Typische lineare Parameter jeder Pyramide sind die Seitenlängen ihrer Basis, Höhe, Seitenkanten und Apotheme. Dennoch gibt es eine weitere Eigenschaft, die mit den genannten Parametern verbunden ist - das ist der Diederwinkel. Überlegen Sie im Artikel, was es ist und wie Sie es finden.
Raumfigur Pyramide
Jeder Schüler hat eine gute Vorstellung davon, worum es geht, wenn er das Wort "Pyramide" hört. Es kann geometrisch wie folgt konstruiert werden: Wählen Sie ein bestimmtes Polygon aus, fixieren Sie dann einen Punkt im Raum und verbinden Sie ihn mit jeder Ecke des Polygons. Die resultierende dreidimensionale Figur wird eine Pyramide beliebigen Typs sein. Das Polygon, das es bildet, wird Basis genannt, und der Punkt, mit dem alle seine Ecken verbunden sind, ist der Scheitelpunkt der Figur. Die folgende Abbildung zeigt schematisch eine fünfeckige Pyramide.
Es ist zu erkennen, dass seine Oberfläche nicht nur aus einem Fünfeck, sondern auch aus fünf Dreiecken besteht. Im Allgemeinen ist die Anzahl dieser Dreiecke gleich der AnzahlSeiten einer polygonalen Grundfläche.
Diederwinkel der Figur
Wenn geometrische Probleme auf einer Ebene betrachtet werden, wird jeder Winkel durch zwei sich schneidende gerade Linien oder Segmente gebildet. Im Raum kommen zu diesen linearen Winkeln, die durch den Schnittpunkt zweier Ebenen gebildet werden, Flächenwinkel hinzu.
Wenn man die markierte Definition eines Winkels im Raum auf die betreffende Figur anwendet, dann kann man sagen, dass es zwei Arten von Flächenwinkeln gibt:
- Am Fuß der Pyramide. Es wird durch die Ebene der Basis und einer der Seitenflächen (Dreieck) gebildet. Das bedeutet, dass die Basiswinkel der Pyramide n sind, wobei n die Anzahl der Seiten des Vielecks ist.
- Zwischen den Seiten (Dreiecke). Die Anzahl dieser Diederwinkel beträgt ebenfalls n Stück.
Beachten Sie, dass die erste Art von betrachteten Winkeln an den Kanten der Basis gebaut wird, die zweite Art - an den Seitenkanten.
Wie berechnet man die Winkel einer Pyramide?
Der lineare Winkel eines Flächenwinkels ist das Maß für diesen. Sie ist nicht einfach zu berechnen, da sich die Flächen der Pyramide im Gegensatz zu den Flächen des Prismas im allgemeinen Fall nicht rechtwinklig schneiden. Am zuverlässigsten ist es, die Werte der Flächenwinkel mit den Gleichungen der Ebene in allgemeiner Form zu berechnen.
Im dreidimensionalen Raum ist eine Ebene durch den folgenden Ausdruck gegeben:
Ax + By + Cz + D=0
Wobei A, B, C, D reelle Zahlen sind. Der Vorteil dieser Gleichung besteht darin, dass die ersten drei markierten Zahlen die Koordinaten des Vektors sind,die senkrecht zur gegebenen Ebene steht, also:
n¯=[A; B; C]
Wenn die Koordinaten von drei Punkten bekannt sind, die zur Ebene gehören, dann kann man die Koordinaten n¯ erh alten, indem man das Vektorprodukt von zwei Vektoren bildet, die auf diesen Punkten aufgebaut sind. Der Vektor n¯ heißt Leitlinie für die Ebene.
Nach der Definition ist der Flächenwinkel, den der Schnittpunkt zweier Ebenen bildet, gleich dem linearen Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren. Angenommen, wir haben zwei Ebenen, deren Normalenvektoren gleich sind:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Um den Winkel φ zwischen ihnen zu berechnen, können Sie die Skalarprodukteigenschaft verwenden, dann wird die entsprechende Formel zu:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Oder in Koordinatenform:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Lassen Sie uns zeigen, wie Sie die obige Methode zur Berechnung von Flächenwinkeln verwenden, wenn Sie geometrische Probleme lösen.
Winkel einer regelmäßigen viereckigen Pyramide
Angenommen, es gibt eine regelmäßige Pyramide, an deren Basis sich ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 10 cm befindet. Die Höhe der Figur beträgt12 cm. Es ist notwendig, die Flächenwinkel an der Basis der Pyramide und an ihren Seiten zu berechnen.
Da die in der Bedingung des Problems angegebene Figur korrekt ist, dh eine hohe Symmetrie aufweist, sind alle Winkel an der Basis einander gleich. Auch die von den Seitenflächen gebildeten Winkel sind gleich. Um die erforderlichen Flächenwinkel zu berechnen, finden wir die Richtungsvektoren für die Grund- und zwei Seitenebenen. Bezeichnen Sie die Seitenlänge der Basis mit dem Buchstaben a und die Höhe mit h.
Das obige Bild zeigt eine viereckige regelmäßige Pyramide. Schreiben wir die Koordinaten der Punkte A, B, C und D gemäß dem eingegebenen Koordinatensystem aus:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Nun finden wir die Richtungsvektoren für die Basisebenen ABC und die beiden Seiten ABD und BCD nach der im obigen Absatz beschriebenen Methode:
Für ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
Für ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
Für BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Nun bleibt noch die passende Formel für den Winkel φ anzuwenden und die Seiten- und Höhenwerte aus der Aufgabenstellung zu ersetzen:
Winkel zwischen ABC undABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
Winkel zwischen ABD und BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
Wir haben die Werte der Winkel berechnet, die durch die Bedingung des Problems gefunden werden mussten. Die bei der Lösung des Problems erh altenen Formeln können verwendet werden, um die Diederwinkel von viereckigen regelmäßigen Pyramiden mit beliebigen Werten von a und h zu bestimmen.
Winkel einer dreieckigen regelmäßigen Pyramide
Die folgende Abbildung zeigt eine Pyramide, deren Grundfläche ein regelmäßiges Dreieck ist. Es ist bekannt, dass der Flächenwinkel zwischen den Seiten richtig ist. Die Fläche der Basis muss berechnet werden, wenn bekannt ist, dass die Höhe der Figur 15 cm beträgt.
Ein Flächenwinkel gleich 90o wird in der Figur als ABC bezeichnet. Sie können das Problem mit der obigen Methode lösen, aber in diesem Fall machen wir es einfacher. Nennen wir die Seite des Dreiecks a, die Höhe der Figur - h, das Apothema - hb und die SeiteRippe - b. Jetzt können Sie die folgenden Formeln schreiben:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Da die beiden seitlichen Dreiecke in der Pyramide gleich sind, sind die Seiten AB und CB gleich und die Schenkel des Dreiecks ABC. Bezeichnen wir ihre Länge mit x, dann:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Wenn wir die Flächen der seitlichen Dreiecke gleichsetzen und das Apothem in den entsprechenden Ausdruck einsetzen, haben wir:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks berechnet sich wie folgt:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Ersetzen Sie den Höhenwert aus der Bedingung des Problems, wir erh alten die Antwort: S=584, 567 cm2.
