlang einer bestimmten flachen geschlossenen Kurve entsteht. Das benannte Segment darf nicht zur selben Ebene wie die Kurve gehören. Wenn die Kurve ein Kreis ist und das Segment senkrecht dazu steht, wird der auf die beschriebene Weise gebildete Zylinder als gerade und rund bezeichnet. Es ist im Bild unten dargestellt.
Es ist nicht schwer zu erraten, dass diese Form erh alten werden kann, indem man ein Rechteck um eine seiner Seiten dreht.
Der Zylinder hat zwei identische Grundflächen, die Kreise sind, und eine Seitezylindrische Oberfläche. Der Kreis der Basis wird Leitlinie genannt, und die senkrechte Strecke, die die Kreise verschiedener Basen verbindet, ist der Generator der Figur.
Wie findet man das Volumen eines runden geraden Zylinders?
Nachdem wir uns mit der Definition eines Zylinders vertraut gemacht haben, überlegen wir uns, welche Parameter Sie kennen müssen, um seine Eigenschaften mathematisch zu beschreiben.
Der Abstand zwischen den beiden Basen ist die Höhe der Figur. Es ist offensichtlich, dass sie gleich der Länge der Generatoratrix ist. Wir bezeichnen die Höhe mit dem lateinischen Buchstaben h. Der Radius des Kreises an der Basis wird mit dem Buchstaben r bezeichnet. Er wird auch als Radius des Zylinders bezeichnet. Die beiden eingeführten Parameter reichen aus, um alle Eigenschaften der betreffenden Figur eindeutig zu beschreiben.
Aufgrund der geometrischen Definition eines Zylinders kann sein Volumen nach folgender Formel berechnet werden:
V=Sh
Hier ist S die Fläche der Basis. Beachten Sie, dass für jeden Zylinder und für jedes Prisma die geschriebene Formel gilt. Für einen runden geraden Zylinder ist es jedoch sehr praktisch, ihn zu verwenden, da die Höhe eine Erzeugende ist und die Fläche S der Basis bestimmt werden kann, indem man sich die Formel für die Fläche eines Kreises merkt:
S=pir2
Daher wird die Arbeitsformel für den Band V der betreffenden Abbildung geschrieben als:
V=pir2h
Auftriebskraft
Jeder Schüler weiß, dass ein Objekt, das in Wasser getaucht wird, weniger wiegt. Der Grund für diese Tatsacheist die Entstehung einer Auftriebskraft oder archimedischen Kraft. Es wirkt auf jeden Körper, unabhängig von seiner Form und dem Material, aus dem er besteht. Die Stärke von Archimedes kann durch die Formel bestimmt werden:
FA=ρlgVl
Dabei sind ρl und Vl die Dichte der Flüssigkeit und ihr vom Körper verdrängtes Volumen. Es ist wichtig, dieses Volumen nicht mit dem Volumen des Körpers zu verwechseln. Sie stimmen nur überein, wenn der Körper vollständig in die Flüssigkeit eingetaucht ist. Bei teilweisem Eintauchen ist Vl immer kleiner als V des Körpers.
Die Auftriebskraft FA heißt, weil sie senkrecht nach oben gerichtet ist, also der Schwerkraft entgegengerichtet ist. Unterschiedliche Richtungen der Kraftvektoren führen dazu, dass das Gewicht des Körpers in jeder Flüssigkeit geringer ist als in Luft. Fairerweise stellen wir fest, dass auch in der Luft alle Körper von einer Auftriebskraft betroffen sind, die jedoch im Vergleich zur archimedischen Kraft im Wasser (800-mal geringer) vernachlässigbar ist.
Aus der Gewichtsdifferenz von Körpern in Flüssigkeit und Luft werden die Dichten fester und flüssiger Stoffe bestimmt. Dieses Verfahren wird als hydrostatisches Wiegen bezeichnet. Der Legende nach wurde es erstmals von Archimedes verwendet, um die Dichte des Metalls zu bestimmen, aus dem die Krone hergestellt wurde.
Verwenden Sie die obige Formel, um die auf einen Messingzylinder wirkende Auftriebskraft zu bestimmen.
Das Problem der Berechnung der auf einen Messingzylinder wirkenden archimedischen Kraft
Es ist bekannt, dass ein Messingzylinder eine Höhe von 20 cm und einen Durchmesser von 10 cm hat. Was wird die archimedische Kraft sein,die auf ihn einwirken, wenn der Zylinder in destilliertes Wasser geworfen wird.
Um die Auftriebskraft an einem Messingzylinder zu bestimmen, schaue dir zunächst die Dichte von Messing in der Tabelle an. Es ist gleich 8600 kg/m3 (das ist der Durchschnittswert seiner Dichte). Da dieser Wert größer ist als die Dichte von Wasser (1000 kg/m3), sinkt das Objekt.
Um die archimedische Kraft zu bestimmen, genügt es, das Volumen des Zylinders zu finden und dann die obige Formel für FA zu verwenden. Wir haben:
V=pir2h=3, 145220=1570 cm 3
Wir haben den Radiuswert von 5 cm in die Formel eingesetzt, da er zweimal kleiner ist als der in der Bedingung des Durchmesserproblems angegebene Wert.
Für die Auftriebskraft erh alten wir:
FA=ρlgV=10009, 81157010-6 =15, 4 H
Hier haben wir Volumen V in m3.
umgerechnet
Auf einen in Wasser getauchten Messingzylinder mit bekannten Abmessungen wirkt also eine nach oben gerichtete Kraft von 15,4 N.
