Geometrie ist ein Zweig der Mathematik, der Strukturen im Raum und die Beziehung zwischen ihnen untersucht. Es besteht wiederum aus Abschnitten, und einer davon ist die Stereometrie. Es ermöglicht die Untersuchung der Eigenschaften von Volumenfiguren, die sich im Raum befinden: ein Würfel, eine Pyramide, eine Kugel, ein Kegel, ein Zylinder usw.
Ein Kegel ist ein Körper im euklidischen Raum, der eine Kegelfläche und eine Ebene begrenzt, auf der die Enden seiner Erzeuger liegen. Seine Bildung erfolgt durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eines seiner Beine, daher gehört es zu den Rotationskörpern.
Kegelkomponenten
Die folgenden Arten von Zapfen werden unterschieden: schräg (oder schräg) und gerade. Schräg ist derjenige, dessen Achse den Mittelpunkt seiner Basis nicht im rechten Winkel schneidet. Aus diesem Grund fällt die Höhe in einem solchen Kegel nicht mit der Achse zusammen, da es sich um ein Segment handelt, das von der Oberseite des Körpers auf seine Ebene abgesenkt wirdBasis bei 90°.
Jenen Kegel, dessen Achse senkrecht zu seiner Grundfläche steht, nennt man einen geraden Kegel. Achse und Höhe fallen bei einem solchen geometrischen Körper dadurch zusammen, dass der Scheitel darin über dem Mittelpunkt des Grunddurchmessers liegt.
Der Kegel besteht aus folgenden Elementen:
- Der Kreis, der seine Basis bildet.
- Seite.
- Ein Punkt, der nicht in der Ebene der Basis liegt, Kegelspitze genannt.
- Segmente, die die Punkte des Kreises der Basis des geometrischen Körpers und seiner Spitze verbinden.
Alle diese Segmente sind Erzeugende des Kegels. Sie sind zur Grundfläche des geometrischen Körpers geneigt, und im Falle eines geraden Kegels sind ihre Projektionen gleich, da die Spitze von den Punkten des Grundkreises gleich weit entfernt ist. Daraus können wir schließen, dass in einem regelmäßigen (geraden) Kegel die Erzeuger gleich sind, das heißt, sie haben die gleiche Länge und bilden mit der Achse (oder Höhe) und der Basis die gleichen Winkel.
Da bei einem schiefen (oder geneigten) Rotationskörper der Scheitel relativ zum Mittelpunkt der Grundebene verschoben ist, haben die Generatoren in einem solchen Körper unterschiedliche Längen und Vorsprünge, da jeder von ihnen einen anderen Abstand hat von zwei beliebigen Punkten des Grundkreises. Außerdem unterscheiden sich auch die Winkel zwischen ihnen und die Höhe des Kegels.
Die Länge der Generatoren in einem geraden Kegel
Wie bereits geschrieben, ist die Höhe in einem geraden geometrischen Rotationskörper senkrecht zur Ebene der Basis. Erzeugende, Höhe und Radius der Basis bilden also im Kegel ein rechtwinkliges Dreieck.
Das heißt, wenn Sie den Radius der Basis und die Höhe kennen, können Sie mit der Formel aus dem Satz des Pythagoras die Länge der Erzeugenden berechnen, die gleich der Summe der Quadrate des Basisradius und ist Höhe:
l2 =r2+ h2 oder l=√r 2 + h2
wobei l eine Erzeugende ist;
r – Radius;
h – Höhe.
Generativ in einem schrägen Kegel
Aufgrund der Tatsache, dass in einem schiefen oder schiefen Kegel die Generatoren nicht gleich lang sind, ist es nicht möglich, sie ohne zusätzliche Konstruktionen und Berechnungen zu berechnen.
Zuerst müssen Sie die Höhe, die Länge der Achse und den Radius der Basis kennen.
Mit diesen Daten können Sie den Teil des Radius, der zwischen der Achse und der Höhe liegt, mit der Formel aus dem Satz des Pythagoras berechnen:
r1=√k2 - h2
wobei r1 der Teil des Radius zwischen der Achse und der Höhe ist;
k – Achslänge;
h – Höhe.
Durch Addition des Radius (r) und seines zwischen der Achse und der Höhe liegenden Anteils (r1) erhält man die volle Seite der rechten Seite Dreieck, das aus der Mantellinie des Kegels, seiner Höhe und seinem Durchmesser besteht:
R=r + r1
wobei R der Schenkel des Dreiecks ist, das aus der Höhe, Erzeugenden und einem Teil des Durchmessers der Basis gebildet wird;
r – Basisradius;
r1 – Teil des Radius zwischen Achse und Höhe.
Mit derselben Formel aus dem Satz des Pythagoras kannst du die Länge der Erzeugenden des Kegels ermitteln:
l=√h2+ R2
oder, ohne R separat zu berechnen, kombinieren Sie die beiden Formeln zu einer:
l=√h2 + (r + r1)2.
Egal ob es sich um einen geraden oder schiefen Kegel handelt und welche Art von Eingabedaten, alle Methoden zur Bestimmung der Länge der Erzeugenden laufen immer auf ein Ergebnis hinaus - die Anwendung des Satzes des Pythagoras.
Kegelabschnitt
Axialschnitt eines Kegels ist eine Ebene, die entlang seiner Achse oder Höhe verläuft. In einem geraden Kegel ist ein solcher Abschnitt ein gleichschenkliges Dreieck, in dem die Höhe des Dreiecks die Höhe des Körpers ist, seine Seiten die Generatoren sind und die Basis der Durchmesser der Basis ist. Bei einem gleichseitigen geometrischen Körper ist der Axialschnitt ein gleichseitiges Dreieck, da bei diesem Kegel der Durchmesser der Basis und der Generatoren gleich sind.
Die Ebene des Axialschnitts in einem geraden Kegel ist die Symmetrieebene. Der Grund dafür ist, dass seine Spitze über der Mitte seiner Basis liegt, dh die Ebene des Axialschnitts teilt den Kegel in zwei identische Teile.
Da bei einem geneigten Körper Höhe und Achse nicht übereinstimmen, darf die Ebene des Axialschnitts die Höhe nicht enth alten. Wenn es möglich ist, in einem solchen Kegel eine Reihe von Axialschnitten zu konstruieren, da dazu nur eine Bedingung beachtet werden muss - es muss nur durch die Achse verlaufen, dann nur ein Axialschnitt der Ebene, der zur Höhe von gehört dieser Kegel, gezogen werden kann, weil die Anzahl der Zustände zunimmt und bekanntlich zwei Linien (zusammen) dazugehören könnennur ein Flugzeug.
Bereich
Der axiale Schnitt des zuvor erwähnten Kegels ist ein Dreieck. Daraus lässt sich seine Fläche mit der Formel für die Fläche eines Dreiecks berechnen:
S=1/2dh oder S=1/22rh
wobei S die Querschnittsfläche ist;
d – Basisdurchmesser;
r – Radius;
h – Höhe.
Bei einem schiefen oder schiefen Kegel ist der Schnitt entlang der Achse ebenfalls ein Dreieck, daher wird die Querschnittsfläche darin ähnlich berechnet.
Lautstärke
Da ein Kegel eine dreidimensionale Figur im dreidimensionalen Raum ist, können wir sein Volumen berechnen. Das Volumen eines Kegels ist eine Zahl, die diesen Körper in einer Volumeneinheit charakterisiert, also in m3. Die Berechnung ist unabhängig davon, ob gerade oder schräg (schräg), da sich die Formeln für diese beiden Körperarten nicht unterscheiden.
Wie bereits erwähnt, entsteht ein rechtwinkliger Kegel durch die Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks entlang eines seiner Schenkel. Ein geneigter oder schiefer Kegel ist anders geformt, da seine Höhe von der Mitte der Basisebene des Körpers weg verschoben ist. Solche Unterschiede in der Struktur haben jedoch keinen Einfluss auf die Methode zur Berechnung des Volumens.
Volumenberechnung
Die Formel für das Volumen eines Kegels sieht so aus:
V=1/3πhr2
wobei V das Volumen des Kegels ist;
h – Höhe;
r – Radius;
π - Konstante gleich 3, 14.
Um das Volumen eines Kegels zu berechnen, benötigen Sie Daten über die Höhe und den Radius der Basis des Körpers.
Um die Höhe eines Körpers zu berechnen, muss man den Radius der Basis und die Länge seiner Mantellinie kennen. Da Radius, Höhe und Erzeugende zu einem rechtwinkligen Dreieck zusammengefasst werden, lässt sich die Höhe mit der Formel aus dem Satz des Pythagoras berechnen (a2+ b2=c 2 oder in unserem Fall h2+ r2=l2 , wobei l - Erzeugende). In diesem Fall wird die Höhe berechnet, indem die Quadratwurzel aus der Differenz zwischen den Quadraten der Hypotenuse und dem anderen Bein gezogen wird:
a=√c2- b2
Das heißt, die Höhe des Kegels ist gleich dem Wert, den man erhält, nachdem man die Quadratwurzel aus der Differenz zwischen dem Quadrat der Länge der Mantellinie und dem Quadrat des Radius der Basis gezogen hat:
h=√l2 - r2
Berechnung der Höhe mit dieser Methode und Kenntnis des Radius seiner Basis, können Sie das Volumen des Kegels berechnen. Dabei spielt die Erzeugende eine wichtige Rolle, da sie als Hilfselement bei den Berechnungen dient.
In ähnlicher Weise kannst du, wenn du die Höhe des Körpers und die Länge seiner Mantellinie kennst, den Radius seiner Grundfläche finden, indem du die Quadratwurzel aus der Differenz zwischen dem Quadrat der Mantellinie und dem Quadrat der Höhe ziehst:
r=√l2 - h2
Berechnen Sie dann mit der gleichen Formel wie oben das Volumen des Kegels.
Schrägkegelvolumen
Da die Formel für das Volumen eines Kegels für alle Arten von Rotationskörpern gleich ist, besteht der Unterschied in ihrer Berechnung in der Suche nach der Höhe.
Um die Höhe eines schiefen Kegels zu ermitteln, müssen die Eingabedaten die Länge der Erzeugenden, den Radius der Basis und den Abstand zwischen den Mittelpunkten enth altenBasis und dem Schnittpunkt der Höhe des Körpers mit der Ebene seiner Basis. Wenn Sie dies wissen, können Sie leicht den Teil des Basisdurchmessers berechnen, der die Basis eines rechtwinkligen Dreiecks ist (gebildet aus der Höhe, der Erzeugenden und der Ebene der Basis). Berechnen Sie dann wieder mit dem Satz des Pythagoras die Höhe des Kegels und anschließend sein Volumen.
