Für viele Menschen ist die mathematische Analyse nur eine Ansammlung unverständlicher Zahlen, Symbole und Definitionen, die weit vom wirklichen Leben entfernt sind. Die Welt, in der wir existieren, ist jedoch auf numerischen Mustern aufgebaut, deren Identifizierung nicht nur hilft, etwas über die Welt um uns herum zu lernen und ihre komplexen Probleme zu lösen, sondern auch alltägliche praktische Aufgaben zu vereinfachen. Was meint ein Mathematiker, wenn er sagt, dass eine Zahlenfolge konvergiert? Dies sollte genauer besprochen werden.
Was ist ein Infinitesimal?
Stellen wir uns Matroschka-Puppen vor, die ineinander passen. Ihre Größen, in Form von Zahlen geschrieben, beginnend mit dem größten und endend mit dem kleinsten von ihnen, bilden eine Sequenz. Wenn Sie sich unendlich viele solcher leuchtenden Figuren vorstellen, wird die resultierende Reihe fantastisch lang. Dies ist eine konvergente Zahlenfolge. Und es tendiert gegen Null, da die Größe jeder nachfolgenden Nistpuppe, die katastrophal abnimmt, allmählich zu nichts wird. Es ist also einfachkann erklärt werden: was ist infinitesimal.
Ein ähnliches Beispiel wäre eine Straße, die in die Ferne führt. Und die visuellen Dimensionen des vom Betrachter davonfahrenden Autos werden allmählich schrumpfend zu einem formlosen Fleck, der einem Punkt ähnelt. So wird die Maschine wie ein Objekt, das sich in eine unbekannte Richtung fortbewegt, unendlich klein. Die Parameter des angegebenen Körpers werden niemals Null im wörtlichen Sinne des Wortes sein, sondern tendieren in der Endgrenze immer zu diesem Wert. Daher konvergiert diese Folge wieder gegen Null.
Tropfenweise alles berechnen
Stellen wir uns nun eine weltliche Situation vor. Der Arzt verordnete dem Patienten die Einnahme des Medikaments, beginnend mit zehn Tropfen pro Tag und jeden nächsten Tag mit zwei weiteren. Und so schlug der Arzt vor, fortzufahren, bis der Inh alt des Arzneimittelfläschchens, dessen Volumen 190 Tropfen beträgt, aufgebraucht ist. Aus dem Vorhergehenden folgt, dass die Anzahl solcher, pro Tag geplant, die folgende Nummernreihe sein wird: 10, 12, 14 und so weiter.
Wie finde ich die Zeit heraus, um den gesamten Kurs abzuschließen, und die Anzahl der Mitglieder der Sequenz? Hier kann man natürlich primitiv Tropfen zählen. Aber es ist viel einfacher, angesichts des Musters, die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge mit einem Schritt d=2 zu verwenden. Und mit dieser Methode herauszufinden, dass die Anzahl der Mitglieder der Zahlenreihe 10 ist. In diesem Fall, a10=28. Die Peniszahl gibt die Anzahl der Tage an, an denen das Medikament eingenommen wurde, und 28 entspricht der Anzahl der Tropfen, die der Patient einnehmen sollteEinsatz am letzten Tag. Konvergiert diese Folge? Nein, denn trotz der Begrenzung auf 10 von unten und 28 von oben hat eine solche Zahlenreihe im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen keine Begrenzung.
Was ist der Unterschied?
Lassen Sie uns nun versuchen zu klären: wann sich die Zahlenreihe als konvergente Folge herausstellt. Eine solche Definition steht, wie sich aus dem Obigen schließen lässt, in direktem Zusammenhang mit dem Begriff einer endlichen Grenze, deren Vorhandensein den Kern der Problematik offenbart. Was ist also der grundlegende Unterschied zwischen den zuvor genannten Beispielen? Und warum kann in letzterem die Zahl 28 nicht als Grenzwert der Zahlenreihe X =10 + 2(n-1) betrachtet werden?
Um diese Frage zu klären, betrachten Sie eine andere Folge, die durch die folgende Formel gegeben ist, wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen gehört.
Diese Gemeinschaft von Mitgliedern ist eine Menge gemeinsamer Brüche, deren Zähler 1 ist und deren Nenner ständig zunimmt: 1, ½ …
Außerdem nähert sich jeder aufeinanderfolgende Vertreter dieser Reihe in Bezug auf die Position auf dem Zahlenstrahl immer mehr der 0. Dies bedeutet, dass eine solche Nachbarschaft entsteht, in der sich die Punkte um Null häufen, was die Grenze ist. Und je näher sie daran sind, desto dichter wird ihre Konzentration auf den Zahlenstrahl. Und der Abstand zwischen ihnen verringert sich katastrophal und wird unendlich klein. Dies ist ein Zeichen dafür, dass die Sequenz konvergiert.
ÄhnlichDaher sind die in der Abbildung gezeigten mehrfarbigen Rechtecke, wenn sie sich im Raum entfernen, visuell überfüllter, wobei die hypothetische Grenze vernachlässigbar wird.
Unendlich große Sequenzen
Nachdem wir die Definition einer konvergenten Folge analysiert haben, gehen wir zu den Gegenbeispielen über. Viele von ihnen sind den Menschen seit der Antike bekannt. Die einfachsten Varianten divergierender Folgen sind die Reihen natürlicher und gerader Zahlen. Sie werden auf andere Weise als unendlich groß bezeichnet, da ihre Mitglieder, immer mehr werdend, sich immer mehr der positiven Unendlichkeit nähern.
Ein Beispiel dafür können auch arithmetische und geometrische Progressionen sein, bei denen Schrittweite bzw. Nenner größer als Null sind. Außerdem gelten Zahlenreihen als divergierende Folgen, die überhaupt keine Grenze haben. Beispiel: X =(-2) -1.
Fibonacci-Folge
Der praktische Nutzen der zuvor erwähnten Zahlenreihen für die Menschheit ist unbestreitbar. Aber es gibt unzählige andere großartige Beispiele. Eine davon ist die Fibonacci-Folge. Jedes seiner Mitglieder, die mit eins beginnen, ist die Summe der vorherigen. Seine ersten beiden Vertreter sind 1 und 1. Der dritte 1+1=2, der vierte 1+2=3, der fünfte 2+3=5. Außerdem folgen nach der gleichen Logik die Zahlen 8, 13, 21 usw.
Diese Zahlenreihe wächst unendlich und hat keineendgültige Grenze. Aber es hat eine andere wunderbare Eigenschaft. Das Verhältnis jeder vorherigen Zahl zur nächsten nähert sich in seinem Wert immer mehr dem Wert 0,618. Hier können Sie den Unterschied zwischen einer konvergenten und einer divergenten Folge verstehen, denn wenn Sie eine Reihe von erh altenen Teilteilungen vornehmen, wird das angezeigte Zahlensystem haben eine endliche Grenze von 0,618.
Folge von Fibonacci-Verhältnissen
Die oben angegebenen Zahlenreihen werden häufig für praktische Zwecke zur technischen Analyse von Märkten verwendet. Dies beschränkt sich jedoch nicht auf seine Fähigkeiten, die die Ägypter und Griechen in der Antike kannten und in die Praxis umsetzen konnten. Dies beweisen die von ihnen gebauten Pyramiden und der Parthenon. Schließlich ist die Zahl 0,618 ein konstanter Koeffizient des goldenen Schnitts, der in alten Zeiten wohlbekannt war. Nach dieser Regel kann jedes beliebige Segment so geteilt werden, dass das Verhältnis seiner Teile mit dem Verhältnis des größten der Segmente zur Gesamtlänge übereinstimmt.
Lassen Sie uns eine Reihe der angegebenen Beziehungen konstruieren und versuchen, diese Folge zu analysieren. Die Zahlenreihe wird wie folgt sein: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 und so weiter. Wenn wir auf diese Weise fortfahren, können wir sicherstellen, dass der Grenzwert der konvergenten Folge tatsächlich 0,618 ist, aber es ist notwendig, andere Eigenschaften dieser Regelmäßigkeit zu beachten. Hier scheinen die Zahlen zufällig zu gehen und überhaupt nicht in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge. Das bedeutet, dass diese konvergente Folge nicht monoton ist. Warum das so ist, wird weiter diskutiert.
Monotonie und Begrenzung
Mitglieder der Zahlenreihe können mit zunehmender Zahl deutlich abnehmen (wenn x1>x2>x3>…>x >…) oder aufsteigend (wenn x1<x2<x3<…<x <…). In diesem Fall spricht man von einer streng monotonen Folge. Es können auch andere Muster beobachtet werden, bei denen die numerische Reihe nicht absteigend und nicht ansteigend ist (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… oder x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), dann ist auch die sukzessive Konvergente monoton, nur nicht im strengen Sinne. Ein gutes Beispiel für die erste dieser Optionen ist die Zahlenreihe, die durch die folgende Formel gegeben ist.
Nachdem Sie die Zahlen dieser Reihe gem alt haben, können Sie sehen, dass eines ihrer Mitglieder, die sich auf unbestimmte Zeit 1 nähern, diesen Wert niemals überschreiten wird. In diesem Fall heißt die konvergente Folge beschränkt. Dies geschieht immer dann, wenn es eine solche positive Zahl M gibt, die immer größer ist als jeder der Terme der Reihe modulo. Wenn eine Zahlenreihe Zeichen der Monotonie hat und einen Grenzwert hat und daher konvergiert, dann ist sie notwendigerweise mit einer solchen Eigenschaft ausgestattet. Und das Gegenteil muss nicht der Fall sein. Dies wird durch den Beschränktheitssatz für eine konvergente Folge belegt.
Die Anwendung solcher Beobachtungen in der Praxis ist sehr nützlich. Lassen Sie uns ein konkretes Beispiel geben, indem wir die Eigenschaften der Folge X =untersuchenn/n+1, und beweisen Sie ihre Konvergenz. Es ist leicht zu zeigen, dass sie monoton ist, da (x +1 – x) eine positive Zahl ist für beliebige n Werte. Der Grenzwert der Folge ist gleich der Zahl 1, was bedeutet, dass alle Bedingungen des obigen Satzes, auch Satz von Weierstraß genannt, erfüllt sind. Der Satz über die Beschränktheit einer konvergenten Folge besagt, dass sie sich, wenn sie einen Grenzwert hat, in jedem Fall als beschränkt erweist. Nehmen wir jedoch das folgende Beispiel. Die Zahlenreihe X =(-1) ist nach unten durch -1 und nach oben durch 1 begrenzt. Aber diese Folge ist nicht monoton, hat keine Grenzwert, konvergiert also nicht. Das heißt, die Existenz einer Grenze und Konvergenz folgt nicht immer aus der Beschränkung. Damit dies funktioniert, müssen die unteren und oberen Grenzen übereinstimmen, wie im Fall von Fibonacci-Verhältnissen.
Zahlen und Gesetze des Universums
Die einfachsten Varianten einer konvergenten und divergenten Folge sind vielleicht die Zahlenreihen X =n und X =1/n. Die erste davon ist eine natürliche Zahlenreihe. Sie ist, wie bereits erwähnt, unendlich groß. Die zweite konvergente Folge ist begrenzt, und ihre Terme sind nahezu unendlich klein. Jede dieser Formeln verkörpert eine der Seiten des facettenreichen Universums und hilft einer Person, sich etwas Unerkennbares vorzustellen und zu berechnen, das für die begrenzte Wahrnehmung in der Sprache der Zahlen und Zeichen unzugänglich ist.
Die Gesetze des Universums, die von vernachlässigbar bis unglaublich groß reichen, drücken auch den Goldenen Schnitt von 0,618 ausSie glauben, dass es die Grundlage der Essenz der Dinge ist und von der Natur verwendet wird, um ihre Teile zu bilden. Die Beziehungen zwischen dem nächsten und dem vorherigen Glied der Fibonacci-Reihe, die wir bereits erwähnt haben, vervollständigen nicht die Demonstration der erstaunlichen Eigenschaften dieser einzigartigen Reihe. Wenn wir den Quotienten der Division des vorherigen Terms durch den nächsten durch eins betrachten, erh alten wir eine Reihe von 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 und so weiter. Es ist interessant, dass diese begrenzte Folge konvergiert, sie ist nicht monoton, aber das Verhältnis der benachbarten Zahlenextreme von einem bestimmten Mitglied ist immer ungefähr gleich 0,382, was auch in der Architektur, der technischen Analyse und anderen Branchen verwendet werden kann.
Es gibt noch andere interessante Koeffizienten der Fibonacci-Reihe, sie alle spielen in der Natur eine besondere Rolle und werden auch vom Menschen für praktische Zwecke verwendet. Mathematiker sind sich sicher, dass sich das Universum nach einer bestimmten "goldenen Spirale" entwickelt, die aus den angegebenen Koeffizienten gebildet wird. Mit ihrer Hilfe lassen sich viele Phänomene berechnen, die auf der Erde und im Weltraum auftreten, von der Vermehrung bestimmter Bakterien bis hin zur Bewegung ferner Kometen. Wie sich herausstellt, gehorcht der DNA-Code ähnlichen Gesetzen.
Abnehmende geometrische Progression
Es gibt einen Satz, der die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer konvergenten Folge behauptet. Das bedeutet, dass es nicht zwei oder mehr Grenzen haben kann, was zweifellos wichtig ist, um seine mathematischen Eigenschaften zu finden.
Schauen wir uns einige anFälle. Jede Zahlenreihe, die aus Mitgliedern einer arithmetischen Folge besteht, ist divergent, mit Ausnahme des Falls mit einem Nullschritt. Gleiches gilt für eine geometrische Folge, deren Nenner größer als 1 ist. Die Grenzen solcher Zahlenreihen sind das „Plus“oder „Minus“von Unendlich. Wenn der Nenner kleiner als -1 ist, gibt es überhaupt keine Begrenzung. Andere Optionen sind möglich.
Betrachte die Zahlenreihe, die durch die Formel X =(1/4) -1 gegeben ist. Auf den ersten Blick ist leicht zu erkennen, dass diese konvergente Folge beschränkt ist, da sie streng fallend ist und keinesfalls negative Werte annehmen kann.
Schreiben wir eine Anzahl seiner Mitglieder hintereinander.
Es wird sich herausstellen: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 und so weiter. Ganz einfache Berechnungen genügen, um zu verstehen, wie schnell diese geometrische Progression von den Nennern 0<q<1 abnimmt. Während der Nenner der Terme unendlich wächst, werden sie selbst infinitesimal. Das bedeutet, dass der Grenzwert der Zahlenreihe 0 ist. Dieses Beispiel demonstriert noch einmal die Beschränktheit der konvergenten Folge.
Grundlegende Sequenzen
Augustin Louis Cauchy, ein französischer Wissenschaftler, enthüllte der Welt viele Arbeiten im Zusammenhang mit mathematischer Analyse. Er definierte Konzepte wie Differential, Integral, Grenze und Kontinuität. Er untersuchte auch die grundlegenden Eigenschaften konvergenter Folgen. Um die Essenz seiner Ideen zu verstehen,Einige wichtige Details müssen zusammengefasst werden.
Ganz am Anfang des Artikels wurde gezeigt, dass es solche Sequenzen gibt, für die es eine Nachbarschaft gibt, in der die Punkte, die die Mitglieder einer bestimmten Reihe auf der realen Linie darstellen, sich zu häufen beginnen und sich immer mehr aneinanderreihen dicht. Gleichzeitig nimmt der Abstand zwischen ihnen mit zunehmender Zahl des nächsten Repräsentanten ab und wird unendlich klein. Es stellt sich also heraus, dass in einer gegebenen Umgebung unendlich viele Vertreter einer gegebenen Reihe gruppiert sind, während es außerhalb davon eine endliche Anzahl von ihnen gibt. Solche Folgen nennt man fundamental.
Das berühmte Cauchy-Kriterium, das von einem französischen Mathematiker entwickelt wurde, zeigt deutlich, dass das Vorhandensein einer solchen Eigenschaft ausreicht, um zu beweisen, dass die Folge konvergiert. Das Gegenteil gilt auch.
Es sei darauf hingewiesen, dass diese Schlussfolgerung des französischen Mathematikers hauptsächlich von rein theoretischem Interesse ist. Ihre Anwendung in der Praxis wird als ziemlich kompliziert angesehen, daher ist es zur Klärung der Konvergenz von Reihen viel wichtiger, die Existenz eines endlichen Grenzwerts für eine Folge zu beweisen. Andernfalls wird es als abweichend betrachtet.
Beim Lösen von Problemen sollte man auch die grundlegenden Eigenschaften konvergenter Folgen berücksichtigen. Sie werden unten angezeigt.
Unendliche Summen
So berühmte Wissenschaftler der Antike wie Archimedes, Euklid, Eudoxus verwendeten die Summen unendlicher Zahlenreihen, um die Längen von Kurven und das Volumen von Körpern zu berechnenund Figurenbereiche. Insbesondere war es auf diese Weise möglich, die Fläche des Parabelsegments herauszufinden. Dazu wurde die Summe der Zahlenreihen einer geometrischen Folge mit q=1/4 verwendet. Die Volumen und Flächen anderer willkürlicher Figuren wurden auf ähnliche Weise gefunden. Diese Option wurde als „Erschöpfungsmethode“bezeichnet. Die Idee war, dass der untersuchte Körper mit komplexer Form in Teile zerlegt wurde, die Figuren mit leicht messbaren Parametern waren. Aus diesem Grund war es nicht schwierig, ihre Flächen und Volumen zu berechnen, und dann wurden sie addiert.
Ähnliche Aufgaben sind übrigens modernen Schulkindern sehr vertraut und finden sich in USE-Aufgaben. Die einzigartige Methode, die von entfernten Vorfahren gefunden wurde, ist bei weitem die einfachste Lösung. Auch wenn es nur zwei oder drei Teile gibt, in die die Zahl geteilt wird, ist die Addition ihrer Flächen immer noch die Summe der Zahlenreihe.
Viel später als die antiken griechischen Wissenschaftler Leibniz und Newton, basierend auf der Erfahrung ihrer weisen Vorgänger, lernten die Muster der integralen Berechnung. Die Kenntnis der Eigenschaften von Folgen half ihnen beim Lösen von Differentialgleichungen und algebraischen Gleichungen. Gegenwärtig bietet die Reihentheorie, die durch die Bemühungen vieler Generationen talentierter Wissenschaftler geschaffen wurde, die Möglichkeit, eine Vielzahl mathematischer und praktischer Probleme zu lösen. Und das Studium numerischer Folgen war das Hauptproblem, das von der mathematischen Analyse seit ihren Anfängen gelöst wurde.
