Jeder Schüler im Studium der Stereometrie in der High School stieß auf einen Kegel. Zwei wichtige Merkmale dieser Raumfigur sind Oberfläche und Volumen. In diesem Artikel zeigen wir, wie man das Volumen eines runden Kegels ermittelt.
Runder Kegel als Rotationsfigur eines rechtwinkligen Dreiecks
Bevor wir direkt zum Thema des Artikels übergehen, ist es notwendig, den Kegel aus geometrischer Sicht zu beschreiben.
Es gebe ein rechtwinkliges Dreieck. Wenn Sie es um eines der Beine drehen, ist das Ergebnis dieser Aktion die gewünschte Figur, die in der folgenden Abbildung gezeigt wird.
Hier ist das Bein AB Teil der Achse des Kegels und seine Länge entspricht der Höhe der Figur. Der zweite Schenkel (Segment CA) ist der Radius des Kegels. Während der Drehung beschreibt es einen Kreis, der die Basis der Figur begrenzt. Die Hypotenuse BC wird die Erzeugende der Figur oder ihre Erzeugende genannt. Punkt B ist der einzige Scheitelpunkt des Kegels.
Angesichts der Eigenschaften des Dreiecks ABC können wir die Beziehung zwischen der Erzeugenden g, dem Radius r und der Höhe h wie folgt schreibenGleichheit:
g2=h2+ r2
Diese Formel ist nützlich, um viele geometrische Probleme mit der betreffenden Figur zu lösen.
Kegelvolumenformel
Das Volumen einer Raumfigur ist die Raumfläche, die durch die Flächen dieser Figur begrenzt wird. Es gibt zwei solche Flächen für einen Kegel:
- Seitlich oder konisch. Es wird von allen Erzeugenden gebildet.
- Stiftung. In diesem Fall ist es ein Kreis.
Ermittle die Formel zur Bestimmung des Volumens eines Kegels. Dazu schneiden wir es gedanklich in viele Schichten parallel zur Basis. Jede der Schichten hat eine Dicke dx, die gegen Null geht. Die Fläche Sx der Schicht im Abstand x vom oberen Rand der Figur ist gleich dem folgenden Ausdruck:
Sx=pir2x2/h 2
Die Gültigkeit dieses Ausdrucks lässt sich intuitiv verifizieren, indem man die Werte x=0 und x=h einsetzt. Im ersten Fall erh alten wir eine Fläche gleich Null, im zweiten Fall gleich der Fläche der runden Basis.
Um das Volumen des Kegels zu bestimmen, müssen Sie kleine "Volumen" jeder Schicht addieren, dh Sie sollten die Integralrechnung verwenden:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Berechnung dieses Integrals ergibt die endgültige Formel für einen runden Kegel:
V=1/3pir2h
Es ist interessant festzustellen, dass diese Formel derjenigen völlig ähnlich ist, die verwendet wird, um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen. Diese Koinzidenz ist kein Zufall, denn jede Pyramide wird zu einem Kegel, wenn die Anzahl ihrer Kanten unendlich wird.
Volumenberechnungsproblem
Es ist nützlich, ein Beispiel zur Lösung des Problems zu geben, das die Verwendung der abgeleiteten Formel für das Volumen V demonstriert.
Gegeben sei ein runder Kegel mit einer Grundfläche von 37 cm2 und der Generator der Figur habe den dreifachen Radius. Welches Volumen hat der Kegel?
Wir haben das Recht, die Volumenformel zu verwenden, wenn wir zwei Größen kennen: die Höhe h und den Radius r. Lassen Sie uns die Formeln finden, die sie in Übereinstimmung mit der Bedingung des Problems bestimmen.
Radius r kann berechnet werden, indem man die Fläche des Kreises So kennt, wir haben:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
Unter Verwendung der Bedingung des Problems schreiben wir die Gleichheit für den Generator g:
g=3r=3√(So/pi)
Mit Kenntnis der Formeln für r und g die Höhe h berechnen:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
Wir haben alle notwendigen Parameter gefunden. Jetzt ist es an der Zeit, sie in die Formel für V einzusetzen:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Es bleibt zu ersetzenGrundfläche So und Volumenwert berechnen: V=119,75 cm3.
