Georg Kantor (Foto wird später im Artikel gegeben) ist ein deutscher Mathematiker, der die Mengenlehre geschaffen und das Konzept der transfiniten Zahlen eingeführt hat, unendlich groß, aber voneinander verschieden. Er definierte auch Ordnungs- und Kardinalzahlen und erstellte ihre Arithmetik.
Georg Kantor: Kurzbiografie
Geboren in St. Petersburg am 03.03.1845. Sein Vater war ein Däne evangelischen Glaubens, Georg-Valdemar Kantor, der im Handel tätig war, unter anderem an der Börse. Seine Mutter Maria Bem war Katholikin und stammte aus einer prominenten Musikerfamilie. Als Georgs Vater 1856 erkrankte, zog die Familie auf der Suche nach einem milderen Klima zunächst nach Wiesbaden und dann nach Frankfurt. Bereits vor seinem 15. Geburtstag zeigte sich die mathematische Begabung des Jungen während seines Studiums an Privatschulen und Gymnasien in Darmstadt und Wiesbaden. Am Ende überzeugte Georg Cantor seinen Vater von seiner festen Absicht, Mathematiker und nicht Ingenieur zu werden.
Nach einem kurzen Studium an der Universität Zürich wechselte Kantor 1863 an die Universität Berlin, um Physik, Philosophie und Mathematik zu studieren. Da ihngelehrt:
- Karl Theodor Weierstraß, dessen Spezialisierung in Analysis wohl den größten Einfluss auf Georg hatte;
- Ernst Eduard Kummer, der höheres Rechnen lehrte;
- Leopold Kronecker, Zahlentheoretiker und späterer Gegner von Cantor.
Nachdem er 1866 ein Semester an der Universität Göttingen verbracht hatte, schrieb Georg im folgenden Jahr seine Doktorarbeit mit dem Titel "In der Mathematik ist die Kunst des Fragens wertvoller als das Lösen von Problemen" über ein Problem von Carl Friedrich Gauß in seinen Disquisitiones Arithmeticae (1801) ungelöst gelassen. Nach einer kurzen Lehrtätigkeit an der Berliner Mädchenschule trat Kantor an die Universität Halle, wo er bis zu seinem Lebensende blieb, zunächst als Lehrer, ab 1872 als Assistenzprofessor, ab 1879 als Professor.
Forschung
Am Anfang einer Reihe von 10 Arbeiten von 1869 bis 1873 betrachtete Georg Cantor die Zahlentheorie. Die Arbeit spiegelte seine Leidenschaft für das Thema, sein Studium von Gauß und den Einfluss von Kronecker wider. Auf Anregung von Cantors Kollegen in Halle, Heinrich Eduard Heine, der seine mathematische Begabung erkannte, wandte er sich der Theorie der trigonometrischen Reihen zu, in der er den Begriff der reellen Zahlen erweiterte.
Basierend auf der Arbeit des deutschen Mathematikers Bernhard Riemann über die Funktion einer komplexen Variablen aus dem Jahr 1854 zeigte Kantor 1870, dass eine solche Funktion nur auf eine Weise dargestellt werden kann – durch trigonometrische Reihen. Betrachtung einer Reihe von Zahlen (Punkten), dieeiner solchen Auffassung nicht widersprechen würde, führte ihn erstens 1872 zur Definition irrationaler Zahlen in Form von konvergenten Folgen rationaler Zahlen (Brüche ganzer Zahlen) und weiter zum Beginn der Arbeit an seinem Lebenswerk, der Mengenlehre und dem Begriff von transfiniten Zahlen.
Mengentheorie
Georg Cantor, dessen Mengenlehre in Korrespondenz mit dem Mathematiker der Technischen Hochschule Braunschweig Richard Dedekind entstand, war seit seiner Kindheit mit ihm befreundet. Sie kamen zu dem Schluss, dass Mengen, ob endlich oder unendlich, Ansammlungen von Elementen sind (z. B. Zahlen, {0, ±1, ±2…}), die eine bestimmte Eigenschaft haben, während sie ihre Individualität beh alten. Aber als Georg Cantor eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz (z. B. {A, B, C} zu {1, 2, 3}) verwendete, um ihre Eigenschaften zu untersuchen, stellte er schnell fest, dass sie sich sogar in ihrem Zugehörigkeitsgrad unterscheiden wenn sie unendliche Mengen wären, d. h. Mengen, von denen ein Teil oder eine Teilmenge so viele Objekte enthält wie sie selbst. Seine Methode lieferte bald erstaunliche Ergebnisse.
Georg Cantor (Mathematiker) zeigte 1873, dass rationale Zahlen, obwohl unendlich, zählbar sind, weil sie in eine Eins-zu-Eins-Beziehung zu natürlichen Zahlen (d. h. 1, 2, 3 usw.) gebracht werden können. d.). Er zeigte, dass die Menge der reellen Zahlen, bestehend aus irrationalen und rationalen, unendlich und nicht abzählbar ist. Paradoxerweise bewies Cantor, dass die Menge aller algebraischen Zahlen so viele Elemente enthält wiewie viele sind die Menge aller ganzen Zahlen, und dass transzendentale Zahlen, die nicht algebraisch sind, die eine Teilmenge irrationaler Zahlen sind, nicht zählbar sind und daher ihre Anzahl größer als ganze Zahlen ist und als unendlich betrachtet werden sollte.
Gegner und Unterstützer
Aber Kantors Aufsatz, in dem er diese Ergebnisse erstmals vortrug, wurde nicht in Krell veröffentlicht, da einer der Rezensenten, Kronecker, vehement dagegen war. Aber nach der Intervention von Dedekind wurde es 1874 unter dem Titel "Über die charakteristischen Eigenschaften aller reellen algebraischen Zahlen" veröffentlicht.
Wissenschaft und Privatleben
Im selben Jahr traf Kantor auf seiner Hochzeitsreise mit seiner Frau Wally Gutman in Interlaken, Schweiz, Dedekind, der positiv über seine neue Theorie sprach. Georges Geh alt war gering, aber mit dem Geld seines Vaters, der 1863 starb, baute er ein Haus für seine Frau und fünf Kinder. Viele seiner Aufsätze wurden in Schweden in der neuen Zeitschrift Acta Mathematica veröffentlicht, herausgegeben und gegründet von Gesta Mittag-Leffler, die als eine der ersten das Talent des deutschen Mathematikers erkannte.
Verbindung zur Metaphysik
Cantors Theorie wurde zu einem völlig neuen Studiengegenstand in Bezug auf die Mathematik des Unendlichen (z. B. Reihen 1, 2, 3 usw. und komplexere Mengen), die stark von einer Eins-zu-eins-Korrespondenz abhing. Kantors Entwicklung neuer InszenierungsmethodenFragen nach Kontinuität und Unendlichkeit, gaben seiner Forschung einen zwiespältigen Charakter.
Als er argumentierte, dass unendliche Zahlen wirklich existieren, wandte er sich der antiken und mittel alterlichen Philosophie bezüglich tatsächlicher und potenzieller Unendlichkeit zu, sowie der frühen religiösen Erziehung, die ihm seine Eltern gaben. 1883 kombinierte Kantor in seinem Buch Grundlagen der allgemeinen Mengenlehre sein Konzept mit Platons Metaphysik.
Kronecker, der behauptete, dass nur ganze Zahlen „existieren“(„Gott schuf die ganzen Zahlen, der Rest ist Menschenwerk“), wies seine Argumentation jahrelang vehement zurück und verhinderte seine Berufung an die Universität Berlin.
Transfinite Zahlen
1895-97. Georg Cantor hat seinen Begriff von Kontinuität und Unendlichkeit, einschließlich unendlicher Ordnungs- und Kardinalzahlen, in seinem berühmtesten Werk, das als Beiträge zur Gründung der Theorie der transfiniten Zahlen (1915) veröffentlicht wurde, vollständig formuliert. Dieser Aufsatz enthält sein Konzept, zu dem er geführt wurde, indem er zeigte, dass eine unendliche Menge in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit einer ihrer Teilmengen gebracht werden kann.
Unter der kleinsten transfiniten Kardinalzahl meinte er die Kardinalität jeder Menge, die in eine eins-zu-eins Beziehung zu natürlichen Zahlen gesetzt werden kann. Cantor nannte es Aleph-Null. Große transfinite Mengen werden mit Aleph-Eins, Aleph-Zwei usw. bezeichnet. Er entwickelte die Arithmetik der transfiniten Zahlen weiter, die der endlichen Arithmetik analog war. so dass erbereicherte das Konzept der Unendlichkeit.
Der Widerstand, dem er ausgesetzt war, und die Zeit, die es brauchte, bis seine Ideen vollständig akzeptiert wurden, sind auf die Schwierigkeit zurückzuführen, die alte Frage, was eine Zahl ist, neu zu bewerten. Cantor hat gezeigt, dass die Menge der Punkte auf einer Linie eine höhere Kardinalität hat als Aleph-Null. Dies führte zu dem bekannten Problem der Kontinuumshypothese - es gibt keine Kardinalzahlen zwischen Aleph-Null und der Potenz von Punkten auf der Linie. Dieses Problem erregte in der ersten und zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts großes Interesse und wurde von vielen Mathematikern untersucht, darunter Kurt Gödel und Paul Cohen.
Depression
Die Biographie von Georg Kantor wurde seit 1884 von seiner Geisteskrankheit überschattet, aber er arbeitete weiterhin aktiv. 1897 half er bei der Durchführung des ersten internationalen mathematischen Kongresses in Zürich. Teilweise weil er von Kronecker abgelehnt wurde, sympathisierte er oft mit jungen aufstrebenden Mathematikern und suchte nach einem Weg, sie vor der Belästigung durch Lehrer zu bewahren, die sich durch neue Ideen bedroht fühlten.
Anerkennung
Um die Jahrhundertwende wurde seine Arbeit als Grundlage für Funktionentheorie, Analysis und Topologie anerkannt. Darüber hinaus dienten die Bücher von Kantor Georg als Anstoß für die Weiterentwicklung der intuitionistischen und formalistischen Schule der logischen Grundlagen der Mathematik. Dies hat das Lehrsystem erheblich verändert und wird oft mit der „neuen Mathematik“in Verbindung gebracht.
1911 gehörte Kantor zu den EingeladenenFeier zum 500-jährigen Jubiläum der University of St. Andrews in Schottland. Er ging dorthin in der Hoffnung, Bertrand Russell zu treffen, der sich in seinem kürzlich erschienenen Werk Principia Mathematica wiederholt auf den deutschen Mathematiker bezog, was jedoch nicht geschah. Die Universität verlieh Kantor die Ehrendoktorwürde, die er jedoch krankheitsbedingt nicht persönlich entgegennehmen konnte.
Kantor ging 1913 in den Ruhestand, lebte in Armut und verhungerte während des Ersten Weltkriegs. Feierlichkeiten zu Ehren seines 70. Geburtstages im Jahr 1915 wurden kriegsbedingt abgesagt, aber in seinem Haus fand eine kleine Zeremonie statt. Er starb am 06.01.1918 in Halle in einer psychiatrischen Anst alt, wo er die letzten Jahre seines Lebens verbrachte.
Georg Kantor: Biografie. Familie
Am 9. August 1874 heiratete ein deutscher Mathematiker Wally Gutmann. Das Paar hatte 4 Söhne und 2 Töchter. Das letzte Kind wurde 1886 in einem von Kantor neu erworbenen Haus geboren. Das Erbe seines Vaters half ihm, seine Familie zu ernähren. Kantors Gesundheit wurde durch den Tod seines jüngsten Sohnes im Jahr 1899 stark beeinträchtigt, und Depressionen haben ihn seitdem nicht verlassen.
