Mathematische Probleme werden in vielen Wissenschaften verwendet. Dazu gehören nicht nur Physik, Chemie, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften, sondern auch Medizin, Ökologie und andere Disziplinen. Ein wichtiges Konzept, das es zu beherrschen gilt, um Lösungen für wichtige Dilemmata zu finden, ist die Ableitung einer Funktion. Die physikalische Bedeutung davon ist überhaupt nicht so schwer zu erklären, wie es dem Uneingeweihten in der Essenz der Sache erscheinen mag. Es reicht aus, geeignete Beispiele dafür im wirklichen Leben und in gewöhnlichen Alltagssituationen zu finden. Tatsächlich bewältigt jeder Autofahrer jeden Tag eine ähnliche Aufgabe, wenn er auf den Tacho schaut und die Geschwindigkeit seines Autos zu einem bestimmten Zeitpunkt zu einer festgelegten Zeit bestimmt. Schließlich liegt in diesem Parameter die Essenz der physikalischen Bedeutung der Ableitung.
Geschwindigkeit ermitteln
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit einer Person auf der Straße, indem Sie die zurückgelegte Strecke und die Fahrzeit kennen, kann jeder Fünftklässler leicht. Dazu wird der erste der angegebenen Werte durch den zweiten dividiert. Abernicht jeder junge Mathematiker weiß, dass er gerade das Verhältnis von Inkrementen einer Funktion und eines Arguments findet. In der Tat, wenn wir uns die Bewegung in Form eines Diagramms vorstellen und den Weg entlang der y-Achse und die Zeit entlang der Abszisse aufzeichnen, wird es genau so sein.
Allerdings kann sich die Geschwindigkeit eines Fußgängers oder eines anderen Objekts, die wir auf einem großen Abschnitt des Weges bestimmen, wenn man die Bewegung als gleichförmig ansieht, durchaus ändern. In der Physik gibt es viele Bewegungsformen. Es kann nicht nur mit einer konstanten Beschleunigung durchgeführt werden, sondern auf beliebige Weise verlangsamt und erhöht werden. Es ist zu beachten, dass in diesem Fall die die Bewegung beschreibende Linie keine gerade Linie mehr ist. Grafisch kann es die komplexesten Konfigurationen annehmen. Aber für jeden der Punkte im Graphen können wir immer eine Tangente zeichnen, die durch eine lineare Funktion repräsentiert wird.
Um den Parameter der Verschiebungsänderung in Abhängigkeit von der Zeit zu verdeutlichen, ist es notwendig, die gemessenen Segmente zu verkürzen. Wenn sie unendlich klein werden, ist die berechnete Geschwindigkeit augenblicklich. Diese Erfahrung hilft uns, die Ableitung zu definieren. Seine physikalische Bedeutung folgt auch logisch aus einer solchen Argumentation.
In Bezug auf die Geometrie
Es ist bekannt, dass je größer die Geschwindigkeit des Körpers ist, desto steiler der Graph der Abhängigkeit von der Zeit und damit der Neigungswinkel der Tangente an den Graphen an einem bestimmten Punkt ist. Ein Indikator für solche Änderungen kann der Tangens des Winkels zwischen der x-Achse und der Tangentenlinie sein. Es bestimmt nur den Wert der Ableitung und wird durch das Längenverhältnis berechnetgegenüber dem benachbarten Bein in einem rechtwinkligen Dreieck, das durch eine von einem Punkt auf die x-Achse fallende Senkrechte gebildet wird.
Dies ist die geometrische Bedeutung der ersten Ableitung. Der physische zeigt sich darin, dass der Wert des gegenüberliegenden Beins in unserem Fall die zurückgelegte Strecke und das benachbarte die Zeit ist. Ihr Verhältnis ist Geschwindigkeit. Und wieder kommen wir zu dem Schluss, dass die momentane Geschwindigkeit, die bestimmt wird, wenn beide Lücken gegen unendlich klein tendieren, die Essenz des Begriffs der Ableitung ist, der seine physikalische Bedeutung anzeigt. Die zweite Ableitung in diesem Beispiel ist die Beschleunigung des Körpers, die wiederum die Änderungsrate der Geschwindigkeit darstellt.
Beispiele zum Auffinden von Ableitungen in der Physik
Die Ableitung ist ein Indikator für die Änderungsrate jeder Funktion, auch wenn wir nicht von Bewegung im wörtlichen Sinne des Wortes sprechen. Um dies anschaulich zu demonstrieren, nehmen wir einige konkrete Beispiele. Angenommen, die Stromstärke ändert sich in Abhängigkeit von der Zeit nach folgendem Gesetz: I=0, 4t2. Es ist erforderlich, den Wert der Rate zu finden, mit der sich dieser Parameter am Ende der 8. Sekunde des Prozesses ändert. Beachten Sie, dass der gewünschte Wert selbst, wie aus der Gleichung ersichtlich, ständig zunimmt.
Um es zu lösen, müssen Sie die erste Ableitung finden, deren physikalische Bedeutung wir bereits betrachtet haben. Hier ist dI / dt=0,8t. Als nächstes finden wir es bei t \u003d 8, wir bekommen, dass die Rate, mit der sich die Stromstärke ändert, 6,4 A / c beträgt. Hier wird das berücksichtigtStrom wird in Ampere und Zeit in Sekunden gemessen.
Alles ändert sich
Die sichtbare umgebende Welt, bestehend aus Materie, unterliegt ständigen Veränderungen und ist in Bewegung von verschiedenen darin ablaufenden Prozessen. Um sie zu beschreiben, kann eine Vielzahl von Parametern verwendet werden. Wenn sie durch Abhängigkeit vereint sind, werden sie mathematisch als Funktion geschrieben, die ihre Änderungen deutlich zeigt. Und wo Bewegung ist (in welcher Form auch immer sie ausgedrückt wird), gibt es auch eine Ableitung, deren physikalische Bedeutung wir gerade betrachten.
Bei dieser Gelegenheit folgendes Beispiel. Angenommen, die Körpertemperatur ändert sich gemäß dem Gesetz T=0, 2 t 2. Sie sollten die Rate seiner Erwärmung am Ende der 10. Sekunde finden. Das Problem wird auf ähnliche Weise wie im vorherigen Fall beschrieben gelöst. Das heißt, wir finden die Ableitung und ersetzen den Wert für t \u003d 10, wir erh alten T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Dies bedeutet, dass die endgültige Antwort 4 Grad pro Sekunde beträgt, dh der Erwärmungsprozess und die Temperaturänderung, gemessen in Grad, erfolgt genau mit einer solchen Geschwindigkeit.
Praktische Probleme lösen
Natürlich ist im wirklichen Leben alles viel komplizierter als bei theoretischen Problemen. In der Praxis wird der Wert von Mengen meist während des Experiments bestimmt. In diesem Fall werden Instrumente verwendet, die bei Messungen mit einem bestimmten Fehler Messwerte liefern. Daher muss man sich bei Berechnungen mit ungefähren Werten der Parameter befassen und auf das Runden unbequemer Zahlen zurückgreifen.sowie weitere Vereinfachungen. Nachdem wir dies berücksichtigt haben, werden wir wieder zu Problemen über die physikalische Bedeutung der Ableitung übergehen, da sie nur eine Art mathematisches Modell der komplexesten Prozesse sind, die in der Natur vorkommen.
Vulkanausbruch
Stellen wir uns vor, dass ein Vulkan ausbricht. Wie gefährlich kann er sein? Um diese Frage zu beantworten, müssen viele Faktoren berücksichtigt werden. Wir werden versuchen, einen von ihnen unterzubringen.
Aus dem Mund des "feurigen Ungeheuers" werden Steine senkrecht nach oben geschleudert, mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 120 m/s, sobald sie nach außen treten. Es ist notwendig zu berechnen, was sie die maximale Höhe erreichen können.
Um den gewünschten Wert zu finden, stellen wir eine Gleichung für die Abhängigkeit der in Metern gemessenen Höhe H von anderen Werten auf. Dazu gehören Anfangsgeschwindigkeit und Zeit. Der Beschleunigungswert gilt als bekannt und entspricht etwa 10 m/s2.
Partielle Ableitung
Betrachten wir nun die physikalische Bedeutung der Ableitung einer Funktion aus einem etwas anderen Blickwinkel, denn die Gleichung selbst kann nicht eine, sondern mehrere Variablen enth alten. Zum Beispiel wurde in der vorherigen Aufgabe die Abhängigkeit der Höhe der aus dem Schlot des Vulkans ausgeworfenen Steine nicht nur von der Änderung der Zeiteigenschaften, sondern auch vom Wert der Anfangsgeschwindigkeit bestimmt. Letzterer wurde als konstanter, fester Wert angesehen. Aber bei anderen Aufgaben mit ganz anderen Voraussetzungen könnte alles anders sein. Wenn die Mengen, auf denen der KomplexFunktion, mehrere, Berechnungen werden nach den folgenden Formeln durchgeführt.
Die physikalische Bedeutung der häufigen Ableitung sollte wie im Normalfall ermittelt werden. Dies ist die Rate, mit der sich die Funktion an einem bestimmten Punkt ändert, wenn der Parameter der Variablen zunimmt. Es wird so berechnet, dass alle anderen Komponenten als Konstanten angenommen werden, nur eine wird als Variable betrachtet. Dann passiert alles nach den üblichen Regeln.
Unentbehrlicher Ratgeber in vielen Fragen
Wenn man die physikalische Bedeutung der Ableitung versteht, ist es nicht schwierig, Beispiele für die Lösung komplizierter und komplexer Probleme zu geben, in denen die Antwort mit solchem Wissen gefunden werden kann. Wenn wir eine Funktion haben, die den Kraftstoffverbrauch in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit des Autos beschreibt, können wir berechnen, bei welchen Parametern der letzteren der Benzinverbrauch am geringsten ist.
In der Medizin kann man vorhersagen, wie der menschliche Körper auf ein vom Arzt verschriebenes Medikament reagiert. Die Einnahme des Medikaments beeinflusst eine Vielzahl physiologischer Parameter. Dazu gehören Änderungen des Blutdrucks, der Herzfrequenz, der Körpertemperatur und mehr. Alle von ihnen hängen von der Dosis des eingenommenen Medikaments ab. Diese Berechnungen helfen, den Behandlungsverlauf vorherzusagen, sowohl bei günstigen Manifestationen als auch bei unerwünschten Unfällen, die Veränderungen im Körper des Patienten tödlich beeinflussen können.
Zweifellos ist es wichtig, die physikalische Bedeutung der Ableitung im Technischen zu verstehenFragestellungen, insbesondere in Elektrotechnik, Elektronik, Design und Konstruktion.
Bremsweg
Betrachten wir das nächste Problem. Mit konstanter Geschwindigkeit musste das Auto, das sich der Brücke näherte, 10 Sekunden vor der Einfahrt abbremsen, als der Fahrer ein Verkehrsschild bemerkte, das die Fahrt mit einer Geschwindigkeit von mehr als 36 km/h verbietet. Hat der Fahrer gegen die Regeln verstoßen, wenn der Bremsweg durch die Formel S=26t - t2 beschrieben werden kann?
Durch Berechnung der ersten Ableitung finden wir die Formel für die Geschwindigkeit, wir erh alten v=28 – 2t. Ersetzen Sie als Nächstes den Wert t=10 in den angegebenen Ausdruck.
Da dieser Wert in Sekunden ausgedrückt wurde, beträgt die Geschwindigkeit 8 m/s, also 28,8 km/h. Dies macht es möglich zu verstehen, dass der Fahrer rechtzeitig langsamer wurde und nicht gegen die Verkehrsregeln und damit gegen die auf dem Geschwindigkeitsschild angegebene Begrenzung verstoßen hat.
Dies beweist die Wichtigkeit der physikalischen Bedeutung der Ableitung. Ein Beispiel zur Lösung dieses Problems zeigt die Breite der Anwendung dieses Konzepts in verschiedenen Lebensbereichen. Auch in alltäglichen Situationen.
Derivate in den Wirtschaftswissenschaften
Bis zum 19. Jahrhundert operierten Ökonomen hauptsächlich mit Durchschnittswerten, sei es bei der Arbeitsproduktivität oder dem Produktionspreis. Doch ab einem bestimmten Zeitpunkt wurden Grenzwerte notwendiger, um in diesem Bereich effektive Prognosen zu erstellen. Dazu gehören Grenznutzen, Einkommen oder Kosten. Dies zu verstehen, gab den Anstoß zur Schaffung eines völlig neuen Instruments in der Wirtschaftsforschung,die seit mehr als hundert Jahren existiert und sich entwickelt hat.
Um solche Berechnungen durchzuführen, bei denen Konzepte wie Minimum und Maximum vorherrschen, ist es einfach notwendig, die geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung zu verstehen. Unter den Schöpfern der theoretischen Grundlagen dieser Disziplinen sind so prominente englische und österreichische Ökonomen wie US Jevons, K. Menger und andere zu nennen. Natürlich sind Grenzwerte in wirtschaftlichen Berechnungen nicht immer bequem zu verwenden. Und zum Beispiel passen Quartalsberichte nicht unbedingt in das bestehende Schema, aber dennoch ist die Anwendung einer solchen Theorie in vielen Fällen sinnvoll und effektiv.
