Polyeder nehmen nicht nur in der Geometrie einen herausragenden Platz ein, sondern kommen auch im täglichen Leben eines jeden Menschen vor. Ganz zu schweigen von künstlich hergestellten Haush altsgegenständen in Form verschiedener Polygone, beginnend mit einer Streichholzschachtel und endend mit architektonischen Elementen, Kristallen in Form eines Würfels (Salz), Prisma (Kristall), Pyramide (Scheelit), Oktaeder (Diamant), usw. e.
Das Konzept eines Polyeders, Arten von Polyedern in der Geometrie
Geometrie als Wissenschaft enthält einen Abschnitt der Stereometrie, der die Merkmale und Eigenschaften dreidimensionaler Figuren untersucht. Geometrische Körper, deren Seiten im dreidimensionalen Raum durch begrenzte Ebenen (Flächen) gebildet werden, nennt man „Polyeder“. Zu den Polyedertypen gehören mehr als ein Dutzend Vertreter, die sich in Anzahl und Form der Flächen unterscheiden.
Allerdings haben alle Polyeder gemeinsame Eigenschaften:
- Sie alle haben 3 wesentliche Komponenten: Gesicht(Oberfläche eines Polygons), Scheitelpunkt (Ecken, die an der Verbindungsstelle von Flächen gebildet werden), Kante (Seite einer Figur oder eines Segments, die an der Verbindungsstelle zweier Flächen gebildet wird).
- Jede Polygonkante verbindet zwei und nur zwei benachbarte Flächen.
- Konvexität bedeutet, dass der Körper vollständig nur auf einer Seite der Ebene liegt, auf der eine der Flächen liegt. Die Regel gilt für alle Flächen des Polyeders. Solche geometrischen Figuren in der Stereometrie werden konvexe Polyeder genannt. Die Ausnahme bilden sternförmige Polyeder, die Ableitungen regelmäßiger polyedrischer geometrischer Körper sind.
Polyeder können bedingt unterteilt werden in:
- Arten von konvexen Polyedern, bestehend aus den folgenden Klassen: gewöhnliche oder klassische (Prisma, Pyramide, Parallelepiped), regelmäßige (auch platonische Körper genannt), halbregelmäßige (zweiter Name - archimedische Körper).
- Nicht-konvexe Polyeder (sternförmig).
Prisma und seine Eigenschaften
Stereometrie als Zweig der Geometrie untersucht die Eigenschaften von dreidimensionalen Figuren, Arten von Polyedern (ein Prisma ist einer von ihnen). Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der notwendigerweise zwei absolut identische Flächen (sie werden auch Basen genannt) hat, die in parallelen Ebenen liegen, und die n-te Anzahl von Seitenflächen in Form von Parallelogrammen. Das Prisma hat wiederum mehrere Varianten, darunter solche Arten von Polyedern wie:
- Parallelepiped - gebildet, wenn die Basis ein Parallelogramm ist -Polygon mit 2 Paaren gleicher gegenüberliegender Winkel und 2 Paaren kongruenter gegenüberliegender Seiten.
- Ein gerades Prisma hat Kanten senkrecht zur Grundfläche.
- Gekipptes Prisma ist durch das Vorhandensein von nicht rechten Winkeln (anders als 90) zwischen den Flächen und der Basis gekennzeichnet.
- Ein regelmäßiges Prisma ist durch Grundflächen in Form eines regelmäßigen Polygons mit gleichen Seitenflächen gekennzeichnet.
Grundlegende Eigenschaften eines Prismas:
- Kongruente Basen.
- Alle Kanten des Prismas sind gleich und parallel zueinander.
- Alle Seitenflächen sind parallelogrammförmig.
Pyramide
Pyramide ist ein geometrischer Körper, der aus einer Basis und einer n-ten Anzahl dreieckiger Flächen besteht, die an einem Punkt verbunden sind - der Spitze. Es sollte beachtet werden, dass, wenn die Seitenflächen der Pyramide notwendigerweise durch Dreiecke dargestellt werden, die Basis entweder ein dreieckiges Polygon oder ein Viereck oder ein Fünfeck und so weiter bis ins Unendliche sein kann. In diesem Fall entspricht der Name der Pyramide dem Polygon an der Basis. Wenn zum Beispiel ein Dreieck an der Basis einer Pyramide liegt, ist es eine dreieckige Pyramide, ein Viereck ist eine viereckige usw.
Pyramiden sind kegelförmige Polyeder. Zu den Polyedertypen dieser Gruppe gehören neben den oben aufgeführten auch die folgenden Vertreter:
- Eine regelmäßige Pyramide hat an ihrer Basis ein regelmäßiges Polygon, und ihre Höhe wird auf die Mitte projiziertein Kreis, der in die Basis eingeschrieben oder um sie herum umschrieben ist.
- Eine rechteckige Pyramide entsteht, wenn eine der Seitenkanten die Basis im rechten Winkel schneidet. In diesem Fall ist es auch fair, diese Kante als Höhe der Pyramide zu bezeichnen.
Pyramideneigenschaften:
- Wenn alle Seitenkanten der Pyramide deckungsgleich sind (gleiche Höhe), dann schneiden sie sich alle im gleichen Winkel mit der Basis, und um die Basis herum kannst du einen Kreis zeichnen, dessen Mittelpunkt mit der Projektion von zusammenfällt die Spitze der Pyramide.
- Wenn die Grundfläche der Pyramide ein regelmäßiges Vieleck ist, dann sind alle Seitenkanten deckungsgleich und die Flächen gleichschenklige Dreiecke.
Reguläres Polyeder: Arten und Eigenschaften von Polyedern
In der Stereometrie nehmen geometrische Körper mit absolut gleichen Flächen eine Sonderstellung ein, an deren Ecken gleich viele Kanten verbunden sind. Diese Körper nennt man platonische Körper oder regelmäßige Polyeder. Arten von Polyedern mit solchen Eigenschaften haben nur fünf Formen:
- Tetraeder.
- Hexaeder.
- Oktaheder.
- Dodekaeder.
- Ikosaeder.
Reguläre Polyeder verdanken ihren Namen dem antiken griechischen Philosophen Platon, der diese geometrischen Körper in seinen Schriften beschrieb und sie mit den natürlichen Elementen Erde, Wasser, Feuer, Luft in Verbindung brachte. Der fünften Figur wurde die Ähnlichkeit mit dem Aufbau des Universums zugesprochen. Seiner Meinung nach ähneln die Atome natürlicher Elemente in ihrer Form den Typen regelmäßiger Polyeder. Aufgrund seiner aufregendsten Eigenschaft -Aufgrund ihrer Symmetrie waren diese geometrischen Körper nicht nur für Mathematiker und Philosophen der Antike von großem Interesse, sondern auch für Architekten, Künstler und Bildhauer aller Zeiten. Das Vorhandensein von nur 5 Arten von Polyedern mit absoluter Symmetrie g alt als grundlegende Entdeckung, ihnen wurde sogar eine Verbindung mit dem göttlichen Prinzip zugesprochen.
Hexaeder und seine Eigenschaften
In der Form eines Sechsecks nahmen Platons Nachfolger eine Ähnlichkeit mit der Struktur der Atome der Erde an. Natürlich ist diese Hypothese derzeit vollständig widerlegt, was jedoch nicht verhindert, dass die Figuren mit ihrer Ästhetik in der Neuzeit die Köpfe berühmter Persönlichkeiten anziehen.
In der Geometrie gilt ein Hexaeder, auch Würfel genannt, als Sonderfall eines Quaders, der wiederum eine Art Prisma ist. Dementsprechend hängen die Eigenschaften des Würfels mit den Eigenschaften des Prismas zusammen, mit dem einzigen Unterschied, dass alle Flächen und Ecken des Würfels einander gleich sind. Daraus folgen folgende Eigenschaften:
- Alle Kanten des Würfels sind deckungsgleich und liegen in parallelen Ebenen zueinander.
- Alle Flächen sind kongruente Quadrate (in einem Würfel gibt es insgesamt 6), von denen jede als Basis genommen werden kann.
- Alle Schnittstellenwinkel sind 90°.
- Von jedem Knoten gehen gleich viele Kanten aus, nämlich 3.
- Der Würfel hat 9 Symmetrieachsen, die sich alle im Schnittpunkt der Diagonalen des Hexaeders schneiden, dem sogenannten Symmetriezentrum.
Tetraeder
Ein Tetraeder ist ein Tetraeder mit gleichen Flächen in Form von Dreiecken, deren Ecken jeweils gleich sindist der Verbindungspunkt von drei Flächen.
Eigenschaften eines regelmäßigen Tetraeders:
- Alle Flächen eines Tetraeders sind gleichseitige Dreiecke, was bedeutet, dass alle Flächen eines Tetraeders kongruent sind.
- Da die Basis durch eine regelmäßige geometrische Figur dargestellt wird, also gleiche Seiten hat, laufen die Flächen des Tetraeders im gleichen Winkel zusammen, d.h. alle Winkel sind gleich.
- Die Summe der flachen Winkel an jeder Ecke beträgt 180, da alle Winkel gleich sind, beträgt jeder Winkel eines regelmäßigen Tetraeders 60.
- Jeder Scheitelpunkt wird auf den Schnittpunkt der Höhen der gegenüberliegenden (orthozentrischen) Fläche projiziert.
Das Oktaeder und seine Eigenschaften
Bei der Beschreibung der Arten regelmäßiger Polyeder kann man nicht umhin, ein solches Objekt wie ein Oktaeder zu bemerken, das visuell als zwei viereckige regelmäßige Pyramiden dargestellt werden kann, die durch Basen zusammengeklebt sind.
Eigenschaften des Oktaeders:
- Schon der Name eines geometrischen Körpers deutet auf die Anzahl seiner Flächen hin. Das Oktaeder besteht aus 8 kongruenten gleichseitigen Dreiecken, in deren Ecken jeweils gleich viele Flächen zusammenlaufen, nämlich 4.
- Da alle Flächen eines Oktaeders gleich sind, sind auch seine Grenzflächenwinkel gleich, von denen jeder gleich 60 ist, und die Summe der Ebenenwinkel jeder der Ecken ist somit 240.
Dodekaeder
Wenn wir uns vorstellen, dass alle Flächen eines geometrischen Körpers ein regelmäßiges Fünfeck sind, dann erh alten wir ein Dodekaeder -eine Figur aus 12 Polygonen.
Eigenschaften des Dodekaeders:
- Drei Flächen schneiden sich an jedem Scheitelpunkt.
- Alle Flächen sind gleich und haben dieselbe Kantenlänge und denselben Flächeninh alt.
- Das Dodekaeder hat 15 Symmetrieachsen und -ebenen, und jede von ihnen geht durch den Scheitel der Fläche und die Mitte der gegenüberliegenden Kante.
Ikosaeder
Nicht weniger interessant als das Dodekaeder, ist die Figur des Ikosaeders ein dreidimensionaler geometrischer Körper mit 20 gleichen Flächen. Unter den Eigenschaften eines regelmäßigen Zwanzigeders kann Folgendes festgestellt werden:
- Alle Flächen des Ikosaeders sind gleichschenklige Dreiecke.
- Fünf Flächen laufen an jedem Scheitelpunkt des Polyeders zusammen, und die Summe der angrenzenden Winkel des Scheitelpunkts ist 300.
- Das Ikosaeder hat wie das Dodekaeder 15 Achsen und Symmetrieebenen, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen verlaufen.
Halbregelmäßige Polygone
Zur Gruppe der konvexen Polyeder gehören neben den platonischen Körpern auch die archimedischen Körper, bei denen es sich um abgestumpfte regelmäßige Polyeder handelt. Die Polyedertypen dieser Gruppe haben folgende Eigenschaften:
- Geometrische Körper haben paarweise gleiche Flächen verschiedener Typen, zum Beispiel hat ein abgeschnittenes Tetraeder 8 Flächen, wie ein reguläres Tetraeder, aber im Fall eines archimedischen Körpers sind 4 Flächen dreieckig und 4 sechseckig.
- Alle Winkel einer Ecke sind deckungsgleich.
Sternpolyeder
Repräsentanten nichtvolumetrischer Typen geometrischer Körper sind sternförmige Polyeder, deren Flächen sich schneiden. Sie können durch Zusammenführen zweier regulärer 3D-Körper oder durch Verlängern ihrer Flächen gebildet werden.
So nennt man solche Sternpolyeder: Sternformen des Oktaeders, Dodekaeders, Ikosaeders, Kuboktaeders, Ikosododekaeders.
