Das Studium der Eigenschaften räumlicher Figuren spielt eine wichtige Rolle bei der Lösung praktischer Probleme. Die Wissenschaft, die sich mit Figuren im Raum beschäftigt, heißt Stereometrie. In diesem Artikel betrachten wir aus Sicht der Festkörpergeometrie einen Kegel und zeigen, wie man die Fläche eines Kegels ermittelt.
Kegel mit runder Basis
Im allgemeinen Fall ist ein Kegel eine auf einer ebenen Kurve aufgebaute Fläche, deren alle Punkte durch Segmente mit einem Punkt im Raum verbunden sind. Letztere wird Kegelspitze genannt.
Aus der obigen Definition geht klar hervor, dass eine Kurve eine beliebige Form haben kann, z. B. parabolisch, hyperbolisch, elliptisch usw. Trotzdem trifft man in der Praxis und bei Geometrieproblemen oft auf einen Rundkegel. Es ist im Bild unten dargestellt.
Hier bezeichnet das Symbol r den Radius des Kreises, der sich an der Basis der Figur befindet, h ist die Senkrechte auf die Ebene des Kreises, die von der Oberseite der Figur gezogen wird. Es heißt Höhe. Der Wert s ist die Erzeugende des Kegels oder seine Erzeugende.
Es ist ersichtlich, dass die Segmente r, h und sein rechtwinkliges Dreieck bilden. Wird es um das Bein h gedreht, beschreibt die Hypotenuse s die Kegelfläche und das Bein r bildet die runde Basis der Figur. Aus diesem Grund gilt der Kegel als Rotationsfigur. Die drei genannten linearen Parameter sind durch die Gleichheit miteinander verbunden:
s2=r2+ h2
Beachte, dass die gegebene Gleichheit nur für einen runden geraden Kegel gilt. Eine gerade Figur ist nur, wenn ihre Höhe genau in die Mitte des Grundkreises fällt. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, wird die Figur als schief bezeichnet. Der Unterschied zwischen geraden und schrägen Kegeln ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Formentwicklung
Das Studium der Oberfläche eines Kegels ist bequem durchzuführen, wenn man es in einer Ebene betrachtet. Diese Art, die Oberfläche von Figuren im Raum darzustellen, nennt man ihre Entwicklung. Für einen Kegel kann diese Entwicklung wie folgt erh alten werden: Sie müssen eine Figur nehmen, die beispielsweise aus Papier besteht. Schneiden Sie dann mit einer Schere die runde Basis um den Umfang herum ab. Schneiden Sie danach entlang der Erzeugenden die konische Oberfläche ab und verwandeln Sie sie in eine Ebene. Das Ergebnis dieser einfachen Operationen ist die Entwicklung des Kegels, wie in der Abbildung unten gezeigt.
Wie Sie sehen können, lässt sich die Oberfläche eines Kegels tatsächlich auf einer Ebene darstellen. Es besteht aus den folgenden zwei Teilen:
- Kreis mit Radius r, der die Basis der Figur darstellt;
- Kreissektor mit Radius g, der eine Kegelfläche ist.
Die Formel für die Fläche eines Kegels besteht darin, die Flächen beider entf alteten Flächen zu finden.
Oberfläche einer Figur berechnen
Unterteilen wir die Aufgabe in zwei Phasen. Zuerst finden wir die Fläche der Kegelbasis, dann die Fläche der Kegelfläche.
Der erste Teil des Problems ist einfach zu lösen. Da der Radius r gegeben ist, genügt es, sich den entsprechenden Ausdruck für die Fläche eines Kreises zu merken, um die Fläche der Grundfläche zu berechnen. Schreiben wir es auf:
So=pi × r2
Wenn der Radius nicht bekannt ist, sollten Sie ihn zuerst mit der Beziehungsformel zwischen ihm, der Höhe und dem Generator finden.
Der zweite Teil des Problems, die Fläche eines Kegels zu finden, ist etwas komplizierter. Beachten Sie, dass der Kreissektor auf dem Radius g der Erzeugenden aufgebaut ist und von einem Bogen begrenzt wird, dessen Länge gleich dem Umfang des Kreises ist. Diese Tatsache ermöglicht es Ihnen, den Anteil aufzuschreiben und den Winkel des betrachteten Sektors zu finden. Bezeichnen wir es mit dem griechischen Buchstaben φ. Dieser Winkel ist gleich:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Wenn du den Mittelpunktswinkel φ eines Kreissektors kennst, kannst du die entsprechende Proportion verwenden, um seine Fläche zu finden. Lassen Sie es uns mit dem Symbol Sb bezeichnen. Es ist gleich:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
Das heißt, die Fläche der Kegelfläche entspricht dem Produkt aus der Erzeugenden g, dem Radius der Basis r und der Zahl Pi.
Wissen, was die Bereiche von beiden sindFlächen betrachtet, können wir die endgültige Formel für die Fläche eines Kegels schreiben:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
Der geschriebene Ausdruck setzt die Kenntnis von zwei linearen Parametern des Kegels voraus, um S zu berechnen. Wenn g oder r unbekannt sind, können sie durch die Höhe h gefunden werden.
Das Problem der Kegelflächenberechnung
Es ist bekannt, dass die Höhe eines runden geraden Kegels gleich seinem Durchmesser ist. Es ist notwendig, die Fläche der Figur zu berechnen, da bekannt ist, dass die Fläche der Basis 50 cm beträgt2.
Wenn du die Fläche eines Kreises kennst, kannst du den Radius der Figur finden. Wir haben:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Lassen Sie uns nun den Generator g in Bezug auf h und r finden. Gemäß der Bedingung ist die Höhe h der Figur gleich zwei Radien r, dann gilt:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
Die gefundenen Formeln für g und r sollten in den Ausdruck für die gesamte Fläche des Kegels eingesetzt werden. Wir erh alten:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
In den resultierenden Ausdruck setzen wir die Fläche der Basis So ein und schreiben die Antwort auf: S ≈ 161,8 cm2.
