Geometrie ist schön, weil sie im Gegensatz zur Algebra, wo nicht immer klar ist, was man denkt und warum, das Objekt sichtbar macht. Diese wundervolle Welt aus verschiedenen Körpern ist mit regelmäßigen Polyedern geschmückt.
Allgemeines über reguläre Polyeder
Laut vielen haben regelmäßige Polyeder, oder wie sie auch platonische Körper genannt werden, einzigartige Eigenschaften. Mit diesen Objekten sind mehrere wissenschaftliche Hypothesen verbunden. Wenn Sie anfangen, diese geometrischen Körper zu studieren, verstehen Sie, dass Sie praktisch nichts über ein Konzept wie regelmäßige Polyeder wissen. Die Präsentation dieser Objekte in der Schule ist nicht immer interessant, so dass viele sich nicht einmal erinnern, wie sie heißen. Die meisten Menschen erinnern sich nur an den Würfel. Keiner der Körper in der Geometrie ist so perfekt wie reguläre Polyeder. Alle Namen dieser geometrischen Körper stammen aus dem antiken Griechenland. Sie meinen die Anzahl der Flächen: Tetraeder - vierseitig, Hexaeder - sechsseitig, Oktaeder - Oktaeder, Dodekaeder - zwölfseitig, Ikosaeder - zwanzigseitig. All diese geometrischen Körpernahm in Platons Konzept des Universums einen wichtigen Platz ein. Vier von ihnen verkörperten die Elemente oder Wesenheiten: das Tetraeder - Feuer, das Ikosaeder - Wasser, der Würfel - Erde, das Oktaeder - Luft. Der Dodekaeder verkörperte alles, was existiert. Es wurde als das wichtigste angesehen, weil es ein Symbol des Universums war.
Verallgemeinerung des Konzepts eines Polyeders
Ein Polyeder ist eine Ansammlung einer endlichen Anzahl von Polygonen, so dass:
- jede Seite eines der Polygone ist gleichzeitig die Seite von nur einem anderen Polygon auf derselben Seite;
- von jedem der Polygone können Sie zu den anderen gelangen, indem Sie an den angrenzenden Polygonen vorbeigehen.
Die Polygone, aus denen ein Polyeder besteht, sind seine Flächen, und seine Seiten sind Kanten. Die Ecken der Polyeder sind die Ecken der Polygone. Versteht man den Begriff eines Polygons als flach geschlossene gestrichelte Linien, so gelangt man zu einer Definition eines Polyeders. In dem Fall, in dem dieser Begriff einen Teil der Ebene bedeutet, der durch unterbrochene Linien begrenzt ist, sollte eine Fläche verstanden werden, die aus polygonalen Stücken besteht. Ein konvexes Polyeder ist ein Körper, der auf einer Seite einer Ebene neben seiner Fläche liegt.
Eine weitere Definition eines Polyeders und seiner Elemente
Ein Polyeder ist eine aus Polygonen bestehende Fläche, die einen geometrischen Körper begrenzt. Sie sind:
- nicht konvex;
- konvex (richtig und falsch).
Ein regelmäßiges Polyeder ist ein konvexes Polyeder mit maximaler Symmetrie. Elemente regelmäßiger Polyeder:
- Tetraeder: 6 Kanten, 4 Flächen, 5 Ecken;
- Hexaeder (Würfel): 12, 6, 8;
- Dodekaeder: 30, 12, 20;
- Oktaeder: 12, 8, 6;
- Ikosaeder: 30, 20, 12.
Satz von Euler
Es stellt eine Beziehung zwischen der Anzahl der Kanten, Scheitelpunkte und Flächen her, die topologisch äquivalent zu einer Kugel sind. Indem die Anzahl der Ecken und Flächen (B + D) verschiedener regulärer Polyeder addiert und mit der Anzahl der Kanten verglichen wird, kann ein Muster erstellt werden: Die Summe der Anzahl der Flächen und Ecken ist gleich der Anzahl der Kanten (P) erhöht durch 2. Sie können eine einfache Formel ableiten:
B + D=R + 2
Diese Formel gilt für alle konvexen Polyeder.
Grundlegende Definitionen
Das Konzept eines regelmäßigen Polyeders kann nicht in einem Satz beschrieben werden. Es ist aussagekräftiger und umfangreicher. Damit eine Stelle als solche anerkannt wird, muss sie eine Reihe von Definitionen erfüllen. Ein geometrischer Körper ist also ein regelmäßiges Polyeder, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- es ist konvex;
- an jedem seiner Knoten läuft die gleiche Anzahl von Kanten zusammen;
- alle seine Flächen sind regelmäßige Polygone, die einander gleich sind;
- alle seine Diederwinkel sind gleich.
Eigenschaften regelmäßiger Polyeder
Es gibt 5 verschiedene Typen regelmäßiger Polyeder:
- Würfel (Hexaeder) - hat oben einen flachen Winkel von 90°. Es hat einen 3-seitigen Winkel. Die Summe der flachen Winkel oben beträgt 270°.
- Tetraeder - flacher Winkel oben - 60°. Es hat einen 3-seitigen Winkel. Die Summe der flachen Winkel oben beträgt 180°.
- Oktaheder - flacher Scheitelwinkel - 60°. Es hat eine 4-seitige Ecke. Die Summe der flachen Winkel oben beträgt 240°.
- Dodekaeder - flacher Winkel an der Spitze 108°. Es hat einen 3-seitigen Winkel. Die Summe der flachen Winkel oben beträgt 324°.
- Ikosaeder - hat oben einen flachen Winkel - 60°. Es hat einen 5-seitigen Winkel. Die Summe der flachen Winkel oben beträgt 300°.
Fläche regulärer Polyeder
Die Oberfläche dieser geometrischen Körper (S) errechnet sich aus der Fläche eines regelmäßigen Vielecks multipliziert mit der Anzahl seiner Flächen (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Das Volumen eines regelmäßigen Polyeders
Dieser Wert wird berechnet, indem das Volumen einer regelmäßigen Pyramide, an deren Basis sich ein regelmäßiges Polygon befindet, mit der Anzahl der Flächen multipliziert wird und ihre Höhe der Radius der eingeschriebenen Kugel (r) ist:
V=1: 3rS
Volumen regelmäßiger Polyeder
Wie jeder andere geometrische Körper haben regelmäßige Polyeder unterschiedliche Volumina. Unten sind die Formeln, mit denen Sie sie berechnen können:
- Tetraeder: α x 3√2: 12;
- Oktaeder: α x 3√2: 3;
- Ikosaeder; α x 3;
- Hexaeder (Würfel): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- Dodekaeder: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elemente regelmäßiger Polyeder
Hexaeder und Oktaeder sind duale geometrische Körper. Mit anderen Worten, sie können voneinander erh alten werden, wenn der Schwerpunkt der Fläche des einen als Scheitelpunkt des anderen genommen wird und umgekehrt. Auch Ikosaeder und Dodekaeder sind dual. Nur der Tetraeder ist dual zu sich selbst. Nach der Euklid-Methode kann man aus einem Hexaeder ein Dodekaeder machen, indem man „Dächer“auf die Flächen eines Würfels baut. Die Eckpunkte eines Tetraeders sind beliebige 4 Eckpunkte eines Würfels, die nicht paarweise entlang einer Kante benachbart sind. Aus dem Hexaeder (Würfel) können Sie andere regelmäßige Polyeder erh alten. Obwohl es unzählige regelmäßige Vielecke gibt, gibt es nur 5 regelmäßige Polyeder.
Radius regelmäßiger Polygone
Jedem dieser geometrischen Körper sind 3 konzentrische Kugeln zugeordnet:
- beschrieben, durchquert seine Gipfel;
- beschriftet, jedes seiner Gesichter in seiner Mitte berührend;
- Median, alle Kanten in der Mitte berührend.
Der Radius der beschriebenen Kugel errechnet sich nach folgender Formel:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Der Radius einer eingeschriebenen Kugel errechnet sich nach der Formel:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
wobei θ der Flächenwinkel zwischen benachbarten Flächen ist.
Der Radius der mittleren Kugel kann mit folgender Formel berechnet werden:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
wobei h-Wert=4, 6, 6, 10 oder 10. Das Verhältnis von umschriebenem und einbeschriebenem Radius ist symmetrisch zu p und q. Esberechnet nach der Formel:
R/r=tg π/p x tg π/q
Symmetrie von Polyedern
Die Symmetrie regelmäßiger Polyeder verursacht das Hauptinteresse an diesen geometrischen Körpern. Darunter versteht man eine solche Bewegung des Körpers im Raum, die gleich viele Ecken, Flächen und Kanten hinterlässt. Mit anderen Worten, unter dem Einfluss einer Symmetrietransformation behält eine Kante, ein Eckpunkt oder eine Fläche entweder ihre ursprüngliche Position bei oder bewegt sich an die ursprüngliche Position einer anderen Kante, eines anderen Eckpunkts oder einer anderen Fläche.
Symmetrieelemente regelmäßiger Polyeder sind charakteristisch für alle Arten solcher geometrischer Körper. Hier sprechen wir von einer identischen Transformation, die jeden der Punkte an seiner ursprünglichen Position belässt. Wenn Sie also ein polygonales Prisma drehen, können Sie mehrere Symmetrien erh alten. Jede von ihnen kann als Produkt von Reflexionen dargestellt werden. Eine Symmetrie, die das Produkt einer geraden Anzahl von Reflexionen ist, wird als gerade Linie bezeichnet. Wenn es das Produkt einer ungeraden Anzahl von Reflexionen ist, dann heißt es invers. Somit sind alle Rotationen um eine Gerade direkte Symmetrie. Jede Spiegelung eines Polyeders ist eine inverse Symmetrie.
Um die Symmetrieelemente regelmäßiger Polyeder besser zu verstehen, nehmen wir das Beispiel eines Tetraeders. Jede gerade Linie, die durch einen der Eckpunkte und den Mittelpunkt dieser geometrischen Figur verläuft, verläuft auch durch den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Fläche. Jede der 120°- und 240°-Kurven um die Linie herum ist eine Mehrzahl. Symmetrie des Tetraeders. Da es 4 Ecken und 4 Flächen hat, gibt es nur acht direkte Symmetrien. Jede der Linien, die durch die Mitte der Kante und die Mitte dieses Körpers verlaufen, verläuft durch die Mitte seiner gegenüberliegenden Kante. Jede 180°-Drehung, Halbdrehung genannt, um eine gerade Linie ist eine Symmetrie. Da der Tetraeder drei Kantenpaare hat, gibt es drei weitere direkte Symmetrien. Auf der Grundlage des Vorstehenden können wir schließen, dass die Gesamtzahl der direkten Symmetrien, einschließlich der identischen Transformation, zwölf erreichen wird. Das Tetraeder hat keine anderen direkten Symmetrien, aber es hat 12 inverse Symmetrien. Der Tetraeder ist also durch insgesamt 24 Symmetrien gekennzeichnet. Zur Verdeutlichung kannst du ein Modell eines regelmäßigen Tetraeders aus Pappe bauen und dich vergewissern, dass dieser geometrische Körper wirklich nur 24 Symmetrien hat.
Der Dodekaeder und der Ikosaeder sind der Sphäre des Körpers am nächsten. Der Ikosaeder hat die meisten Flächen, den größten Flächenwinkel und lässt sich am engsten gegen eine eingeschriebene Kugel drücken. Der Dodekaeder hat den kleinsten Winkelfehler, den größten Raumwinkel an der Spitze. Er kann seine beschriebene Sphäre maximal ausfüllen.
Sweeps von Polyedern
Normale Polyeder, die wir alle in der Kindheit zusammengeklebt haben, haben viele Konzepte. Wenn es eine Ansammlung von Polygonen gibt, von denen jede Seite nur mit einer Seite des Polyeders identifiziert wird, dann muss die Identifizierung der Seiten zwei Bedingungen erfüllen:
- von jedem Polygon können Sie über Polygone gehen, die habenidentifizierte Seite;
- identifizierte Seiten müssen gleich lang sein.
Die Menge der Polygone, die diese Bedingungen erfüllen, wird als Entwicklung des Polyeders bezeichnet. Jeder dieser Körper hat mehrere davon. Ein Würfel hat also zum Beispiel 11 davon.
