Jede physikalische Größe, die in mathematischen Gleichungen beim Studium eines bestimmten Naturphänomens vorgeschlagen wird, hat eine gewisse Bedeutung. Das Trägheitsmoment ist keine Ausnahme von dieser Regel. Die physikalische Bedeutung dieser Größe wird in diesem Artikel ausführlich diskutiert.
Trägheitsmoment: mathematische Formulierung
Zunächst sei gesagt, dass die betrachtete physikalische Größe dazu dient, Rotationssysteme zu beschreiben, also solche Bewegungen eines Objekts, die durch Kreisbahnen um eine Achse oder einen Punkt gekennzeichnet sind.
Geben wir die mathematische Formel für das Trägheitsmoment eines materiellen Punktes an:
I=mr2.
Hier sind m und r die Masse bzw. der Rotationsradius (Abstand zur Achse) des Teilchens. Jeder feste Körper, egal wie komplex er auch sein mag, kann mental in materielle Punkte unterteilt werden. Dann sieht die Formel für das Trägheitsmoment in allgemeiner Form so aus:
I=∫mr2dm.
Dieser Ausdruck gilt immer und nicht nur für dreidimensionale,sondern auch für zweidimensionale (eindimensionale) Körper, also für Ebenen und Stäbe.
Aus diesen Formeln ist die Bedeutung des physikalischen Trägheitsmoments schwer zu verstehen, aber eine wichtige Schlussfolgerung kann gezogen werden: Es hängt von der Massenverteilung im Körper ab, der sich dreht, sowie vom Abstand zu die Rotationsachse. Außerdem ist die Abhängigkeit von r stärker als von m (siehe Quadratzeichen in den Formeln).
Kreisbewegung
Verstehen Sie, was die physikalische Bedeutung des Trägheitsmoments ist, es ist unmöglich, wenn Sie die kreisförmige Bewegung von Körpern nicht berücksichtigen. Ohne ins Detail zu gehen, hier zwei mathematische Ausdrücke, die die Drehung beschreiben:
I1ω1=I2ω 2;
M=I dω/dt.
Die obere Gleichung heißt Erh altungssatz der Größe L (Impuls). Das bedeutet, dass egal welche Änderungen innerhalb des Systems auftreten (zuerst gab es ein Trägheitsmoment I1, und dann wurde es gleich I2), bleibt das Produkt I mit der Winkelgeschwindigkeit ω, also der Drehimpuls, unverändert.
Der untere Ausdruck zeigt die Änderung der Rotationsgeschwindigkeit des Systems (dω/dt), wenn ein bestimmtes Kraftmoment M darauf ausgeübt wird, das einen externen Charakter hat, dh es wird nicht durch Kräfte erzeugt bezogen auf interne Prozesse im betrachteten System.
Sowohl die obere als auch die untere Gleichung enth alten I, und je größer ihr Wert ist, desto niedriger ist die Winkelgeschwindigkeit ω oder die Winkelbeschleunigung dω/dt. Das ist die physikalische Bedeutung des Augenblicks. Körperträgheit: Sie spiegelt die Fähigkeit des Systems wider, seine Winkelgeschwindigkeit beizubeh alten. Je mehr ich, desto stärker manifestiert sich diese Fähigkeit.
Analogie des linearen Impulses
Lassen Sie uns nun zu derselben Schlussfolgerung übergehen, die am Ende des vorherigen Absatzes geäußert wurde, indem wir eine Analogie zwischen Rotations- und Translationsbewegung in der Physik ziehen. Letzteres wird bekanntlich durch folgende Formel beschrieben:
p=mv.
Dieser einfache Ausdruck bestimmt den Impuls des Systems. Vergleichen wir seine Form mit der des Drehimpulses (siehe oberen Ausdruck im vorigen Absatz). Wir sehen, dass die Werte v und ω die gleiche Bedeutung haben: Der erste charakterisiert die Änderungsrate der linearen Koordinaten des Objekts, der zweite charakterisiert die Winkelkoordinaten. Da beide Formeln den Vorgang der gleichförmigen (gleichwinkligen) Bewegung beschreiben, müssen auch die Werte m und I die gleiche Bedeutung haben.
Betrachten Sie nun Newtons 2. Gesetz, das durch die Formel ausgedrückt wird:
F=ma.
Wenn wir auf die Form der unteren Gleichheit im vorherigen Absatz achten, haben wir eine ähnliche Situation wie die betrachtete. Das Kraftmoment M in seiner linearen Darstellung ist die Kraft F, und die Linearbeschleunigung a ist völlig analog zum Winkel dω/dt. Und wieder kommen wir zur Äquivalenz von Masse und Trägheitsmoment.
Was bedeutet Masse in der klassischen Mechanik? Es ist ein Maß für die Trägheit: Je größer m, desto schwieriger ist es, das Objekt von seinem Platz zu bewegen und noch schwieriger, ihm Beschleunigung zu verleihen. Dasselbe gilt für das Trägheitsmoment in Bezug auf die Rotationsbewegung.
Physikalische Bedeutung des Trägheitsmoments an einem Haush altsbeispiel
Stellen wir eine einfache Frage, wie es einfacher ist, einen Metallstab zu drehen, zum Beispiel einen Bewehrungsstab - wenn die Drehachse entlang seiner Länge oder quer gerichtet ist? Natürlich ist es im ersten Fall einfacher, die Stange zu drehen, da ihr Trägheitsmoment für eine solche Position der Achse sehr klein ist (für eine dünne Stange ist es gleich Null). Dazu reicht es, einen Gegenstand zwischen den Handflächen zu h alten und mit einer leichten Bewegung in Rotation zu bringen.
Übrigens wurde die beschriebene Tatsache von unseren Vorfahren in der Antike experimentell verifiziert, als sie lernten, wie man Feuer macht. Sie drehten den Schläger mit enormen Winkelbeschleunigungen, was zur Entstehung großer Reibungskräfte und infolgedessen zur Freisetzung einer erheblichen Wärmemenge führte.
Ein Auto-Schwungrad ist ein Paradebeispiel für die Nutzung eines großen Trägheitsmoments
Abschließend möchte ich das vielleicht wichtigste Beispiel für die moderne Technik geben, die physikalische Bedeutung des Trägheitsmoments zu nutzen. Das Schwungrad eines Autos ist eine massive Stahlscheibe mit relativ großem Radius und Masse. Diese beiden Werte bestimmen die Existenz eines signifikanten Wertes, den ich charakterisiere. Das Schwungrad ist so konstruiert, dass es alle Krafteinwirkungen auf die Kurbelwelle des Autos "mildert". Die impulsive Natur der wirkenden Kräftemomente von den Motorzylindern auf die Kurbelwelle wird durch das schwere Schwungrad geglättet und geglättet.
Übrigens gilt: Je größer der Drehimpuls, desto mehrmehr Energie steckt in einem rotierenden System (Analogie zur Masse). Diesen Umstand wollen Ingenieure nutzen, indem sie die Bremsenergie eines Autos im Schwungrad speichern, um sie anschließend zum Beschleunigen des Fahrzeugs zu lenken.
