Das Thema "Arithmetische Progression" wird im Allgemeinen Kurs Algebra in Schulen in der 9. Klasse behandelt. Dieses Thema ist wichtig für die weitere Vertiefung in die Mathematik der Zahlenreihen. In diesem Artikel lernen wir die arithmetische Folge, ihre Unterschiede sowie typische Aufgaben kennen, denen sich Schulkinder stellen können.
Das Konzept der algebraischen Progression
Numerische Folge ist eine Folge von Zahlen, in der jedes nachfolgende Element aus dem vorherigen erh alten werden kann, wenn ein mathematisches Gesetz angewendet wird. Es gibt zwei einfache Arten der Progression: geometrisch und arithmetisch, was auch algebraisch genannt wird. Lassen Sie uns näher darauf eingehen.
Stellen wir uns eine rationale Zahl vor, bezeichnen Sie sie mit dem Symbol a1, wobei der Index ihre Ordnungszahl in der betrachteten Reihe angibt. Fügen wir eine andere Zahl zu a1 hinzu, bezeichnen wir sie mit d. Dann die zweiteein Element einer Reihe kann wie folgt dargestellt werden: a2=a1+d. Addieren Sie nun wieder d, erh alten wir: a3=a2+d. Wenn Sie diese mathematische Operation fortsetzen, können Sie eine ganze Reihe von Zahlen erh alten, die als arithmetische Folge bezeichnet werden.
Wie aus dem Obigen ersichtlich ist, müssen Sie, um das n-te Element dieser Folge zu finden, die Formel verwenden: a =a1+ (n -1)d. Tatsächlich erh alten wir durch Einsetzen von n=1 in den Ausdruck a1=a1, wenn n=2, dann impliziert die Formel: a2=a1 + 1d, und so weiter.
Wenn beispielsweise die Differenz einer arithmetischen Folge 5 ist und a1=1, dann bedeutet dies, dass die Zahlenreihe des betreffenden Typs wie folgt aussieht: 1, 6, 11, 16, 21, … Wie Sie sehen können, ist jeder seiner Terme um 5 größer als der vorherige.
Formeln für die Differenz der arithmetischen Progression
Aus der obigen Definition der betrachteten Zahlenreihe folgt, dass man zu ihrer Bestimmung zwei Zahlen kennen muss: a1 und d. Letzteres wird als Differenz dieser Progression bezeichnet. Sie bestimmt eindeutig das Verh alten der gesamten Serie. Ist nämlich d positiv, so wächst die Zahlenreihe ständig, bei negativem d dagegen steigen die Zahlen der Reihe nur modulo, während ihr Betrag mit steigender Zahl n. abnimmt
Was ist der Unterschied der arithmetischen Folge? Betrachten Sie die beiden Hauptformeln, die zur Berechnung dieses Werts verwendet werden:
- d=an+1-a folgt diese Formel direkt aus der Definition der betreffenden Zahlenreihe.
- d=(-a1+a)/(n-1), dieser Ausdruck wird durch Ausdrücken von d aus der angegebenen Formel erh alten im vorigen Absatz des Artikels. Beachten Sie, dass dieser Ausdruck unbestimmt (0/0) wird, wenn n=1. Dies liegt daran, dass es notwendig ist, mindestens 2 Elemente der Reihe zu kennen, um ihren Unterschied zu bestimmen.
Diese beiden grundlegenden Formeln werden verwendet, um jedes Problem zu lösen, bei dem es darum geht, die Progressionsdifferenz zu finden. Es gibt jedoch noch eine andere Formel, die Sie ebenfalls kennen müssen.
Summe der ersten Elemente
Die Formel, mit der sich nach historischen Erkenntnissen die Summe beliebig vieler Glieder einer algebraischen Folge bestimmen lässt, wurde erstmals vom „Fürsten“der Mathematik des 18. Jahrhunderts, Carl Gauß, aufgestellt. Ein deutscher Wissenschaftler bemerkte, als er noch ein Junge in der Grundschule einer Dorfschule war, dass man, um natürliche Zahlen in der Reihe von 1 bis 100 zu addieren, zuerst das erste Element und das letzte Element summieren muss (der resultierende Wert ist gleich zur Summe der vorletzten und zweiten, vorletzten und dritten Elemente usw.), und dann sollte diese Zahl mit der Anzahl dieser Beträge multipliziert werden, also mit 50.
Die Formel, die das angegebene Ergebnis an einem bestimmten Beispiel widerspiegelt, kann auf einen beliebigen Fall verallgemeinert werden. Es sieht so aus: S =n/2(a +a1). Beachten Sie, dass zum Ermitteln des angegebenen Werts keine Kenntnis der Differenz d erforderlich ist.wenn zwei Terme der Progression bekannt sind (a und a1).
Beispiel 1. Bestimmen Sie die Differenz, indem Sie die beiden Terme der Reihe a1 und an
kennen
Lassen Sie uns zeigen, wie man die oben im Artikel erwähnten Formeln anwendet. Lassen Sie uns ein einfaches Beispiel geben: Die Differenz der arithmetischen Progression ist unbekannt, es ist notwendig zu bestimmen, wie sie gleich ist, wenn a13=-5, 6 und a1 =-12, 1.
Da wir die Werte von zwei Elementen der Zahlenfolge kennen und eines davon die erste Zahl ist, können wir mit Formel Nr. 2 die Differenz d ermitteln. Wir haben: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. In dem Ausdruck haben wir den Wert n=13 verwendet, da das Mitglied mit dieser Seriennummer ist bekannt.
Die resultierende Differenz zeigt an, dass die Progression zunimmt, obwohl die in der Problembedingung angegebenen Elemente einen negativen Wert haben. Es ist ersichtlich, dass a13>a1, obwohl |a13|<|a 1 |.
Beispiel 2. Positive Mitglieder der Progression in Beispiel 1
Lassen Sie uns das im vorherigen Beispiel erh altene Ergebnis verwenden, um ein neues Problem zu lösen. Sie wird wie folgt formuliert: Ab welcher Sequenznummer beginnen die Elemente der Progression in Beispiel 1 positive Werte anzunehmen?
Wie gezeigt, ist die Progression, in der a1=-12, 1 und d=0,54167 ist, steigend, also beginnen die Zahlen ab einer Zahl nur noch positiv zu werden Werte. Um diese Zahl n zu bestimmen, muss man eine einfache Ungleichung lösen, nämlichmathematisch so geschrieben: a >0 oder wir schreiben die Ungleichung mit der entsprechenden Formel um: a1 + (n-1)d>0. Es ist notwendig, das unbekannte n zu finden, sagen wir es aus: n>-1a1/d + 1. Jetzt müssen die bekannten Werte der Differenz und des ersten Elements ersetzt werden der Folge. Wir erh alten: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 oder n>23, 338. Da n nur ganzzahlige Werte annehmen kann, folgt aus der resultierenden Ungleichung, dass alle Mitglieder der Reihe dies tun werden eine Zahl größer als 23 ist positiv.
Überprüfe deine Antwort, indem du die obige Formel verwendest, um das 23. und 24. Element dieser arithmetischen Folge zu berechnen. Wir haben: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negative Zahl); a24=-12, 1 + 230,54167=0,3584 (positiver Wert). Damit ist das erh altene Ergebnis richtig: Ab n=24 sind alle Glieder der Zahlenreihe größer als Null.
Beispiel 3. Wie viele Stämme passen hinein?
Geben wir ein merkwürdiges Problem an: Während des Holzeinschlags wurde entschieden, gesägte Baumstämme übereinander zu stapeln, wie in der Abbildung unten gezeigt. Wie viele Stämme können auf diese Weise gestapelt werden, wenn man weiß, dass insgesamt 10 Reihen passen?
Bei dieser Art des Stapelns von Protokollen können Sie eine interessante Sache bemerken: Jede nachfolgende Zeile enthält ein Protokoll weniger als die vorherige, dh es gibt eine algebraische Progression, deren Differenz d=1 ist. Unter der Annahme, dass die Anzahl der Protokolle in jeder Zeile ein Mitglied dieser Progression ist,und da a1=1 (nur ein Balken passt ganz oben), finden wir die Zahl a10. Wir haben: a10=1 + 1(10-1)=10. Das heißt, in der 10. Reihe, die auf dem Boden liegt, liegen 10 Scheite.
Die Gesamtmenge dieser "pyramidenförmigen" Konstruktion kann mit der Gauß-Formel erh alten werden. Wir erh alten: S10=10/2(10+1)=55 Protokolle.
