Um die Parallelität und Rechtwinkligkeit von Ebenen zu bestimmen sowie die Abstände zwischen diesen geometrischen Objekten zu berechnen, ist es zweckmäßig, die eine oder andere Art von numerischen Funktionen zu verwenden. Für welche Probleme ist es zweckmäßig, die Gleichung einer Ebene in Segmenten zu verwenden? In diesem Artikel werden wir uns ansehen, was es ist und wie man es in praktischen Aufgaben einsetzt.
Was ist eine Segmentgleichung?
Eine Ebene kann im 3D-Raum auf verschiedene Arten definiert werden. In diesem Artikel werden einige von ihnen beim Lösen von Problemen verschiedener Art gegeben. Hier geben wir eine detaillierte Beschreibung der Gleichung in Segmenten der Ebene. Es hat im Allgemeinen die folgende Form:
x/p + y/q + z/r=1.
Wo die Symbole p, q, r bestimmte Zahlen bezeichnen. Diese Gleichung kann leicht in einen allgemeinen Ausdruck und in andere Formen numerischer Funktionen für die Ebene übersetzt werden.
Die Bequemlichkeit, die Gleichung in Segmenten zu schreiben, liegt in der Tatsache, dass sie die expliziten Koordinaten des Schnittpunkts der Ebene mit senkrechten Koordinatenachsen enthält. Auf der x-Achserelativ zum Ursprung schneidet die Ebene ein Segment der Länge p ab, auf der y-Achse - gleich q, auf z - der Länge r.
Wenn eine der drei Variablen nicht in der Gleichung enth alten ist, bedeutet dies, dass die Ebene nicht durch die entsprechende Achse geht (Mathematiker sagen, dass sie im Unendlichen schneidet).
Als nächstes sind hier einige Probleme, in denen wir zeigen, wie man mit dieser Gleichung arbeitet.
Mitteilung des Allgemeinen und in Segmenten von Gleichungen
Es ist bekannt, dass die Ebene durch die folgende Gleichung gegeben ist:
2x - 3y + z - 6=0.
Diese allgemeine Ebenengleichung muss in Segmenten niedergeschrieben werden.
Wenn ein ähnliches Problem auftritt, müssen Sie dieser Technik folgen: Wir übertragen den freien Begriff auf die rechte Seite der Gleichheit. Dann dividieren wir die gesamte Gleichung durch diesen Term und versuchen, ihn in der im vorherigen Absatz angegebenen Form auszudrücken. Wir haben:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Wir haben in den Segmenten die zunächst in allgemeiner Form gegebene Ebenengleichung erh alten. Es fällt auf, dass die Ebene Segmente mit Längen von 3, 2 und 6 für die x-, y- und z-Achse abschneidet. Die y-Achse schneidet die Ebene im negativen Koordinatenbereich.
Beim Erstellen einer Gleichung in Segmenten ist es wichtig, dass allen Variablen ein „+“-Zeichen vorangestellt wird. Nur in diesem Fall zeigt die Zahl, durch die diese Variable dividiert wird, die auf der Achse abgeschnittene Koordinate.
Normalenvektor und Punkt auf der Ebene
Es ist bekannt, dass einige Flugzeuge einen Richtungsvektor (3; 0; -1) haben. Es ist auch bekannt, dass es durch den Punkt (1; 1; 1) geht. Schreiben Sie für diese Ebene eine Segmentgleichung.
Um dieses Problem zu lösen, sollten Sie zuerst die allgemeine Form für dieses zweidimensionale geometrische Objekt verwenden. Die allgemeine Form wird geschrieben als:
Ax + By + Cz + D=0.
Die ersten drei Koeffizienten sind hier die Koordinaten des Führungsvektors, der in der Aufgabenstellung angegeben ist, also:
A=3;
B=0;
C=-1.
Es bleibt noch der freie Term D zu finden. Er lässt sich nach folgender Formel bestimmen:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Wobei die Koordinatenwerte mit dem Index 1 den Koordinaten eines zur Ebene gehörenden Punktes entsprechen. Wir ersetzen ihre Werte aus der Bedingung des Problems, wir erh alten:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Jetzt kannst du die vollständige Gleichung schreiben:
3x - z - 2=0.
Die Technik zur Umwandlung dieses Ausdrucks in eine Gleichung in Segmenten der Ebene wurde bereits oben demonstriert. Anwenden:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Die Antwort auf das Problem wurde empfangen. Beachten Sie, dass diese Ebene nur die x- und z-Achse schneidet. Für y ist es parallel.
Zwei Geraden definieren eine Ebene
Aus dem Kurs der räumlichen Geometrie weiß jeder Schüler, dass zwei beliebige Geraden eindeutig eine Ebene definierendreidimensionaler Raum. Lassen Sie uns ein ähnliches Problem lösen.
Zwei Geradengleichungen sind bekannt:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Es ist notwendig, die Gleichung der Ebene in Segmenten aufzuschreiben, die durch diese Linien gehen.
Da beide Geraden in der Ebene liegen müssen, bedeutet dies, dass ihre Vektoren (Hilfslinien) senkrecht auf dem Vektor (Führungslinie) der Ebene stehen müssen. Gleichzeitig ist bekannt, dass das Vektorprodukt zweier beliebiger gerichteter Segmente das Ergebnis in Form von Koordinaten des dritten senkrecht zu den beiden ursprünglichen ergibt. Mit dieser Eigenschaft erh alten wir die Koordinaten eines Vektors, der senkrecht zur gewünschten Ebene steht:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Da es mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden kann, dies ein neues gerichtetes Segment parallel zum ursprünglichen bildet, können wir das Vorzeichen der erh altenen Koordinaten durch das Gegenteil ersetzen (mit -1 multiplizieren), erh alten wir:
(1; 2; 1).
Wir kennen den Richtungsvektor. Es bleibt, einen beliebigen Punkt einer der Geraden zu nehmen und die allgemeine Gleichung der Ebene aufzustellen:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Wenn wir diese Gleichheit in einen Ausdruck in Segmenten übersetzen, erh alten wir:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Die Ebene schneidet also alle drei Achsen im positiven Bereich des Koordinatensystems.
Drei Punkte und ein Flugzeug
Wie zwei gerade Linien definieren drei Punkte eine Ebene eindeutig im dreidimensionalen Raum. Wir schreiben die entsprechende Gleichung in Segmenten, wenn folgende Koordinaten von in der Ebene liegenden Punkten bekannt sind:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Lassen Sie uns Folgendes tun: Berechnen Sie die Koordinaten zweier willkürlicher Vektoren, die diese Punkte verbinden, und finden Sie dann den Vektor n¯ senkrecht zur Ebene, indem Sie das Produkt der gefundenen gerichteten Segmente berechnen. Wir erh alten:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Nehmen Sie den Punkt P als Beispiel, bilden Sie die Gleichung der Ebene:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 oder z=0.
Wir haben einen einfachen Ausdruck, der der xy-Ebene im gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem entspricht. Es kann nicht in Segmenten geschrieben werden, da die x- und y-Achsen zur Ebene gehören und die Länge des auf der z-Achse abgeschnittenen Segments Null ist (der Punkt (0; 0; 0) gehört zur Ebene).
