Beim Studium der mechanischen Bewegung in der Physik, nachdem sie sich mit der gleichmäßigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegung von Objekten vertraut gemacht haben, betrachten sie die Bewegung eines Körpers in einem Winkel zum Horizont. In diesem Artikel werden wir dieses Problem genauer untersuchen.
Wie bewegt sich ein Körper in einem Winkel zum Horizont?
Diese Art von Objektbewegung tritt auf, wenn eine Person einen Stein in die Luft wirft, eine Kanone eine Kanonenkugel abfeuert oder ein Torhüter einen Fußball aus dem Tor schießt. Alle diese Fälle werden von der Wissenschaft der Ballistik berücksichtigt.
Die erwähnte Art der Bewegung von Objekten in der Luft erfolgt entlang einer parabelförmigen Flugbahn. Im allgemeinen Fall ist die Durchführung der entsprechenden Berechnungen keine leichte Aufgabe, da der Luftwiderstand, die Rotation des Körpers während des Fluges, die Rotation der Erde um ihre Achse und einige andere Faktoren berücksichtigt werden müssen.
In diesem Artikel werden wir all diese Faktoren nicht berücksichtigen, sondern das Thema aus rein theoretischer Sicht betrachten. Die resultierenden Formeln sind jedoch recht gutbeschreiben die Bahnen von Körpern, die sich über kurze Distanzen bewegen.
Ermittlung von Formeln für die betrachtete Bewegungsart
Lassen Sie uns die Formeln für die Bewegung des Körpers in einem Winkel zum Horizont herleiten. In diesem Fall berücksichtigen wir nur eine einzige Kraft, die auf ein Flugobjekt wirkt - die Schwerkraft. Da sie senkrecht nach unten (parallel zur y-Achse und gegen diese) wirkt, können wir unter Berücksichtigung der horizontalen und vertikalen Komponenten der Bewegung sagen, dass die erste den Charakter einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung haben wird. Und die zweite - ebenso langsame (gleichmäßig beschleunigte) geradlinige Bewegung mit Beschleunigung g. Das heißt, die Geschwindigkeitskomponenten durch den Wert v0 (Anfangsgeschwindigkeit) und θ (der Winkel der Körperbewegungsrichtung) werden wie folgt geschrieben:
vx=v0cos(θ)
vy=v0sin(θ)-gt
Die erste Formel (für vx) ist immer gültig. Wie bei der zweiten ist hier eine Nuance zu beachten: Das Minuszeichen vor dem Produkt gt wird nur dann gesetzt, wenn die vertikale Komponente v0sin(θ) nach oben gerichtet ist. In den meisten Fällen passiert dies jedoch, wenn Sie einen Körper aus großer Höhe nach unten werfen, dann sollten Sie im Ausdruck für vy ein "+"-Zeichen vor g setzen t.
Durch Integrieren der Formeln für die Geschwindigkeitskomponenten über die Zeit und unter Berücksichtigung der Anfangshöhe h des Körperfluges erhält man die Gleichungen für die Koordinaten:
x=v0cos(θ)t
y=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Flugreichweite berechnen
Betrachtet man in der Physik die Bewegung eines Körpers zum Horizont in einem für die Praxis sinnvollen Winkel, so ergibt sich die Berechnung der Flugreichweite. Lass es uns definieren.
Da es sich bei dieser Bewegung um eine gleichförmige Bewegung ohne Beschleunigung handelt, reicht es aus, die Flugzeit einzusetzen und das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Die Flugreichweite wird ausschließlich durch die Bewegung entlang der x-Achse (parallel zum Horizont) bestimmt.
Die Zeit, in der sich der Körper in der Luft befindet, kann berechnet werden, indem die y-Koordinate mit Null gleichgesetzt wird. Wir haben:
0=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Diese quadratische Gleichung wird durch die Diskriminante gelöst, wir erh alten:
D=b2- 4ac=v02sin 2(θ) - 4(-g/2)h=v02 sin2(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v0sin(θ)±√(v0 2sin2(θ) + 2gh))/(-2g/2)=
=(v0sin(θ)+√(v02 sin2(θ) + 2gh))/g.
Im letzten Ausdruck wird eine Wurzel mit Minuszeichen aufgrund ihres unbedeutenden physikalischen Wertes verworfen. Setzen wir die Flugzeit t in den Ausdruck für x ein, erh alten wir die Flugreichweite l:
l=x=v0cos(θ)(v0sin(θ)+√(v 02sin2(θ) + 2gh))/g.
Der einfachste Weg, diesen Ausdruck zu analysieren, ist die Anfangshöhegleich Null ist (h=0), dann erh alten wir eine einfache Formel:
l=v 02sin(2θ)/g
Dieser Ausdruck gibt an, dass die maximale Flugreichweite erreicht werden kann, wenn der Körper in einem Winkel von 45o(sin(245o )=m1).
Maximale Körpergröße
Neben der Flugreichweite ist es auch nützlich, die Höhe über dem Boden zu finden, auf die der Körper steigen kann. Da diese Art der Bewegung durch eine Parabel beschrieben wird, deren Äste nach unten gerichtet sind, ist die maximale Hubhöhe ihr Extremum. Letztere errechnet sich aus der Auflösung der Ableitungsgleichung nach t nach y:
dy/dt=d(h+v0sin(θ)t-gt2/2)/dt=v0sin(θ)-gt=0=>
=>t=v0sin(θ)/g.
Setze diese Zeit in die Gleichung für y ein, wir erh alten:
y=h+v0sin(θ)v0sin(θ)/g-g(v 0sin(θ)/g)2/2=h + v0 2sünde2(θ)/(2g).
Dieser Ausdruck zeigt an, dass der Körper die maximale Höhe erreichen wird, wenn er senkrecht nach oben geworfen wird (sin2(90o)=1).
