Steinerscher Satz oder Parallelachsensatz zur Berechnung des Trägheitsmoments

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Bei der mathematischen Beschreibung der Drehbewegung ist es wichtig, das Trägheitsmoment des Systems um die Achse zu kennen. Im allgemeinen Fall beinh altet das Verfahren zum Auffinden dieser Größe die Durchführung des Integrationsprozesses. Das sogenannte Steiner-Theorem erleichtert die Berechnung. Lassen Sie es uns im Artikel genauer betrachten.

Was ist ein Trägheitsmoment?

Bevor wir die Formulierung des Satzes von Steiner geben, ist es notwendig, sich mit dem eigentlichen Konzept des Trägheitsmoments zu befassen. Angenommen, es gibt einen Körper mit einer bestimmten Masse und willkürlicher Form. Dieser Körper kann entweder ein materieller Punkt oder ein beliebiges zwei- oder dreidimensionales Objekt (Stange, Zylinder, Kugel usw.) sein. Wenn das betreffende Objekt eine kreisförmige Bewegung um eine Achse mit konstanter Winkelbeschleunigung α ausführt, kann die folgende Gleichung geschrieben werden:

M=Iα

Hier stellt der Wert M das Gesamtmoment der Kräfte dar, das dem gesamten System die Beschleunigung α verleiht. Der Proportionalitätskoeffizient zwischen ihnen - I, heißtTrägheitsmoment. Diese physikalische Größe wird nach folgender allgemeiner Formel berechnet:

I=∫_m (r²dm)

Hier ist r der Abstand zwischen dem Element mit der Masse dm und der Rotationsachse. Dieser Ausdruck bedeutet, dass es notwendig ist, die Summe der Produkte der quadrierten Abstände r² und der Elementarmasse dm zu finden. Das heißt, das Trägheitsmoment ist keine reine Körpereigenschaft, die es von der linearen Trägheit unterscheidet. Sie hängt von der Massenverteilung im rotierenden Objekt ab, sowie vom Abstand zur Achse und von der relativen Ausrichtung des Körpers. Zum Beispiel hat ein Stab ein anderes I, wenn er um den Schwerpunkt und um das Ende gedreht wird.

Trägheitsmoment und Satz von Steiner

Der berühmte Schweizer Mathematiker Jakob Steiner bewies den Satz über parallele Achsen und das Trägheitsmoment, das heute seinen Namen trägt. Dieser Satz postuliert, dass das Trägheitsmoment für absolut jeden starren Körper beliebiger Geometrie relativ zu einer Rotationsachse gleich der Summe des Trägheitsmoments um die Achse ist, die den Massenmittelpunkt des Körpers schneidet und parallel zum ersten liegt, und dem Produkt der Körpermasse mal dem Quadrat des Abstands zwischen diesen Achsen. Mathematisch wird diese Formulierung wie folgt geschrieben:

I_Z=I_O + ml²

I_Z und I_O - Trägheitsmomente um die Z-Achse und die parallel dazu verlaufende O-Achse durch den Schwerpunkt des Körpers, l - Abstand zwischen den Linien Z und O.

Der Satz erlaubt es, bei Kenntnis des Wertes von I_O zu rechnenjedes andere Moment I_Z um eine Achse, die parallel zu O ist.

Beweis des Satzes

Die Formel des Steiner-Theorems kann leicht selbst ermittelt werden. Betrachten Sie dazu einen beliebigen Körper in der xy-Ebene. Lassen Sie den Koordinatenursprung durch den Schwerpunkt dieses Körpers gehen. Berechnen wir das Trägheitsmoment I_O, das senkrecht zur xy-Ebene durch den Ursprung geht. Da der Abstand zu einem beliebigen Punkt des Körpers durch die Formel r=√ (x² + y² ausgedrückt wird, erh alten wir das Integral:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Verschieben wir nun die Achse parallel zur x-Achse beispielsweise um eine Strecke l in positive Richtung, dann sieht die Berechnung für die neue Trägheitsmomentachse so aus:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Erweitern Sie das ganze Quadrat in Klammern und dividieren Sie die Integranden, wir erh alten:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Der erste dieser Terme ist der Wert I_O, der dritte Term ergibt nach Integration den Term l²m, und hier ist der zweite Term Null. Die Nullung des angegebenen Integrals ist darauf zurückzuführen, dass es aus dem Produkt von x und Massenelementen dm gebildet wird, was inDurchschnitt ergibt Null, da der Schwerpunkt im Ursprung liegt. Als Ergebnis erhält man die Formel des Satzes von Steiner.

Der betrachtete Fall in der Ebene lässt sich auf einen dreidimensionalen Körper verallgemeinern.

Überprüfung der Steiner-Formel am Beispiel eines Stabes

Lassen Sie uns ein einfaches Beispiel geben, um zu demonstrieren, wie man den obigen Satz verwendet.

Es ist bekannt, dass für einen Stab der Länge L und der Masse m das Trägheitsmoment I_O(die Achse geht durch den Schwerpunkt) gleich m ist L² /12, und das Moment I_Z (die Achse verläuft durch das Ende der Stange) ist gleich mL 2^{/3. Lassen Sie uns diese Daten mit dem Satz von Steiner überprüfen. Da der Abstand zwischen den beiden Achsen L/2 ist, erh alten wir das Moment I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Das heißt, wir haben die Steiner-Formel überprüft und den gleichen Wert für I_Z wie in der Quelle erh alten.

Ähnliche Berechnungen können für andere Körper (Zylinder, Kugel, Scheibe) unter Erh alt der erforderlichen Trägheitsmomente und ohne Durchführung einer Integration durchgeführt werden.

Trägheitsmoment und senkrechte Achsen

Der betrachtete Satz betrifft parallele Achsen. Der Vollständigkeit halber ist es auch nützlich, einen Satz für senkrechte Achsen anzugeben. Es wird wie folgt formuliert: Für einen flachen Gegenstand beliebiger Form ist das Trägheitsmoment um eine senkrecht dazu stehende Achse gleich der Summe zweier Trägheitsmomente um zwei zueinander senkrechte und liegendein der Ebene des Achsenobjekts, wobei alle drei Achsen durch denselben Punkt gehen. Mathematisch schreibt man das so:

I_z=I_x + I_y

Hier sind z, x, y drei senkrecht zueinander stehende Rotationsachsen.

Der wesentliche Unterschied zwischen diesem Theorem und dem Satz von Steiner besteht darin, dass er nur auf flache (zweidimensionale) feste Objekte anwendbar ist. In der Praxis ist es jedoch weit verbreitet, den Körper gedanklich in separate Schichten zu schneiden und dann die erh altenen Trägheitsmomente zu addieren.