Das Konzept eines Prismas. Volumenformeln für Prismen verschiedener Typen: regelmäßig, gerade und schräg. Die Lösung des Problems

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Volumen ist ein Merkmal jeder Figur, die in allen drei Dimensionen des Raums Dimensionen ungleich Null hat. In diesem Artikel betrachten wir aus Sicht der Stereometrie (der Geometrie räumlicher Figuren) ein Prisma und zeigen, wie man die Volumina von Prismen verschiedener Typen findet.

Was ist ein Prisma?

Stereometrie hat die genaue Antwort auf diese Frage. Unter einem Prisma wird darin eine Figur verstanden, die aus zwei identischen Polygonflächen und mehreren Parallelogrammen besteht. Das Bild unten zeigt vier verschiedene Prismen.

Jedes von ihnen kann wie folgt erh alten werden: Sie müssen ein Polygon (Dreieck, Viereck usw.) und ein Segment einer bestimmten Länge nehmen. Dann sollte jeder Eckpunkt des Polygons mit parallelen Segmenten in eine andere Ebene übertragen werden. In der neuen Ebene, die parallel zur ursprünglichen verläuft, wird ein neues Polygon erstellt, ähnlich dem ursprünglich gewählten.

Prismen können unterschiedlicher Art sein. Sie können also gerade, schräg und korrekt sein. Wenn die Seitenkante des Prismas (Segment,die Eckpunkte der Basen verbinden) senkrecht zu den Basen der Figur, dann ist letztere eine gerade Linie. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, spricht man dementsprechend von einem geneigten Prisma. Eine regelmäßige Figur ist ein gerades Prisma mit gleichwinkliger und gleichseitiger Grundfläche.

Später in diesem Artikel zeigen wir, wie man das Volumen jedes dieser Prismentypen berechnet.

Volumen regelmäßiger Prismen

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall. Wir geben die Formel für das Volumen eines regelmäßigen Prismas mit n-eckiger Grundfläche an. Die Volumenformel V für jede Figur der betrachteten Klasse lautet wie folgt:

V=S_oh.

Das heißt, um das Volumen zu bestimmen, reicht es aus, die Fläche einer der Basen S_o zu berechnen und mit der Höhe h der Figur zu multiplizieren.

Bei einem regelmäßigen Prisma bezeichnen wir die Seitenlänge seiner Grundfläche mit dem Buchstaben a und die Höhe, die gleich der Seitenkantenlänge ist, mit dem Buchstaben h. Stimmt die Grundlinie des n-Ecks, lässt sich seine Fläche am einfachsten mit der folgenden Universalformel berechnen:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Indem Sie den Wert der Seitenzahl n und die Länge einer Seite a gleich machen, können Sie die Fläche der n-Eckbasis berechnen. Beachten Sie, dass die Kotangensfunktion hier für den Winkel pi/n berechnet wird, der im Bogenmaß ausgedrückt wird.

Ausgehend von der für S geschriebenen Gleichheit erh alten wir die endgültige Formel für das Volumen eines regulären Prismas:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Du kannst für jeden konkreten Fall die entsprechenden Formeln für V schreiben, aber alleeindeutig aus dem geschriebenen allgemeinen Ausdruck folgen. Zum Beispiel erh alten wir für ein regelmäßiges viereckiges Prisma, das im allgemeinen ein rechteckiges Parallelepiped ist:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Wenn wir in diesem Ausdruck h=a nehmen, dann erh alten wir die Formel für das Volumen des Würfels.

Volumen direkter Prismen

Wir bemerken gleich, dass es für gerade Figuren keine allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens gibt, die oben für regelmäßige Prismen angegeben wurde. Beim Auffinden des fraglichen Werts sollte der ursprüngliche Ausdruck verwendet werden:

V=S_oh.

Hier ist h die Länge der Seitenkante, wie im vorigen Fall. Was die Basisfläche S_o betrifft, so kann sie eine Vielzahl von Werten annehmen. Die Aufgabe, ein gerades Volumenprisma zu berechnen, reduziert sich darauf, die Fläche seiner Basis zu finden.

Die Berechnung des Wertes von S_osollte auf der Grundlage der Eigenschaften der Basis selbst durchgeführt werden. Handelt es sich beispielsweise um ein Dreieck, dann kann die Fläche wie folgt berechnet werden:

S_o3=1/2ah_a.

Hier ist h_a das Apothem des Dreiecks, d.h. seine zur Basis a erniedrigte Höhe.

Wenn die Basis ein Viereck ist, dann kann es ein Trapez, ein Parallelogramm, ein Rechteck oder ein völlig beliebiger Typ sein. Für alle diese Fälle sollten Sie die entsprechende Planimetrieformel verwenden, um die Fläche zu bestimmen. Für ein Trapez sieht diese Formel beispielsweise so aus:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Dabei ist h_a die Höhe des Trapezes, a₁ und a₂ sind die Längen seiner parallelen Seiten.

Um die Fläche für Polygone höherer Ordnung zu bestimmen, sollten Sie diese in einfache Formen (Dreiecke, Vierecke) zerlegen und aus letzteren die Summe der Flächen berechnen.

Tilted Prism Volume

Dies ist der schwierigste Fall, um das Volumen eines Prismas zu berechnen. Auch für solche Zahlen gilt die allgemeine Formel:

V=S_oh.

Zur Komplexität, die Fläche der Basis zu finden, die einen beliebigen Polygontyp darstellt, kommt jedoch das Problem hinzu, die Höhe der Figur zu bestimmen. Sie ist bei einem schiefen Prisma immer kleiner als die Länge der Seitenkante.

Der einfachste Weg, diese Höhe zu finden, ist, wenn du irgendeinen Winkel der Figur kennst (flach oder zweiflächig). Wenn ein solcher Winkel gegeben ist, dann sollte man daraus ein rechtwinkliges Dreieck innerhalb des Prismas konstruieren, das die Höhe h als eine der Seiten enth alten würde, und unter Verwendung trigonometrischer Funktionen und des Satzes des Pythagoras den Wert h finden.

Geometrisches Volumenproblem

Gegeben sei ein regelmäßiges Prisma mit dreieckiger Grundfläche, einer Höhe von 14 cm und einer Seitenlänge von 5 cm. Welches Volumen hat das dreieckige Prisma?

Da wir über die richtige Zahl sprechen, haben wir das Recht, die bekannte Formel zu verwenden. Wir haben:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Ein dreieckiges Prisma ist eine ziemlich symmetrische Figur, in deren Form häufig verschiedene architektonische Strukturen hergestellt werden. Dieses Glasprisma wird in der Optik verwendet.